2021年佛山市中考数学试题及答案解析

2021年佛山市中考数学试题及答案解析本试卷满分120分，考试时间120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列实数中，最小的数是（）A.-√2B.0C.1D.√32.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A.正方形B.等边三角形C.平行四边形D.圆3.一组数据2，4，3，5，2的中位数是（）A.2B.3C.4D.54.下列运算正确的是（）A.a²·a³=a⁶B.(a²)³=a⁵C.a⁶÷a²=a⁴D.a³+a²=a⁵5.如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数为（）（注：图形为a∥b，截线交a于∠1，∠2与∠1为内错角）A.40°B.50°C.130°D.150°6.分式方程$\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x}$的解为（）A.x=3B.x=2C.x=6D.x=-37.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosA的值为（）A.$\frac{3}{4}$B.$\frac{4}{3}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$9.某商场销售一批衬衫，每件进价为100元，若每件售价为150元，平均每天可售出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价（）A.10元B.20元C.30元D.10元或30元10.如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A（-1，0），则下列说法正确的是（）A.a>0B.当x>1时，y随x的增大而增大C.抛物线的解析式为y=-x²+2x+3D.点B（3，0）不在抛物线上二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。把答案写在答题卡相应位置）11.因式分解：x²-4=____________。12.若点P（m+2，m-3）在y轴上，则点P的坐标为____________。13.已知一组数据1，2，3，4，5的方差是2，则另一组数据11，12，13，14，15的方差是____________。14.如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=3，AC⊥BC，则BD的长为____________。15.扇形的半径为6，圆心角为60°，则该扇形的弧长为____________（结果保留π）。16.若关于x的一元二次方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为____________。17.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是BC的中点，连接AD，若AD=2，则BC的长为____________。三、解答题（本大题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.（本小题满分6分）计算：|-3|+(π-3.14)⁰-2tan60°+√12。19.（本小题满分6分）解不等式组：$\begin{cases}3x-1\geq2(x-1)\\2x+3>x\end{cases}$，并把解集在数轴上表示出来。20.（本小题满分6分）先化简，再求值：$\left(1-\frac{1}{x+1}\right)\div\frac{x}{x^2-1}$，其中x=2。21.（本小题满分8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，且BE=CF，连接CE，BF，交于点O。（1）求证：△BCE≌△CBF；（2）若∠BOC=120°，求∠A的度数。22.（本小题满分8分）为了了解某学校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校50名学生，统计了他们平均每天的课外阅读时间（单位：分钟），并将数据整理成如下频数分布表：课外阅读时间0≤t<2020≤t<4040≤t<6060≤t<80t≥80频数5152073（1）求这50名学生平均每天课外阅读时间的众数和中位数；（2）若该校共有1200名学生，估计该校平均每天课外阅读时间不少于60分钟的学生人数。23.（本小题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，连接AC，BC。（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AB=10，CD=6，求BD的长。24.（本小题满分10分）某工厂计划生产A，B两种产品共100件，已知生产一件A产品需耗料3千克，生产一件B产品需耗料2千克，工厂现有耗料270千克，设生产A产品x件，生产B产品y件。（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若生产一件A产品可获利50元，生产一件B产品可获利30元，设工厂生产这两种产品的总利润为W元，求W与x之间的函数关系式，并求当x取何值时，W最大，最大利润是多少？25.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）。（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，且在x轴下方，连接PA，PB，若△PAB的面积为8，求点P的坐标；（3）点Q是抛物线对称轴上一点，连接QA，QC，求QA+QC的最小值。四、答案解析一、选择题1.【答案】A【解析】实数大小比较：负数<0<正数，两个负数比较，绝对值大的反而小。|-√2|≈1.414，故最小的数是-√2，选A。2.【答案】B【解析】A选项：正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形；B选项：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；C选项：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；D选项：圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，选B。3.【答案】B【解析】将数据从小到大排列为2，2，3，4，5，中间的数是3，故中位数是3，选B。4.【答案】C【解析】A选项：a²·a³=a²⁺³=a⁵，错误；B选项：(a²)³=a²×³=a⁶，错误；C选项：a⁶÷a²=a⁶⁻²=a⁴，正确；D选项：a³与a²不是同类项，不能合并，错误，选C。5.【答案】B【解析】∵a∥b，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠1=50°，∴∠2=50°，选B。6.【答案】A【解析】分式方程去分母得：x=3(x-2)，去括号得：x=3x-6，移项得：-2x=-6，解得x=3，检验：当x=3时，x(x-2)=3×1=3≠0，故x=3是原方程的解，选A。7.【答案】A【解析】直线与圆的位置关系：d<r时相交，d=r时相切，d>r时相离。此处r=5，d=3，3<5，故相交，选A。8.【答案】C【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5，cosA=$\frac{邻边}{斜边}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，选C。9.【答案】B【解析】设每件衬衫降价x元，则每件利润为(150-100-x)元，每天销售量为(20+2x)件，根据题意得：(50-x)(20+2x)=1200，整理得：x²-40x+100=0，解得x₁=10，x₂=30。∵要尽快减少库存，∴降价越多，销售量越大，库存减少越快，故x=30，选B。10.【答案】C【解析】A选项：抛物线过A（-1，0）、C（0，3），对称轴为x=1，开口向下，故a<0，错误；B选项：a<0，对称轴为x=1，当x>1时，y随x的增大而减小，错误；C选项：将A（-1，0）、C（0，3）、对称轴x=1代入解析式，解得a=-1，b=2，c=3，解析式为y=-x²+2x+3，正确；D选项：当x=3时，y=-9+6+3=0，故点B（3，0）在抛物线上，错误，选C。二、填空题11.【答案】(x+2)(x-2)【解析】利用平方差公式因式分解：x²-4=(x+2)(x-2)。12.【答案】（0，-5）【解析】点P在y轴上，横坐标为0，即m+2=0，解得m=-2，纵坐标为m-3=-5，故点P坐标为（0，-5）。13.【答案】2【解析】方差的性质：一组数据加上同一个常数，方差不变。数据11，12，13，14，15是数据1，2，3，4，5每个数加10得到的，故方差仍为2。14.【答案】2√13【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=3，OA=OC，OB=OD。∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，AC=√(AB²-BC²)=√(5²-3²)=4，∴OA=2。在Rt△BOC中，OB=√(OC²+BC²)=√(2²+3²)=√13，∴BD=2OB=2√13。15.【答案】2π【解析】扇形弧长公式：l=$\frac{nπr}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=60°，r=6，得l=$\frac{60π×6}{180}$=2π。16.【答案】1【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，判别式Δ=b²-4ac=0，此处a=1，b=-2，c=k，∴(-2)²-4×1×k=0，解得k=1。17.【答案】4√3【解析】∵AB=AC，∠BAC=120°，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=60°。在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠BAD=60°，AD=2，∴BD=AD·tan60°=2√3，∴BC=2BD=4√3。三、解答题18.【解析】原式=3+1-2×√3+2√3（4分）=4-2√3+2√3（5分）=4（6分）19.【解析】解不等式3x-1≥2(x-1)，得3x-1≥2x-2，x≥-1；（2分）解不等式2x+3>x，得x>-3；（4分）∴不等式组的解集为x≥-1；（5分）数轴表示：（略，数轴上表示-1实心圆点，向右无限延伸）（6分）20.【解析】原式=$\left(\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1}\right)\div\frac{x}{(x+1)(x-1)}$（2分）=$\frac{x}{x+1}\times\frac{(x+1)(x-1)}{x}$（4分）=x-1（5分）当x=2时，原式=2-1=1（6分）21.【解析】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）；（2分）在△BCE和△CBF中，$\begin{cases}BE=CF\\∠ABC=∠ACB\\BC=CB\end{cases}$，（4分）∴△BCE≌△CBF（SAS）；（5分）（2）由（1）知△BCE≌△CBF，∴∠BCE=∠CBF；（6分）在△BOC中，∠BOC=120°，∴∠OBC+∠OCB=180°-120°=60°，（7分）∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=120°，（8分）∴∠A=180°-120°=60°。（9分）22.【解析】（1）众数：频数最多的组为40≤t<60，故众数为50（组中值）；（2分）中位数：50个数据，中位数为第25、26个数据的平均数，前两组频数和为5+15=20，前3组频数和为40，故第25、26个数据均在40≤t<60组，中位数为50；（4分）（2）课外阅读时间不少于60分钟的频数为7+3=10，频率为$\frac{10}{50}$=0.2；（6分）估计该校1200名学生中，课外阅读时间不少于60分钟的人数为1200×0.2=240（人）。（8分）23.【解析】（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠ACD+∠OCA=90°；（2分）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠OAC=90°；（3分）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，（4分）∴∠ACD=∠B（等角的余角相等）；（5分）（2）设BD=x，则OD=OB+BD=5+x（AB=10，OB=5）；（6分）在Rt△OCD中，OC=5，CD=6，由勾股定理得：OC²+CD²=OD²，即5²+6²=(5+x)²；（7分）解得x=2（x=-12舍去），故BD的长为2。（8分）24.【解析】（1）由题意得：$\begin{cases}x+y=100\\3x+2y\leq270\end{cases}$，（2分）由x+y=100得y=100-x，代入3x+2y≤270，得3x+2(100-x)≤270，解得x≤70；（4分）∵x≥0，y=100-x≥0，∴0≤x≤70，故y=100-x（0≤x≤70，且x为整数）；（5分）（2）W=50x+30y=50x+30(100-x)=20x+3000；（7分）∵20>0，∴W随x的增大而增大，（8分）又∵0≤x≤70，∴当x=70时，W最大，最大利润为20×7