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文档简介

高数期末复习之积分

不定积分定积分定积分在几何中的应用不定积分

不定积分的概念换元积分法分部积分法有理函数及三角函数有理式的积分任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量第一节:不定积分的概念定义：原函数存在定理简言之：区间上的连续函数一定有原函数.定理：基本积分公式（第1页）说明：基本积分公式（第2页）基本积分公式（第3页）基本积分公式（第4页）

注意：同一函数的不定积分的形式可能不同可用求导数的方法验证正确性.不定积分性质1和性质2或性质1:性质2:或(微分运算与求不定积分的运算是互逆的.)先积后导全抵消，先导后积常数要不定积分性质3和性质4被积函数的不为零的常数因子可以移到积分号外面。性质3:两个函数的代数和的不定积分等于两个函数的不定积分的代数和。性质4:（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）例1

求积分解根据积分公式（2）例2

求积分解解例3

求积分拆项法解例4

求积分说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.解：原式练习：求练习：求解：原式第二节换元积分法第一类换元法第二类换元法第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.定理1定理2第二类积分换元公式注：(1)保证代换x=(t)的单调连续(有反函数）；代换x=(t)，一起换。基本积分表2

第三节分部积分法例1

求积分解例2

求积分分析：令显然，选择不当，积分更难进行.解令例3

求积分解（再次使用分部积分法）例4

求积分解令例5

求积分解例6：求积分解注意循环形式例7

求积分解令

把换元法和分部积分法结合使用，效果更好解两边同时对求导,得第四节几种特殊类型函数的积分

有理函数的积分三角函数有理式的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数.一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；(A)利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.(B)实系数多项式因式分解定理

Q(x)=b0(x-a)…(x-b)

(x2+px+q)

…(x2+rx+s)

定理：任何一个次数大于等于1的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解成一次多项式与二次不可约多项式的乘积.最简分式下列两种分式称为最简分式第一种：第二种：有理函数求积分的思路

由于有理函数可以分解为多项式与真分式之和，而真分式可以分解为最简分式之和，故有理函数的积分问题转化为多项式和最简分式的积分问题.而多项式的积分问题已解决，所以剩下的问题是解决最简分式的积分问题.多项式＋有理真分式最简分式之和最简分式形式(1)如何分解(2)如何积分有理函数多项式除法真分式化为最简分式之和的待定系数法例1例2

求积分

解三角有理式的定义：

由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数．一般记为二、三角函数有理式的积分令（万能置换公式）

由此可见，三角函数有理式的积分问题可以转化为有理函数的积分问题.例3

求积分解由万能置换公式例7

求积分解（一）解（二）修改万能置换公式,

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