第七讲 基于变式的解题分析

第6讲基于变式的解题分析

“变式”是中国教学中的特色产物之一。变式的使用促进了数学概念的获得，帮助学生更好地理解定理公式等。变式对于数学解题也是必不可少的，无论是在解题初期的分析或者进行问题引导，还是在解题之后的拓展，都对问题的研究有着重要价值。本源题变式是问题的变化形式，这就是说，有一个基本的问题，在此基础上进行变化，这就是“本源题”。本源题具有代表性和基础性，也可以称之为母题。母题的功能就是能够生成更多的新问题。例1点M到两个定点M1,M2距离的比是一个正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.例2变式题不等式变式分离参数，求解不等式类型2对参数的范围讨论，求解含参不等式类型1变换主元，求解不等式类型3类型1：对参数的范围讨论，求解含参不等式例1．解关于x的不等式分析:因不知道函数与x轴是否有交点，所以需对判别式进行分类讨论。例1．解关于x的不等式情况一例1．解关于x的不等式情况二例1．解关于x的不等式情况三变式1

解关于的不等式。例1．解关于x的不等式例1．解关于x的不等式变式一解读方法策略、难点突破：解读方法策略、难点突破：本题考查二次函数的字母系数与图象位置之间的关系，能否从对称轴的位置、特殊点的坐标（坐标轴上的点）得出判断的依据是本题的难点。分析:因为上式中能够分解为，则判断式恒大于等于零，所以无需对进行分类讨论。这里只需对与两根大小进行讨论即可。变式2

解关于x的不等式。例1．解关于x的不等式例1．解关于x的不等式变式二解读方法策略、难点突破：解读方法策略、难点突破：本题考查二次函数的字母系数与图象位置之间的关系，能否从对称轴的位置、特殊点的坐标（坐标轴上的点）得出判断的依据是本题的难点。分析:因二次函数的开口方向不定，所以需对二次项系数a进行分类讨论，然后再对根的大小进行讨论。类型2：分离参数，求解不等式变式3．不等式对一切都成立，求x的范围。分析:求x的范围，实质上仍然是解关于x的不等式，但是根据函数的判别式及根的大小对参数a进行讨论，未免太繁琐。若发现这里的参数a的次数是一次，则不妨对参数a进行分离后解该不等式，这样可以避免去解含参数a的不等式，而直接解关于x的不等式。变式3．不等式对一切都成立，求x的范围。类型3：变换主元，求解不等式变式4设不等式对一切都成立，求x的范围。分析:该不等式中，参数a的次数有二次也有一次，所以参数a不能分离，我们不妨采用变换主元，把原来关于主元x、参数a的不等式视为关于主元a、参数x的不等式，来求参数x的范围，这样处理问题就会迎刃而解。变式4设不等式对一切都成立，求x的范围。12图4类型1：对参数的范围讨论，求解含参不等式例1．解关于x的不等式情况三原题分析:

几何题变式y

PxO1、条件性变式

【解析】本题的已知条件由椭圆的方程，变为双曲线的方程，其他条件并没有改变，解题的思路和原题基本是一样的。几何题变式

【解析】本题已知的两个点不再是左右焦点，但两点仍然是可以求出来的，将点求出来后，按照原来的解题思路进行求解即可，可以用直线的斜率来求解，也可以用向量的知识来求解几何题变式1、条件性变式【思想小结】对于改变条件性的题目，虽然条件的改变可以非常多样，但是由于题目要求的结论是不变的，所以解题基本思路是不变的，就像上述变式题，最终都是要求点的坐标，所以解题思路都是先将点设出来，然后根据不同的条件列方程求解。所以在解题时，我们要有一个清晰的解题思路，而不是胡乱尝试。

几何题变式2、结论性变式

几何题变式2、结论性变式

几何题变式

2、结论性变式

几何题变式3、背景性变式

【解析】本题是在原来的题目上加上了卫星运行轨道的背景，其本质并没有发生改变，解题过程与原来一样。几何题变式3、背景性变式【思想小结】对于背景性变式的题目，无论是改变表征形式还是加入实际背景，都没有改变题目的本质，只要题目的条件、结论都未发生改变，那么解题思路和具体的解题过程都和原题是一样的。所以平时做题时，我们需要挖掘出题目的本质，这样即使题目的背景改变再大，也可以从容应对。

几何题变式4、逆向性变式【思想小结】学生往往习惯于正向思考，而已知条件和所求结论的转换，目的就是为了培养学生反向观察和思考的能力.要解决此类题目，不能只是简单地把原题的解题过程顺序逆向，而是要跳出已有解题方法的束缚，通过原题理解已知条件与结论间的联系，寻找量化的等价关系，一步一步解决问题.

几何题变式5、综合性变式

几何题变式5、综合性变式

题号知识点原题椭圆方程的标准形式，直线的斜率，方程组的求解变式1椭圆方程的标准形式，直线的斜率，方程组的求解，向量积的计算变式2椭圆方程的标准形式，直线的斜率，方程组的求解，向量积的计算变式3双曲线的标准形式，直线的斜率，方程组的求解，向量积的计算变式4椭圆方程的标准形式，直线的斜率，方程组的求解，向量积的计算变式5椭圆方程的标准形式，直线的斜率，方程组的求解，向量积的计算，点纵坐标的几何意义变式6椭圆方程的标准形式，直线的斜率，方程组的求解，向量积的计算，点到线的距离变式7椭圆方程的标准形式，直线的斜率，方程组的求解，向量积的计算，三角形面积的计算变式8椭圆方程的标准形式，直线的斜率，向量积的计算变式9椭圆方程的标准形式、三角形的边角关系、向量积的计算变式10椭圆方程的标准形式、椭圆一动点与两焦点连线张角的大小变化趋势、椭圆的离心率、直线的斜率几何题变式代数题变式原题：已知集合A有4个元素，B有3个元素，从集合A到集合B的映射有多少个?

改变表征形式加上实际背景代数题变式原题：已知集合A有4个元素，B有3个元素，从集合A到集合B的映射有多少个?

由浅入深代数题变式原题：已知集合A有4个元素，B有3个元素，从集合A到集合B的映射有多少个?3、结论性变式【变式6】已知集合A有4个元素，B有三个元素，从集合B到集合A的单射有多少个?【变式7】

已知集合A有4个元素，B有三个元素，从集合A到集合B的满射有多少个?由浅入深代数题变式原题：已知集合A有4个元素，B有3个元素，从集合A到集合B的映射有多少个?4、逆向性变式【变式8】

已知集合A有4个元素，从集合A到集合B的映射有81个，问集合B有多少个元素?