吉林省长春市2026届高三质量监测（二）数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页吉林省长春市2026届高三质量监测（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=−2,0,1A．−2,0,1 B．0,2．已知平面向量a=(−1,2)，bA．−4 B．−1 C．1 3．已知等差数列an的前n项和为Sn，若S5=35，SA．13 B．15 C．17 D．194．双曲线x2a2−y212=1a>0的两个焦点分别是A．1 B．3 C．7 D．95．1+ax6的展开式中x3A．-2 B．−12 C．16．某精密仪器厂生产一种标准长度为52mm的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：mm），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间[51,

A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.67．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则球O的表面积为（

）A．6π B．8π C．9π8．已知实数m>n>1，若logmn+A．9 B．21 C．27 D．30二、多选题9．已知复数z=2iA．z的虚部是i B．z在复平面内对应的点在第二象限C．z=1+10．已知函数fx=Asinωx+φA>0,ωA．φB．x=π18C．将fx的图象向右平移πD．函数fx的单调递减区间为三、单选题11．景区在春节期间推出A,B两种游玩套餐，已知某游客第一次选择A,B两种游玩套餐的概率分别为35和25，若该游客第一次选择A套餐，则第二次选择A套餐的概率为12；若该游客第一次选择BA．该游客第一次选择B套餐，第二次也选择B套餐的概率为2B．该游客第一次选择B套餐的概率比第二次选择A套餐的概率小C．若该游客第二次选择A套餐，则他第一次选择A套餐的概率为5D．若该游客第二次选择B套餐，则他第一次选择A套餐的概率为15四、填空题12．已知函数fx=2x−2−13．在△ABC中，a=2，c=214．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2.P为椭圆C上一点，PF1五、解答题15．为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）．性别身高合计低于170cm不低于170cm男82432女12618合计203050(1)依据α=(2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率．附：χ2=nα0.10.050.010.005x2.7063.8416.6357.87916．在数列an中，a(1)求证：数列an(2)设bn=nan，求数列b17．如图，三棱柱ABC−(1)证明：AB(2)若三棱柱ABC−A118．已知抛物线E：x2=2py(1)求E的方程；(2)若点A，B在E上，且线段AB的中点在直线y=x上，点P19．在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波动量y=fx（单位：千只）与时间x定义：若函数gx在a,+∞上满足：1．震荡性：g′x在a,+∞上无限次正负交替；2．衰减性：任意给定正实数m(1)求fx在0(2)根据定义判断函数fx在0(3)设hx=f答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《吉林省长春市2026届高三质量监测（二）数学试题》参考答案题号12345678910答案BACDDCBDBDAC题号11答案BCD1．B【详解】因为A=所以A2．A【详解】因为a⊥b，所以a⋅b=3．C【分析】利用等差数列的前n项和公式以及等差数列的通项公式计算即可得.【详解】设等差数列an的公差为d，则S5=故a8故选：C.4．D【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案.【详解】由题意知，2c=8在双曲线中，有c2=a2+b2由双曲线定义知，MF2−MF1=又MF1+MF综上，MF5．D【详解】二项式1+ax令r=3，则可得展开式中x3的系数为C636．C【分析】在频率分布表中，小矩形的面积等于这一组的频率，所以面积和为1，建立等量关系求出a，进而求出长度在[51【详解】由题意知，a+0.18+6a所以任取一个垫片为合格品的概率为：6×7．B【分析】利用圆台内切球对应轴截面等腰梯形有内切圆的性质得到母线长，结合勾股定理求出球半径，代入表面积公式计算结果.【详解】设球O的半径为R，圆台上底面半径r1=1因为球与圆台两个底面相切，因此圆台的高h=球与圆台侧面也相切，说明圆台的轴截面（等腰梯形）存在内切圆，根据有内切圆的四边形对边之和相等，可得圆台母线长l=由圆台母线、高、半径之差的勾股关系：l2代入已知量得32=1代入球的表面积公式S=4π【点睛】本题考查圆台内切球的组合体性质，核心结论是有内切球的圆台满足：母线长等于上下底面半径之和，圆台的高等于内切球的直径，结合平面几何勾股定理即可求解.8．D【分析】设t=logmn，由已知条件可得t+1t=103，求出【详解】设t=logmn，则logn故由logmn+logn解得t=13故logmn=又mn=nm，则n3n=故m=339．BD【详解】z=∴z的虚部是1z=−1z=z=10．AC【分析】根据题意结合五点法求A,ω,φ，即可判断A；对于B：根据最值点与对称轴之间的关系分析判断；对于C：根据图象变换可得【详解】设函数fx的最小正周期为T由函数fx=Asinω因为函数图象经过点0,3，则f0且0<φ<又因为函数fx=2sinω则T4=5且ω>0，则2πω=对于选项A：φ=对于选项B：因为fπ所以x=π18对于选项C：将fx的图象向右平移π得y=对于选项D：令π2+2所以函数fx的单调递减区间为−11．BCD【分析】设相应事件，利用全概率公式求PN【详解】设该游客第一次选择A套餐为事件M，第二次选择A套餐为事件N，则PM=35，PM可得PN|M对于选项A：该游客第一次选择B套餐，第二次也选择B套餐为事件MN其概率为PM对于选项B：因为PN即PM<PN，所以该游客第一次选择对于选项C：因为PM所以若该游客第二次选择A套餐，则他第一次选择A套餐的概率为59对于选项D：因为PN=1所以若该游客第二次选择B套餐，则他第一次选择A套餐的概率为152312．2【分析】先判断函数fx的奇偶性，再判断函数fx的单调性，利用函数性质求【详解】已知函数fx=2∴f∵y=2∴f因为f2∴f2a∵f∴2a>所以a的取值范围是2,13．33/【分析】利用正弦定理及三角形的内角和定理，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】由正弦定理得2sin120∘因为A=所以0∘所以C=所以B=所以△ABC故答案为：3314．2【分析】先根据椭圆定义求出PF1和PF2，再利用切线长定理求出F1【详解】椭圆C的离心率为e=ca因为PF1=3P圆I与线段PF1的延长线和线段PF2的延长线分别相切于点A和点B，与线段则由切线长定理得PA=PB，由PA=P代入F1A=F1又F1F2因此有3a2+因为F1M→=λF1两边同时除以a得1=21因为λ∈18,115．(1)可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联．(2)7【分析】（1）计算卡方，即可与临界值比较求解.（2）根据全概率公式即可求解.【详解】（1）χ2依据α=（2）从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组的概率P16．(1)证明见解析(2)S【分析】（1）根据已知条件可得an（2）结合（1）的结论可求出an的表达式，即可得b【详解】（1）由题意a1=2a1=2，结合an故an+1（2）由（1）可得an−1b采用分组求和方式．设Pn为数列n⋅3n−1的前n项和．则Pn3P①-②可得：−即Pn又Qn故Sn17．(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取AB中点M，连接MC，MA1，可证得（2）利用体积可得sin∠A1MC=1，进而可证A1M【详解】（1）取AB中点M，连接MC，又因为△ABC又因为∠A1AB=π3又因为CM∩A1M=M，C又A1C⊂平面A（2）由三棱柱ABC−即VA解得sin∠A1MC=1，即所以以M为原点．以MA方向为x轴，以CM方向为y轴，以MA则A1所以AC设平面A1CC则n1⋅AC=所以平面A1CC又A设平面A1CB则n2⃗⋅A1所以平面A1CB设平面A1CC1与平面cosθ即平面A1CC1与平面18．(1)x(2)6【分析】（1）由抛物线定义可知抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值.（2）抛物线方程和直线AB方程联立，用韦达定理表示根的关系，再利用弦长公式，点到直线的距离公式求出△PA【详解】（1）抛物线E：x2=2抛物线上的动点Q到焦点F0,p2距离的最小值即为动点Q到准线y=−p2距离的最小值，即（2）由题意可知直线AB斜率存在，设AB的方程为y=kxx2−kx−则y1AB的中点k2，即k2=k由弦长公式可知AB点P到直线AB的距离为d即△PAB令u=2k−k则S=令fu=令f′u=当u∈0,63当u∈63,1因此fu在u=63处取得最大值，即即△PAB19．(1)fx在0,2(2)fx(3)证明见解析【分析】（1）求导，即可令f′（2）根据所给定义，结合三角函数的性质判断“震荡性”，根据指数函数的性质判断“衰减性”，即可求解，（3）先根据hx>0恒成立，以及hx+π<【详解】