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第4章级数4.1级数的基本性质4.2Taylor展式4.3Laurent展式第4章的主要知识点1、复数序列和复数项级数的定义与性质2、复函数项级数与幂级数的定义与性质3、解析函数的Taylor展式和唯一性定理4、解析函数的Laurent展式和孤立奇点的性质与特征第4.1节级数的基本性质4.1.1复数项级数4.1.2复变函数项级数4.1.3幂级数4.1.1

复数项级数1.

复数序列及其极限复数序列收敛的等价条件即注下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.解

例A因此数列发散.例B下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.2.

复数项级数注：说明:与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:复数项级数收敛的等价条件复数项级数收敛的必要条件重要结论:例D解级数满足必要条件,但例E解3.柯西准则定理4.1.1(复序列的柯西准则)定理4.1.2(复级数的柯西准则)4.绝对收敛，柯西乘积例F故原级数收敛,且为绝对收敛.因为所以由正项级数的比值判别法知:解故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛,是条件收敛.例G解定理4.1.34.1.2复变函数项级数1.

一致收敛定义4.1.1(1)定理4.1.4(复函数序列一致收敛的Cauchy准则)称为这级数的前n项部分和.对于n=1,2,…,定义和函数定义4.1.1(2)定理4.1.4(复函数级数一致收敛的Cauchy准则)定理4.1.5(维尔斯特拉斯判别法)注：2.

一致收敛的级数(或序列)的性质定理4.1.6定理4.1.7定义4.1.2注如定理4.1.8证4.1.3幂级数幂级数的定义1.

关于幂级数的阿贝尔(Abel)第一定理定理4.1.9证2.

幂级数的收敛圆例如,级数通项不趋于零,故级数发散.例如,级数对任意固定的z,从某个n开始,总有于是有故该级数对任意的z均收敛...收敛圆收敛半径问题1：答案:问题2：答案:在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.例如,级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.定义:正数R称为幂级数的收敛半径.定理4.1.10例1解3.

幂级数和的解析性质定理4.1

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