【《Monge–Ampère方程相关介绍概述》3400字】

Monge–Ampère方程相关介绍概述目录TOC\o"1-3"\h\u20617Monge–Ampère方程相关介绍概述 1287771.1Monge–Ampère方程概览 1222061.2国内外对Monge–Ampère方程的研究现状 2161.2.1国内对Monge–Ampère方程的研究现状 293741.2.2国外对Monge–Ampère方程的研究现状 4Monge–Ampère方程是一类比较典型的完全非线性非一致椭圆（抛物）方程，经过近几十年的研究与发展，在许许多多的物理问题以及几何问题中都能发现其具有较大的贡献。作为数学史上一个比较有名的问题，自发现以来，许多科学家都为专门研究它的奥秘做出了贡献。早在1984年，就有学者得到了Monge–Ampère方程全局古典解的存在性。后来，由于不同的研究方向或者不同的研究条件等，逐渐演变出了Monge–Ampère方程的不同形式，但它们所代表的含义都是相同的。正是在前人的研究之下，Monge–Ampère方程才会在现实生活中应用越来越广泛。Monge–Ampère方程概览在一个给定的有界域中，Monge–Ampère方程是指一个函数A的黑塞矩阵的行列式是被一个给定的函数f确定的，而在该有界域的边界上，A等于另一个给定的函数g，即为：QUOTE(2-1-1)以上即为原始的椭圆型Monge–Ampère方程。同时给出一种特殊的Monge–Ampère方程：

QUOTE(2-1-2)其并不存在光滑解，是由于在边界上当边界条件QUOTE蠄=0蠄=0时，原式将在边界处消失，即差值不可能为1，所以光滑解不存在。国内外对Monge–Ampère方程的研究现状基于近几十年的研究，Monge–Ampère方程已经在多种形式下被证明了其解的存在性定理，不同形式的Monge–Ampère方程也被证明了正则性。于是在证明了相关性之后，学者们将注意力转移到了求解不同形式Monge–Ampère方程数值解的方向上来。在求解时采用了许许多多的方法，虽然步骤可能不尽相同，但最终都是为了求解出数值解，如果不存在解的情况下，则要求解近似解或者给出相应的收敛性。求解之后比较重要的就是实际应用了，Monge–Ampère方程本身就是从几何中来的，所以其应用在几何上也是非常多的，以及在最优化理论的应用中也有其非常重要的地位，在很多物理学的研究中，也都采用了转化为Monge–Ampère方程再进行求解的方法，能够很好的提升精确性以及降低计算难度。国内对Monge–Ampère方程的研究现状首先我们需要了解Monge–Ampère方程大致的发展历程。经过查找文献，在“Monge–Ampère方程的研究进展及应用”一文中，找到了对于相关研究进展和应用的阐述。如下的椭圆型Monge–Ampère方程QUOTE(2-2-1)的全局古典解的存在性，最先是于1984年卡法雷利，尼伦伯格和斯普鲁克三位学者得到的，他们也对该存在性的证明写过一篇论文进行叙述。后续，1986年立翁，初蒂纳尔，乌尔巴斯三位学者以及1997年乌尔巴斯学者分别讨论了两种在不同边界条件下的Monge–Ampère方程解的存在性，并著以论文进行叙述。克雷洛夫学者通过对抛物型偏微分方程的研究，在主要攻克Aleksandrov极值原理这一难题时提出了另外一种形式的Monge–Ampère方程[1]QUOTE-utdetDx2u之后，由于在最优控制理论等方面发现了Monge–Ampère方程的重要性，一部分学者就对该问题进行了深入研究。1995年伊沃奇纳和拉迪琴斯卡亚两位学者提出并讨论了如下形式的抛物型Monge–Ampère方程−D以期讨论关于非封闭曲面的相关发展问题。该方程的第一初边值问题古典解的存在唯一性也被进行了证明[1]。从第一初边值问题出发，克雷洛夫学者在1982年又提出了Monge–Ampère方程的第二初边值问题，但并没有对第二初边值问题进行深入的研究。这时，中国学者赵胜民于1999年在选定相应的条件下，证明出了第二初边值问题古典解的存在唯一性。在证明这一结果之前，赵胜民学者已经于1998年通过限定相应的结构性条件和衔接条件，证明了Monge–Ampère方程在求解具有诺伊曼边界条件的边值问题时其古典解的存在唯一性[1]。而对于第三初边值问题，2000年周文书学者得到了一个特定形式的抛物型Monge–Ampère方程的第三初边值问题古典解得存在唯一性，2011年任长宇等学者则将其推广到了更为一般形式的抛物型Monge–Ampère方程，证明了其第三初边值问题古典解的存在唯一性[1]。大概了解之后，再分别对以下几个关键词进行深入了解。对“椭圆型Monge–Ampère方程”这一关键词，廖亮源学者巧妙利用Campanaio技巧证明了关于方程QUOTEAr+2Bs+Ct+rl-s2=EAr+2Bs+Ct+rl-s2=E的解[2]，即Z(x,y)，以及其解的两个正则性定理，并且关于该解的二阶导数的QUOTEHClderHClder估计也在论文中给出。之后，又在另一篇文章中，他再次应用相同的技巧以及索伯列夫空间理论，证明其解在给定区域对“二维Monge–Ampère方程”这一关键词，通过阅读相关文献我发现许多学者在不同的方向上进行了研究。首先一部分学者运用不变集方法，求解了一类二维具有源项的抛物型Monge–Ampère方程，得到了它的精确解；同时也求解了普遍的二维具有源项的抛物型Monge–Ampère方程，确定系数，得到了方程的精确解，将原有的结果进行了推广[4]。另一些学者通过构造相应的闸函数将Monge–Ampère方程的诺伊曼问题整体约化到边界，从而证明了其解的二阶导数估计，进而能够证明其经典解的存在性以及正则性[5]。还有学者研究了黎曼流形上具有诺伊曼边界条件的Monge–Ampère方程，证明了它的全局正则性，并将其在欧几里得空间中所得到的主要结论推广到了更大范围的曲面空间[6]。还有学者在二维常曲率黎曼流形上对满足零边值齐次狄利克雷条件的椭圆型Monge–Ampère方程进行了研究，在借助相关的辅助函数的情况下，当参数的黑塞矩阵的特征值满足其不小于2的条件下，就可以根据柯西施瓦茨不等式证明出一个与此方程的严格凸解有关的微分不等式的成立[7]。最后，任何知识的学习最终都要归结到其在实际中的应用方面，而Monge–Ampère方程更多的实际应用还是在物理学中。比如一种杂散光检测系统，其光源特性的研究就需要基于椭圆型Monge–Ampère方程。这让我了解了Monge–Ampère方程在实际物理应用中为原有系统所带来的改进，利用该方程设计的自由曲面透镜相比较离轴三返平行光管产生的平行光有了比较明显的改善[9]。同时作为一个数学问题，其在几何中的应用也是非常广泛。我了解到在研究解决凸体与经典几何中的一些问题时就可以应用到Monge–Ampère方程，比如在菲尔瑞关于高斯曲率流的极限性质的猜想中以及证明预定体积形式的凸体存在性、非凸曲面的亚历山大洛夫-芬切尔不等式等等；还比如一类在共形几何与实际应用中出现的存在性问题,特别是k阶雅玛比问题在负锥情形下的存在性，都需要用到Monge–Ampère方程。国外对Monge–Ampère方程的研究现状国外的相关研究也很多，比如EdwardJ.Dean和RolandGlowinski两位学者就一起发表过很多篇相关的文章，我所翻译的外文文献即是他们所著的，主要介绍了对具有狄利克雷边界条件的二维椭圆型Monge–Ampère方程求解其数值解（E-MAD问题）的增广拉格朗日方法。主要思想是将E-MAD问题进行重组，转换为一个涉及双调和算子（或密切相关算子）的变分问题，再利用鞍点公式和增广拉格朗日方法进行求解[19]。最后还对相关的三个测试问题进行了数值求解以证明该方法的。在这篇文献发表的第二年，两位学者又发表了另一篇论文，在其中对比前一篇文章中的增广拉格朗日方法，讨论了一种基于最小二乘法的Monge–Ampère问题的替代求解办法。但其本质还是在之前所讨论的增广拉格朗日方法的基础上，加上一些新的方法以更进一步提升求解方法的精确性。当然不同的方法求解的过程等方面虽然有所不同，但最终都是为了能够更方便的求解出所需要的结果。有的学者对新提出的方法进行研究发现，这个方法有一定的缺陷，会出现可能缺乏收敛于奇异解的数值特征或者会在某种情况下崩溃的问题。基于此问题，为了弥补缺陷研究了两种方法的性能，第一种是方程的自然有限差分离散化，其能够被证明是目前适用于一般问题的性能最好的方法，第二种是涉及到泊松方程的迭代解方法[21]。本来读到这篇关于有限差分的文献并没有引起我过多的重视，但后续使用共轭梯度法时就会发现，只有将原有问题转化为有限维的，才能使用共轭梯度法。本文作者建立了Monge–Ampère方程的宽模板有限差分格式，因为该格式是单调的，因此可以使用巴尔勒-苏加尼迪斯理论帮助证明该格式的解收敛于方程的唯一粘性解，并且可以采用阻尼牛顿法进行求解[22]。而且本文还证明了牛顿法的收敛性，并给出了一个系统性的方法以确定牛顿迭代的起点。有的学者在二维一般凸区域上讨论了实椭圆Monge–Ampère方程狄利克雷问题凸解的相关问题，并对其进行了相应的计算，使用的方法结合了最小二乘法和松弛方法，这种方法会产生一系列泊松-狄利克雷问题以及还会产生一系列新类型的低维代数