2025年整数除法核心法则与解题技巧

数的整除知识点

数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学教学中的

重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

数的整除

1.整除——因数和倍数

例如：154-3=5,634-7=9

一般地，如a、b、c为整数，b=#0,且a《b=c,即整数a除以

整除b(b不等于0),除得的商c恰好是整数而没有余数(或

者说余数是0),我们就说，a能被b整除(或者说b能整除

a)o记作bIa.

假如整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的

因数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7

的倍数，7是63的因数。

2.数的整除性质

性质1:假如a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c

整除。

即：Ia,cIb,那么cI(a±b)o

例如：假如2|10,2|6,那么2|(10+6),

并且2|(10—6)。

性质2：假如b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.

7

Rl:彳民出口beIa,丹E么bIa,cIao

性质3:假如b、c都能整除a,且b和c互质，那么b与c的

积能整除ao

即:彳度4口bIa,cIa,且（b,c）=1,那么bela。

例如：假如2|28,7I28,且（2,7）=1,

那么（2X7）|28o

性质4：假如c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。

即：假^口cIb,bIa,那么cIa。

例如:假如3I9,9I27,那么3I27。

3.数的整除特性

①能被2整除的数的特性：个位数字是0、2、4、6、8的整数.

“特性”包括两方面的意义：首先，个位数字是偶数（包括

0）的整数，必能被2整除；另首先，能被2整除的数，其个位

数字只能是偶数（包括0）.下面“特性”含义相似。

②能被5整除的数的特性：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特性：各个数位数字之和能被3

（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特性：末两位数能被4（或25）

整除。

例如：1864=1800+64,由于100是4与25的倍数，因此1800

是4与25的倍数.又由于4|64,因此1864能被4整除.但由

于2564,因此1864不能被25整除.

⑤能被8（或125）整除的数的特性：末三位数能被8（或

125）整除。

例如：29375=29000+375,由于1000是8与125的倍数，因

此29000是8与125的倍数.又由于125|375,因此29375能

被125整除.但由于8375,因此829375。

⑥能被11整除的数的特性：这个整数的奇数位上的数字之和与

偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：判断这九位数能否被11整除？

解：这个数奇数位上的数字之和是9+7+5+3+1=25,偶数位

上的数字之和是8+6+4+2=20.由于25—20=5,又由于

115,因此。

再例如：判断13574与否是11的倍数?

解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4

+5+1）-（7+3）=0.由于0是任何整数的倍数，因此11I0.

因此13574是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特性：一种整数的末三位数与

末三位此前的数字所构成的数之差（以大减小）能被7（11或

13）整除。

例如：判断1059282与否是7的倍数？

解：把1059282分为1059和282两个数.由于1059-282=

777,又7|777,因此7|1059282.因此1059282是7的倍数。

再例如：判断3546725能否被13整除?

解：把3546725分为3546和725两个数.由于3546-725=2821.

再把2821分为2和821两个数，由于821—2=819,又13I

819,因此13|2821,进而13I3546725.

质数和合数

1,质数与合数

一种数除了1和它自身，不再有别的因数，这个数叫做质数

（也叫做素数）。

一种数除了1和它自身，尚有别的因数，这个数叫做合数。

要尤其记住：1不是质数，也不是合数。

2.质因数与分解质因数

假如一种质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的

质因数。

把一种合数用质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。

例：把30分解质因数。

解：30=2X3X5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12=2X2X3=22X3,2、3都叫做12的质因数。

例1三个持续自然数的乘积是210,求这三个数.

解：T210=2X3X5X7

・••可知这三个数是5、6和7。

例2两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多

少？

解：把40表达为两个质数的和，共有三种形式:

40=17+23=11+29=3+37。

717X23=391>11X29=319>3X37=111o

.,•所求的最大值是391。

答：这两个质数的最大乘积是391。

例3自然数是质数，还是合数？为何？

解：是合数。

由于它除了有约数1和它自身外，至少尚有约数3,

因此它是一种合数。

例4持续九个自然数中至多有几种质数？为何？

解：假如这持续的九个自然数在1与20之间，那么显

然其中最多有4个质数(如：1〜9中有4个质数2、3、5、

7)o

假如这持续的九个自然中最小的不不不小于3,那么

其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个

奇数中必只有一种个位数是5,因而5是这个奇数的一种因

数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。

综上所述，持续九个自然数中至多有4个质数。

例5把5、6、7、14、15这五个数提成两组，使每组数的乘积

相等。

解：V5=5,7=7,6=2X3,14=2X7,15=3X5,

这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，

因此如把14(=2X7)放在第一组，那么7和6(=2X3)

只能放在第二组，继而15(=3X5)只能放在第一组，则5必

须放在第二组。

这样14X15=210=5X6X7。

这五个数可以分为14和15,5、6和7两组。

例6有三个自然数，最大的比最小的大6,另一种是它们的平

均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。

分析先大概估计一下，30X30X30=27000,远不不小于

42560.40X40X40=64000,远不小于42560.因此，规定的三

个自然数在30〜40之间。

解：42560=26X5X7X19

=25X(5X7)X(19X2)

=32X35X38(合题意)

规定的三个自然数分别是32、35和38。

例7有3个自然数a、b、c.已知aXb=6,bXc=15,

aXc=10.求aXbXc是多少？

解：V6=2X3,15=3X5,10=2X5。

(aXb)X(bXc)X(aXc)

二(2X3)X(3X5)X(2X5)

Aa2Xb2XC2=22X32X52

・•・(aXbXc)2=(2X3X5)2

aXbXc=2X3X5=30

在例7中有a2=22,b2=32,C2=52,其中22=4,32=9,52=25,

像4、9、25这样的数，推及一般状况，我们把一种自然数平方

所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。

如.廿=1,22=4,32=9,42=16,…，112=121,122=144,…

其中1,4,9,16,121,144,…都叫做完全平方数.

下面让我们观测一下，把一种完全平方数分解质因数后，各质

因数的指数有什么特性。

例如：把下列各完全平方数分解质因数：

9,36,144,1600,275625。

解：9=3?36=22X32144=32X24

1600=26X52275625=32X54X72

可见，一种完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均

是偶数。

反之，假如把一种自然数分解质因数之后，各个质因数的指数

都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。

如上例中，36=62,144=122,1600=402,275625二525?。

例8一种整数a与1080的乘积是一种完全平方数.求a的最小

值与这个平方数。

分析Ta与1080的乘积是一种完全平方数，

・・・乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶

数。

解：・・・1080Xa=23X33X5Xa,

又・・・1080=23X33X5的质因数分解中各质因数的指数

都是奇数,

.♦.a必含质因数2、3、5,因此a最小为2X3X5。

A1080Xa=1080X2X3X5=1080X30=32400o

答：a的最小值为30,这个完全平方数是32400。

例9问360共有多少个约数？

分析360=23X32X5O

为了求360有多少个约数，我们先来看32X5有多少

个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、2\23,即得

至IJTX32X5(=360)的所有约数.为了求3?X5有多少个约数，

可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、

3、32,即得到3?X5的所有约数。

解：记5的约数个数为Y1,

32X5的约数个数为Y2,

360(=2'X32X5)的约数个数为Y3.由上面的分析可

知：

Y3=4XY2,Y2=3XY1,

显然Y1=2(5只有1和5两个约数)。

因此Y3=4XY2=4X3XY1=4X3X2=24。

因此360共有24个约数。

阐明：Y3=4XY2中的“4”即为“1、2、2\23v中数

的个数，也就是其中2的最大指数加1,也就是36O=23X3?X5

中质因数2的个数加1；Y2=3XY1中的“3”即为“1、3、3?”

中数的个数，也就是T><32><5中质因数3的个数加1;而Y1=2

中的“2”即为“1、5”中数的个数，即23X32X5中质因数5

的个数加1.因此

Y3=(3+1)X(2+1)X(1+1)=24。

对于任何一种合数，用类似于对23X32X5(=360)的约数个

数的讨论方式，我们可以得到一种有关求一种合数的约数个数

的重要结论：

一种合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的

个数(即指数)加1的连乘的积。

例10求240的约数的个数。

M：V240=24X3X5,

Z.240的约数的个数是

(4+1)X(1+1)X(1+1)=20,

・・・240有20个约数。

请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看与否是20

个？

公因数和最大公因数

1.公因数和最大公因数

几种数公有的因数，叫做这几种数的公因数；其中最大的一

种，叫做这几种数的最大公因数。

例如:12的因数有