高数期中复习

高数期中复习教员部：自动化学院17级方诗雨§1多元函数的基本概念多元函数的概念二元函数的极限二元函数的连续性ch8多元函数微分法及其应用3.一些概念邻域内点开集~~~~~~~~~~边界~~~~~~连通性区域连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，闭区域开区域连同它的边界一起称为闭区域.~~~~~~有界闭区域；无界开区域．例如，有界点集二、二元函数的极限定义几何意义注例

研究函数当(x,y)→(0,0)的极限．解取其值随k的不同而变化，故极限不存在．例

已知证明确定极限不存在的方法：三、二元函数的连续性1定义2有界闭区域上的连续函数性质定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．§2偏导数偏导数的定义及其计算法高阶偏导数一、偏导数的定义及其计算法偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解３、偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导

连续，多元函数中在某点偏导数存在

连续，

如图4、偏导数的几何意义几何意义:纯偏导混合偏导二、高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）小结不能.例如,§3全微分及其应用全微分的概念全微分在近似计算中的应用定义定义1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~定义2定理13.可微的条件定理2(必要条件)定理3(充分条件)注例解多元复合函数的求导法则一、链式法则二、全微分形式不变性三、小结一、链式法则例1解推广1:中间变量多于两个的情况.Z=f(u,v,w),u=u(t),v=v(t),w=w(t)以上公式中的导数称为全导数.推广2:中间变量是二元函数的情况链式法则如图示解推广3:关于中间变量是二元以上函数的情况特殊情况4即令其中两者的区别区别类似解例3解例3例4例5解全微分形式不变形的实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.二、全微分形式不变性1、链式法则2、全微分形式不变性（理解其实质）三、小结问题的提出由一个方程确定的隐函数情形由方程组确定的隐函数的情形§5隐函数的求导公式由一个方程确定的隐函数情形√隐函数的求导公式解令则√解令则由方程组确定的隐函数的情形√空间曲线的切线与法平面空间曲面的切平面与法线§6.微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M点且与切线垂直的平面.例

解注注注例2

解二、曲面的切平面与法线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~注解令切平面方程法线方程解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)§7方向导数与梯度问题的提出方向导数的定义梯度的概念

讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．（如图）方向导数的定义1.定义当沿着趋于时，定义这极限为函数在点P沿方向l的方向导数

记为注12.方向导数的存在性与计算定理三、梯度的概念由方向导数公式知

结论结论1、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）小结§8多元函数的极值及其求法多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法极值—局部概念一、多元函数的极值和最值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.1、二元函数极值的定义定义

（小）（小）2、多元函数取得极值的条件注定理1定义注驻点极值点定理2求函数z=f(x,y)极值的一般步骤：

例4解求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.

与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值解如图,二、条件极值拉格朗日乘数法例解§2二重积分的计算法利用直角坐标计算二重积分利用极坐标系计算二重积分二重积分的的换元法方法:将二重积分化为两次定积分来计算.(注:不加严格推导,仅从几何直观来得出计算方法,所得结果也适用于一般二重积分）一、利用直角坐标计算二重积分D

bxyoaA(x)已知A(x),求体积V=?复习求体积v=?计算法abDz=f(x,y)x0xzoYDabA(x0)x0xyo1.2.如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.［X－型］注如果积分区域为：［Y－型］

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.解例4解例解§2二重积分的计算法利用直角坐标计算二重积分利用极坐标系计算二重积分二重积分的的换元法√二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图例8解zXYXY§4三重积分概念及其计算法三重积分的定义三重积分的计算§4三重积分概念及其计算法三重积分的定义三重积分的计算定义定理注二、三重积分的计算如图，得注

设在Ω中，zmin=c,zmax=d，用平面Z=z(c

≤z≤d)截Ω得其平面区域Sz(截面积也记Sz),在xoy面上的投影区域记为Dz,方法2：截面法得三重积分的值，即

若被积函数只依赖于一个变元，如f(x,y,z)=f(z),并当z=常数的平面与Ω相截时，其截面积Sz易求,则用截面法计算三重积分，有注解原式§5利用柱坐标和球坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分一、利用柱坐标计算三重积分1.柱面坐标M(x,y,z)rzM(r,θ,z)xyzo2.利用柱坐标计算三重积分drdzxyoz解所围成的立体如图，所围成立体的投影区域如图，二、利用球坐标计算三重积分yoxzM(x,y,z)r1.球面坐标2.利用球面坐标计算三重积分ABCDEyoxZoyzx（1）柱面坐标的体积元素（2）球面坐标的体积元素（3）对称性简化运算三重积分换元法柱面坐标球面坐标小结§1对弧长的曲线积分问题的提出对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的性质对弧长的曲线积分的计算二、对弧长的曲线积分的概念1.定义被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量2.存在条件三、对弧长的曲线积分的性质四、对弧长的曲线积分的计算定理注注特殊情形推广:§2对坐标的曲线积分问题的提出对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算起点终点定理注注注§3格林公式及其应用(1)区域连通性的分类格林(Green)公式一个简单应用定理1注例1解又解例2解法二Cxyo解法一Cxyo曲线积分与路径无关的定义