2024届黄浦区高考数学二模试卷

黄浦区2024年高考模拟考

数学试卷

(完成试卷时间：120分钟总分：150分)

2024年4月

一、填空题.

1.若集合A=[l,4],B=[2,5],则Au8=.

2.抛物浅CV=4x的焦点到准线的距离为.

3.若a=(3cose,sin。)，力=(cosg,3sin6),其中OwR,则〃•〃=.

4.若一个圆柱的底面半径为2,母线长为3,则此圆柱的侧面积为.

5.若(仆2+4)$的展开式中/的系数是-80,则实数。=.

x

6.在AABC中，cosA=-1,AB=\,AC=5,则8C=.

7.随机变量X服从正态分布N(2,c/),若。(2vX”2.5)=0.36,则R|X-2|>0.5)=.

8.若实系数•元二次方程/+ai-十〃=0有•个虚数根的模为4,则。的取值范围是.

9.某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，

则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为.

10.已知数列{q}是给定的等差数列，其前〃项和为S”，若44。<0,且当〃?=恤与〃=/时，|S,"-S“|

(m,ne{x\x<30,AeN*})取得最大值，则|外一时I的值为.

11.右图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分(它由线段尸与分别以尸/'、'、]

D?**r、

OG。。为直径的半圆弧组成)表示一条步道.其中的点CO是线段上的动

点，点O为线段AH,CD的中点，点反产在以为直径的半圆弧上，且NOCE,4.......)........小

NOD尸均为直角.若AB=1百米，则此步道的最大长度为百米.(第11题图)

llUUUUUUUlU11UUUUUUUULM1UU

12.在四面体PABC中，2尸。=%+QB,5PE=2P8+3PC,2尸产=-PC+3PA,设四面体PABC与四面体PDEF

V

的体积分别为月、匕，则匕的值为.

二、选择题.

13.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调杳，拟从初中部和高中部两层共抽取40

名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为()

\「25o025「15「「20.z-^20020020

V，V

A・乙500十JOO500300L500十50aU.JoO'JOQ

14.函数y=l-2cos2(工一：)是()

A.最小正周期为二的奇函数B.最小正周期为土的偶函数

22

C.最小正周期为兀的奇函数D.最小正周期为兀的偶函数

—+ax+20—44x<0

15.设函数〃x)=,‘-'若/(x)>0恒成立，则实数。的取值范围是()

ax~-2x+3,0<x<4.

A.(1,+a))B.(0,-)C.(—,1)D.(LI)

3163

16.设数列｛凡｝的前〃项和为S.,若对任意的〃wN"S,都是数列｛七｝中的项，则称数列｛”“｝为“丁数列”.对

于命题：①存在“T数列”｛/｝,使得数列｛S0｝为公比不为I的等比数列；②对于任意的实数4,都存在实数

d,使得以q为首项、d为公差的等差数列｛4｝为“7数列”.下列判断正确的是()

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题

三、解答题.

17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

设〃WR,函数/(")=4上0.

(I)求a的值，使得y=/(x)为奇函数；

(2)若/(2)=〃，求满足/(x)>a的实数x的取值范围.

2

18.（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，在四棱锥/<48。中，底面ABCQ为矩形，点E是棱。。上的一点，P8〃平面4EC.

（I）求证：点E是极PD的中点：

（2）若以平面A3cQ,AP=2,AD=20PC与平面"CO所成角的正切值为L求二面角。一4七一。的

3

大小.

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计

结果，并规定得分60分及以上为合格.

[80,100]

组别[0,20)[20,40)[40,60)(60,80)

频数926655347

（I）该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个

_（2050）

随机红包：②每个随机红包金额（单位：元）的分布为八°.若从这200个成年市民中随机选取1人，记X（单

^U.oU.2）

位：元）为此人获得的随机红包总金额，求X的分布及数学期望；

（2）已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%,该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如

对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下

人数与60岁及以上人数之比.

3

20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

加图，已知「I是中心在坐标原点.焦点在•「他上的椭圆，「2是以「I的焦点耳，死为顶点的等轴双曲线，点

是一与「2的一个交点，动点「在展的右支上且异于顶点.

（1）求心与「2的方程：

（2）若直线。尸2的倾斜角是直线0的倾斜角的2倍，求点P的坐标：

（3）设直线乃的斜率分别为勺,区,宜线刊与J相交于点A/九直线PF2与J相交于点C,。，

|A片||84|=加，求证：=1旦存在常数$使得

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.

若函数,，=/（%）的图像上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数），=/*）的图像的“自公切线”,

称这两点为函数y=/（X）的图像的一对“同切点”.

（1）分别判断函数/（x）=sinx与工（x）=】nx的图像是否存在“自公切线”，并说明理由；

（2）若aeR,求证：函数g（x）=Un-（xe（-飘））有唯一零点且该函数的图像不存在“自公切线”：

（3）设〃WN*,/2（幻=1211不一1+〃71（X£（一色,四））的零点为乙，/€（--,—）,求证：“存在§€（2兀,E）,使

2222

得点（5,sins）与（r,sinI）是函数y=sinx的图像的一对'同切点，”的充要条件是“t是数歹U{x“}中的项

5

6

参考答案：

一、境空悬（本大・清分54分.其中第16■知■料分4分，第712JB姆题病分5分）

1.[1.5J:22;3.3।4.12xi5.-2:6.472

Jv-+47

7.028,8(-8,8),8q;1021；11.、[12.—.

220

二境界电（本大■共4小9清分18分.其中第13、14题每题清分4分，第15、16题每题满分5分）

B.B14.C15D16A

三、解答题（本大■共有《■,满分T8分.）解答下列各题。须在答•抵相应・号的规定区域内写出必要的步■.

17.（本区满分14分）本物共右2个小观.第1小区满分6分.第2小区满分8分.

（1）由/（*）为曲函数•可知/（1）=/（!）・

即一。+训--（2-。）.的得。=1・

小）="

当。=1时./(-r)==-/⑴对切小室实数*恒成立.

故时.y=/(X)为存两敖.

(2)由/(2)=〃.可付一=a.解和a=2,

,>14.>>_J

ffiW,/(.v)>/7<t»>2^.<oC^l<2*<4

2'"12'-1

cO＜、＜2.所以满足/（x）＞。的实效、的取值范用是（0,2）

18.（本规满分M分）本的共疔2小题.笫小胜满分6分,笫小我满分8分.

解：（1）连接30,它与4。交）•点尸，连接防.

•.•四边形W）为矩形•.•.尸为即的中点.

•.♦PB〃平面AEC,Y面PBD弃过尸311与平面

AEC汨EF.EF.

乂点尸足30的中点♦.点E是校尸。的中点.

(2)v/M±干面.MCD..'.PALAC,PALAD.PALCDH^PCA就是PC与平面

P4-＞i

dBCD所成的角,ttUnZKM---.।-解得4E三24

AC3

•.四边形TBCD为矩形.:.AD-CD.又R4_LCD.PA1）AD

是平面外。内的两相交fl畿，.•.C7M平闿以。.在平面以。

内作DG1AE,手足为。.比GF,则CY714月.J./CGQ是

二面角D-/1E-C的平面向.

在宜角二三角形24。中,•.•42ND-26.点£是尸。的中点.

7

^EAD=^ADE=~.DG=ADsin-=y/3.•.•CDJ.平面E4Z).ZX/u平面Ed。.

66

ryi,

.-.CDLDG.故lan/a7Q=—=，=2&,所以/«£)=aiclan(2jl),故二面角

/X7V3

£>-4E-C的大小为archm(W5).

另法：•.尸<_1平面4友*£),/.史4_14(7.21_14£>.片1_18且二。04就足;»右。平面

所成的角，乂•••西边形43CD为地形..•MBi.jZ),分别以.4夙.4力,.4P为工乂二

轴,建立空间直角坐标系O-jd

设.16=1.1=(工，.1)是平面"C•的一个法向母,二面角0AEC•的大小为

P471f-

由tan_PC4==-1-，=-.可行/-2v6•

ACVn773

2屈+25=0.解得“学且尸邛

剜k-(2石.26.0)，-4£-(O,A1).故

75.v+i=o.

所以”号「当»

乂元=(L0.0)是平山A田的一个法向后.H8为锐角.

故cott6=J;曰=L可内6-arccos」.

旧IT«：I33

所以二4%£>・乂£■C的大小为aiccosi.

19.(本蔻满分14分)本题共有2个小题,第I小：a6分,第2小包8分.

(1)陵机抽取的200个成年山民的成绛合格率为包辿=50。。.

200

;

P(X-100)-io.2-002；P(X-70)-l-C0.20.80.16；P(A^50)=i-02-011

PCX=40)=^08=032

PGV=20)=--0.8=0.4.

2

所以X的分布为《北5070100A

010160.02)

£(X)=!00002+70*016+50*01+4。*032+20*0.4=39.即X的数学期里为39.

(2)设“从该社区成等市区城机抽取1人、此人年聆在60岁以F”为事件4,“从该社区成年市民成机抽取I

人.此人安全知识合格”为事件3.则外㈤=70%.P(a=30%./用，)=56%.P(5)a50%,由

P(B)P(A)-P(B4)♦尸(N).P(研7).

8

可用50%,70H-WH+3s.p（B|4）,所以P（叫⑷36%.

，-P（A\B）P（ij.彳卜/»（叫彳）WM）%-36%-27

估计60岁及以上人员的介略审约为%。。.成绩介抡的或“小尺中60岁以卜人数。60岁及以上人数之比均为98：

27

20.（本巴禺分18分）笫1小电涡分4分.第2小版满分6分.第3小即满分8分.

解⑴瓯、r,的方程分别吟♦方-Ka>，，〉0）与/・F=c/>0）.由卓・（*：

c'McT.故匕F：的碾!A分别为（1.0）。0）.所以2"-|A倡|+MFi・g6+三8一2石,

JJ

椒。"b-“：C：2.故rj"：的方用分别为I•+卫1S.rJ-r-i

（2）什点尸在第四宝限时,「［伐尸匕P尸.的恸制例如为饨用・不适合趋意；

力P在第毂虫时.由H线尸鸟的屈豺角是H绞尸｛的帧斜角的2仔.可知

2广：£尸=/月尸耳.故!PP'HK区=2.

设P点坐惊为（x,F）.可知住l）:+y:=4fix>=l（x>0.r>0）.解得x=2p=J5.

故点尸的坐k为（2.6）.

（3）改直线尸吊尸尸津阑率分别为&A：•点A4B的坐标分别为伉..

i?1..to'-y（"-1•桃、■"•Id,=演,।1•

.%+】xQ-lx0-1x0-i

P£的方程为p-A（x+1）.代入工+21=1可得（4+Sk^y1-晌一】6r=0.tty,y,=士，.

5444•SAr'

所以m-\AFx|-|2?^I=Jl+,I.K|J+*.|y21=（i+*）yr：l~*•

一皿5.1,1卬+A;）H,11I+5AJ快J+5

同理可神"u-1-*—，•o又.故w，，=,I.故-----------1-+―3—

4+的4叫+Smn16（4+1）16（占+1）

=9的J】）=2.即”,+”=2"切.所以存在3.使科加+”=$，“〃.

16（总+1）1616

21.（本题满分18分）第1小题清分4分.第2小题满分7分,第3小题满分7分.

解：（1）因为百线黑=1是y=ginx的图像的条“白公切我”.故函数工（外的图像存在“白公切线”：

对于£（x）=ln.J/：（幻，；（上>0）是严格及届数，故人（外在不网点处的切线斜率不

EJ.所以函数£（外的图像不存在“口公切线”.

9

（2）由/（》）=」--1在（一士为上恒大广等fo.H仅当x=0时g'（x）=0・故）=爪助

COSX22

是严格堵南数,可将它至多有个零点.令sinx-（*-a）cos«t€[-：./]），lUV=

品⑶的图像是连续曲线.且©（-勺团（5=1<。・所以尻（幻在（二,今上存在零点,故

在（-；3）卜出（"=鳌，存在零点・所以g（x）有唯号点.

假设g（K）的图像存在“自公切线”.则存住曰三七（-15）且玉工工,使符g（x）的图

/■

傕〃»=rr='、处的切，Gflt介.故\-----1=-----\------1（•!）Htaii.r.-----3一+a=tnnr.

car,COTK：COS*.rt

~rorT*fl（*2），由，D可得0=-七，不妨设怎w（0,f），将三=-、代入C2）,可用M=

sin2%€（0』,在右图的单位圆中.ZAOP=2x1.PM-