2023届高考复习系列模拟数学试卷5（新高考II卷）（解析版）

2023届高考复习系列模拟数学试卷5（新高考H卷）

第I卷选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4=卜上2T>（）},3=卜料>1},则（）

A.AiB=RB.Ac\B=0C.BeAD.AcB

K答案XC

K解析1由42一%>0,解得x<0或X>1,即A={小<0或%>1};

由凶>1,解得4>1或XV-1,即8={巾<-1或X>1}.

则AD〃={xk<0或x>l},故选项A错误；

Ac8={Nx<-1或%>1},故选项B错误：

根据集合间的包含关系，可知4=故选项C正确，选项D错误.

故选：C.

2.若z=l+i,则-7=（）

z-1

A.—B.1C.y/2D.2

2

K答案》C

K解析》由题意告—?一&科一号—

则j=J（T）2+（T）2=&.

Z-I

故选：C.

3.已知向量”，〃满足同=21卜2,卜一司=6,则《,》）=（）

A.30°B.45cC.60°D.90°

K答案》C

K解析》由卜叫=6,得（"0=3,即/一24m+/=3,则有

一2同.忖8s（d/）+忖=3,

又问=21卜2,可得cosW=g,e[0,180],所以（.,〃）=60.

故选：c.

4.某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝皿晶晶”“欢

欢,，“迎迎,，“妮妮,,，2010年广州亚运会吉祥物，，阿样”“阿和，。阿如”“阿意，。乐羊羊”，2022年

北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亚运会吉祥物"琮琮色莲莲”“宸宸”，若他从这15

个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（）

A1B1C-」

A-105°，5D.3

K答M3B

K解析》15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，

他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率为

立」

C：s5,

故选:B.

5.南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法.商功》中出现了山图所示的形状.后人称之

为“三角垛”，“三角垛''最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，以此类

推.设从上到下各层球数构成一个数列{〃“},则（）

A.&=9B.-4=八C.«H）=55D.S7=85

R答案Xc

K解析1由题意得，q=1必一％=2.%-%=3,…此一%=〃，

以上〃个式子累加可得q=1+2+…+〃=*辿（〃之2）,

又4=1满足上式，所以。“=心罗，

则生=3,«,=6,‘a=10,%=15,&-21,%=28,%0=1。；"=55,

故A,B错误；C正确.

得S?=4+〃2++%=1+3+6+10+15+21+28=84.

故D错误:

故选：C.

,廿•(冗)317nIn

则sin2a+sin?a=(

7

D.

io

K答案WD

“AJTiln।nr：*•।n)3177r77r

K解析》由题意，sinl«+=—<a<—,

.5nn.(,A4

..—<a+-<2n,cosa+-=-

34I4j5

.・/2。+面。=-工+竺7

255010

故选：D.

7.如图，在三楂柱ABC-ASG中，■底面八8C,八4=4,AC=BC=2,

Z4CB=90°,。在上底面A4G（包括边界）上运动，则三棱锥。-ABC的外接球体枳的

最大值为（〉

C.

C.8瓜itD.1273)1

R答案5c

K解析X因为AC=8C=2,ZACB=90°,所以/8C的外接圆的圆心为46的中点。1,

且AOi=8Q=&,

取A出的中点E,连接QE,则QE//AA，所以QE_L平而八3C：

因为OWxWl,所以"(x)=eZ-140,

当且仅当x=l时，〃(x)=O,

所以〃(x)=ei-x在［0』上为减函数，

所以e"T—a>e0—1=0,即

又当x>0时，/(A)>0,所以⑴⑴，

又0<a<l,所以e。<e<3，

由e"/(0)>/(a)>0,可得〃0)>0,

所以e“/(0)v3/(0),

所以3/(0)>/(1)>/(1),

故选:B.

二、多项选择题：本大题共4小题,每小题5分.共2()分.在每小题给出的四个选项中,有

多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得。分.

9.关于函数/(x)=cosx+asinx(4w0)有以下四个选项，正确的是()

A.对任意的a,/(x)都不是偶函数B.存在a,使〃x)是奇函数

C.存在“，使/(x+兀)=/("D.若/")的图像关于对称，则。=1

K答案XAD

KM-tJr3/(x)=cos.v+dsinx=7«2+1sin(x+^),其中tane=',,

az乙

对于A,要使/(x)为偶函数，则e=］+且£<w苫，即对任意的a,/(x)

都不是偶函数，故正确：

对于B,要使/(x)为奇函数，则。=E,&eZ,且一］<8<5，即不存在小使“X)是奇

函数，故正确；

对.于C,因为/(x+兀)=J“2-1sinlx+Tt+eju-Ja，+1sin(x+e)w/(x),故£音误；

对于D,若f(x)的图像关于［=：对称，则(+*=］+E,keZ,

解得e=+且一所以0=四，即ianZ=L=l=a=l,故正确.

42244a

故选：AD.

3I

10.已知mb均为正实数且满足一+f=1,则下列结论正确的是()

ab

9II314

A.ab£12B.a+3/?tl2C.~7H—~S—D.-----1----4-

a'b'24+18+15

(答案HBCD

K解析』A项：取”=4,人=4得必=16>12,错误：

B项：〃+3〃=(〃+3〃)(3+：]=6+*+?26+2百=12,当且仅当a=6,〃=2时，取等

号，正确：

C项：记“则〃+y=l,从而与+工二/+干之？(”』=2(-1=-,当且仅

aba-b'{2J{2J2

当〃=u=g,即a=62=2时，取等号，正确；

3131

7，31,/口、a„^—+—=—+—'—133a-7

D项：由一+工=1,得〃=----»从而”+1b+\4+1a,.+-----7，

aba-51222a-a-3

—a-3T+

f+73J11[319t_J127、1

+-+X2-+X

—=t、则白二手，Wj7+iK+i222/4-25/+502T2/+50+25

t

]27I19711384

<-+—x——!——=-+—x—=1+—当且仅当f=5,即a=b=4时，取等

222x10+252245210105

号，正确.

故选：BCD

H.已知双曲线的左、右焦点分别为£,E，过点（7（1,等）的直线/与双曲线

E的左、右两支分别交于〃、。两点，下列命题正确的有（）

A.当点。为线段PQ的中点时，直线/的斜率为8

B.若A(—1,O),则/。鸟A=2/Q4入

C.|刊讣|尸用＞|叫2

D.若直线/的斜率为孚，且庾0.6）,则仍用+|。£|=|叫十|。刎

K答案》BCD

K解析》选项A：

设口小丁）,。（孙为），代入双曲线得,

2

，

芍>1-

-3=1

2,两式相减得，

2A

毛-

3=1

（%—七）（玉+±）一；（y-），2）（y+%）=°，

•・•点。为线段产。的中点，

.，+&=],»+为_也

2'2-2'

即王+“2,y+），2=G

***（-^i-A2）-2--|（yl-y,）->/3=0,

J

•.・2=入二比=26,故A错误：

为一天

选项B：

设。（小,%）,

tanZQF2A=一一lanZQAF2=^-,

x。-2/+1

2.上

（an2/。伤=—=--,

I-（）'o）2/-2

%+1

tan/QF2A=tan2Z.QAF2,

又.N。gA.NQAg6（0,汽），

..ZQF2A=2ZQAF2,故B正确；

选项C：

设P（x户力），其中与W-l,

贝ijx；—弓=1,即疗=3（年—1）,

2

|明=&斗+2『+次=J（A>+2）+3（A；-1）=|2XP+1],

I%=J（”2）2+-=J（七-2）2+3⑸-1）=|2”1|,

「•I尸闻•I桃I=|（2毛，+1）•（2巧,T）|=4片一1,

二|PO『=£+次=/+3（焉-1）=4A；-3,

:.\PO^一阀卜也卜-3-(4H-l)=-2<0,

.•.归。(<归附・|尸周，故C正确：

选项D：

.\PF^-\PF]=2a,\QF\-\QF^2at

二|产用=|P号-〃，|Q凰=2a+|Q段，

・•・I町I1124H桃|入।口।|Q用=|即|1\QF2\，

•・•直线/的斜率为手即MQ=竿，且过点C。,手),

・••直线/的方程为：2x-^y-1=0,

又••,8(0,6)，6(2,0),

O-^/Sx^/s-—r-

又•.•点8到直线/的距离：.2V7,

4=----

x/1-4-+-3---=—2

2x2-0--r-

点五2到直线/的距离：d二’2二币,

74+3-2

即4-d2,

・•.点4与点入关于直线/对称，

.•.|用+|。⑷=|「周+/图,

••.|P£|+|Q用=|PB|+|QB|,故D正确;

故选：BCD.

12.在正方体AG中，M为人B中点，N为8。中点，P为线段CG上一动点（不含。）过

M,N,P的正方体的截面记为。，则卜列判断正确的是（）

A.当。为CG中点时，截面a为六边形

CP1

B.当才＜不时，截面a为五边形

C.当截面a为四边形时，它一定是等腰梯形

D.设。。中点为。，三棱锥2-PMN的体枳为定值

K答案》AC

K解析》对A,如下图所示，延长仞V交AO于M',交CD干N',延长N'尸交GA于

T,取A取的中点S,连接MS交AA于〃，连接AC，AG，

因为M为A8中点，N为8C：口点，所以MN//AC,

同理ST//AG，又因为AC〃A£,所以ST"MN,

同理SP"PN.MPHPT,所以S,T.P,N,M,P共面,

此时六边形STPNMP为截面。,

所以截面a为六边形，故A正确；

对B,如下图所示，延长MN交4。于M',交CD于N',连接N'R交CC\于p,

连接交AA于户，此时截面々为五边形,

CPCN'ICP1

因为CO//CQ,所以,CPN'ACrR,所以方=777r=5，即〒=鼻,

所以当时，截面“为五边形，故B错误：

对C,当截面a为四边形时，点尸与点C1重合，如图，

由A得，MNIIAG，所以四边形AMA6即为截面a,

设正方体的校长为1,则NG=4，MA=与，所以NG=M4,,

所以四边形A"NC是等腰梯形，故C正确.

对D,设人为尸到平面QWN的距离，

延长MN,0c交于一点E,连接QE与CG交于一点厂，

所以直线CC,与平面QMN相交，所以直线CG与平面QMN不平行，

三棱锥Q-QWV的体积:%-FMN=%-QMN=,SQMN'"»

J

因为SQMA，为定值，P为线段Cq上一动点，所以。到平面QMN的距离不为定值,

所以三棱锥Q-PMN的体积为不为定值，故D不正确.

故选：AC.

第n卷非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2023秋•海南僻州•高二校考期末）已知A8是相互独立事件，且

Io

P（A）=g,尸（3）=：,则P（A8）=.

K答案吗

Io

R解析』由题意P（A）=/,P[8）=；,

所以F（A6）=P（A）F⑻=耳1后2=百1

故口答案X为：

14.若过*轴上一点P（%,0）所作的曲线C：y=（x-l）e’的切线有且只有一条，则工的一

个可能值为，此时的切线方程为.

R答案1-3或1x+e>,+3=0n^ev-y-e=0

K解析X（注意：只需从这两组K答案U中选择一组作答即兀）

设切点（小（药-1）西），因为>'=.©,所以切线方程为尸&-1）9=“"（”一内）.

因为切线/经过点P,所以一（玉-1）。，=内/（不一百），

则关于为的方程-（％-1）小=不酉（』7；）只有一个实数解.

即片一（天+1）内+1=0只有一个实数解，由△=（毛+1>-4=0,解得/=-3或毛=1.

当.”=-3时，x,=-l,此时切线方程为x+ey+3=0；

当天=1时，芭=1,此时切线方程为ex-y-e=0.

15.圆例：/+），2+2x-8=0与x轴交于A,8两点（A在8的左侧），点N满足黑|=2,

直线/:y=h+，〃供>0）与圆M和点N的轨迹同时相切，则直线/的斜率为.

K答案工四

12

K解析W对于圆M：*2+），2+21-8=0,令产。，得丁+2工-8=0,解得工=~4或x=2,

则A(T0),8(2,0).

设M“,y)，.•.|网=2|网

|N8|

则J(x+4)2+)，2=27(x-2)2+y2,整理得。一4)2+)，2=16,

则点N的轨迹是圆心为E(4,0),半径为R=4的圆.

又圆M的方程为(x+l)2+V=9,则圆M的圆心为(-1,0),半径为r=3.

V4-3<4-(-l)<4+3,・•・两圆相交，

设直线/与圆M和点N轨迹圆£切点分别为C,D,

连接CW,DE,过M作DE的垂线，垂足为点尸，则四边形CDFM为矩形,

,.[M£]=5,\EF\=|D£|-\DF]=R-\CM\=4-3=1,\MF\=2>/6,

则tanNFME_IM_8

则两圆公切线CD的斜率即为直线FM的斜率为它.

16.已知抛物线)2=4x,其推线为/且与大轴交于点。，其焦点为凡过焦点厂的直线交

抛物线于A,8两点，过点A作准线/的垂线，垂足为〃.若|A〃|=2忸F|,则线段"尸的长

度为.

K答M3273

R解析》由抛物线的定义知，|A〃|=|AF|,又|A*=2怛耳，所以|4尸

如图所示，过点8作直线/的垂线，垂足为E,则忸耳=忸^，过点8作A”的垂线，垂足

为C.

设忸E|=|BF|=/n,则|4f|=|AF|=2/n,显然|AC|二,”卜忸曰=2〃L〃I=〃?,

则有3的喘=扁的=就段，得34尸=2&'

所以直线A月的斜率为2&，由直线A8过尸(1,0),直线AB的方程为y=2及(x-1).

2

不妨设4(“)，芭>0,y>o,由P广1a(*7),解得

加=48(X=2j2

所以在Rta"。尸中，|。耳=2.|”q=y=2及，尸卜+|D/f=屈=2石.

故R答案》为：2&.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛叫各项均为正数，％=1,%>外,且。/2+4=。24+1(〃£河).

(1)若“2=2,求｛〃“｝的前八项和s”；

(2)若｛4+「如｝为等比数列,且｛《｝不为等比数列,求乙的值.

解：(1)由题(若勺=2,则*2+4=2。向，

故｛《,｝为等差数列，4=1,%=2,则公差为4=1,

所以4=%

故｛《,｝的前〃项和s”="U.

(2)由已知可得%+1=〃；，♦'•%=a；-1，/+〃2=。2,/，，4=。2(。；-2),

由于｛《向-24｝为等比数列，则(％-2%)2=(%—2)(%—2%),

即(«--!-2a2尸=(%-2)(嬉一2生一2何+2),

整理可得2a2=5,.•.%=■!，

则％=2?1,符合｛《,｝不为等比数列，且%>4,故％=15.

18.在.A3c中，角4,8，。所对的边分别为a,0,c,已知acosB+AcosA=2ccosC.

(1)求C：

(2)若。=1,求M5c面积的取值范围.

解：(I)在A3C中，由已知及正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,

即有5出（4+8）=2$皿。85。，即sinC=2sinCcosC,而0＜。＜兀，sinC＞0»则

cosC=—,

2

所以C=g.

（2）在_A6C中，由余弦定理/=/+从一2而cosC得：1="+6一疝，

因此技加力一时，即0＜必01,当且仅当“=力时取等号，

又'△A&C=；absmC=gx与ab=曰abw（U,日J,

所以/BC面积的取值范围是（0,3].

4

19.2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家

境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，

除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过

世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿

枳分比赛游戏，规则如卜：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会

答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答

对的概率均为：，小陈同学每道题答对的概率均为:，每道题是否答对互不影响.

（1）求小陈同学有机会答题的概率：

（2）记X为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求X的分布列和数学期望.

解：（1）记“小陈同学有机会答题”为事件A,

所以P（A）=1-P（可=1-（1一野（1—£|噎，

所以小陈同学有机会答题的概率是与.

P（X=I5）=C；

P(X=20)=

4

所以X的分布列为:

X05101520

11II5

p

162448124

filflUE(X)=Ox—+5x—+10x—+15xA+20xl=—.

1624481244

20.如图，在直棱柱ABC。-43cA中，底面A8C。是平行四边形，/里=64),M为

4A上的点，AM=24”,AD,1BM.

(1)证明：8。4平面。2&4；

(2)N为线段AG上的点，若4B=2A。，AN=2NG，求二面角M—80—N的正弦

值.

(1)证明：因为ABCQ-A/£。为直棱柱，则/V\_LADO〃_LA。，且A4,=J5AQ，

则八fAM力ex/3,tanZAD,D=—=—,

、J(anZ.MDA=——="---=—'1OQ3

ADAD31

所以NM£>A=NAZ)Q,即/MDA+/"A/)=],则A。IMO,

又因为MD\BM=M,平面8/W,

所以。①_L平面BDM,因为B£)u平面BDM,

所以RA18。，因为QAJ_/小，RAnD4=A,RAOAu平面。0AA,

所以工平面QRAA;

（2）解：由（I）知，OAOROA两两垂直，以。为坐标原点，建立如图所示空间直角

坐标系，连接

设A4=2AT>=2,则人。=1，M=5BD=4AB2-AD，=也

则O(O,O,O),8(O,G,O)，A(I,C,G)，G(—I,"G),

所以。3=(0,右,0bDA,=(1,0,73),AC,=(-2,75,0),

则ON=£>A+[AG=

设平面BDN的法向量为〃=(J,乂z),

n-DB=>/3y=0/0

则后％2八八小解得”Q6，取z=l,则”3后，

n-DN=一一+-7=+V3z=0x=3\/3z

[36

所以平面3QN的一个法向量为〃=卜6,0,1）,

由（1）知QA=（1,（）「75）是平面的一个法向量,

设二面角M—3O—N为。,

则sin0=Jl-|cosd—,即二面角例―8O—N的正弦值为”.

1414

21.已知点£是圆尸:卜+石『+），2=32上的任意一点，点。卜昆0）,线段OE的垂直平分

线与直线EF交于点C

（1）求点C的轨迹方程;

（2）点A（2,l）关于原点O的对称点为B,与A8平行的直线/与点C的轨迹交于点M,

N,直线AM与8N交于点尸，试判断直线OP是否平分线段MN,并说明理由.

解：⑴由题意,目=|初，乂,•,忻。|+|侬=|庄|=4上,

：.\FC\+\CD\=4上>|叫=2〃,

・••点。的轨迹是以F、。为焦点的椭圆，其中a=2夜，d

所以b?■“2/.2,

・••椭圆C的方程为=十二=1.

82

（2）易得4（2,1）1（-2,-1）,勺8=号号=：,设历（西,凶）,川（天，》）,

/：），=；%+皿，〃=0,将/的方程与三+工=1联立消）'，得丁+2如+2〃/—4=0,

~82

则△=W-4(2WI2-4)>0,得—2<〃?<2且〃?W0,

2

且X+x2=-2m,xtx2=2m-4,所以y+y2=g(%+尤2)+=加，

%+%2y+)’2

所以MN的中点为。

2'2即卜呜J，

11

因为=江1=22——=1+/一,即、,=&±1=2_——=1+上

*A-,-2AJ-22$-2外巧+2巧+22x2+2

m1m2m

所以直线AM的方程为-1=4+-（x-2）,即广-+----x--------

（2x,-2j(2X.-2%-2

直线RN的方程为y+l=1+-(X+2),2m

即y=-+x+-------

12Xy+2.)〔2占+2,x>+2

mm2m2m

联立直线AM与直线9N的方程，得x=------+-------

I%—2x>+2*-2&+2

1m2m

2+^-2Xp~x.-2'

1m2mx.-x,-41(再+/)+(*f-4)

所以加="=一+.+-------3—=-r=-+m-

Xp2Xj-2JXj-22(玉+%)2(X,-2)(X,+X2)

I