第六章 多元函数微积分

第6章多元函数微积分

多元函数的基本概念第一节偏导数

第二节全微分及其应用

第三节

多元复合函数和隐函数的求导法则第四节2026/4/22

偏导数在几何上的应用第五节多元函数的极值

第六节二重积分

第七节第一节多元函数的基本概念一、区域

讨论一元函数时，经常用到邻域和区间的概念.由于讨论多元函数的需要，我们把邻域和区间的概念加以推广.1.邻域设P0（x0,y0）是xOy平面上的一个点，δ是某一正数.与点P0距离小于δ的点P（x,y）的全体称为点P0的δ邻域，记为U（P0，δ）,即U(P0,δ)={P||PP0|＜δ}.在几何上，U（P0，δ）就是xOy平面上以点P0为中心、δ＞0为半径的圆的内部的点P（x,y）的全体.如果不需要强调邻域半径δ，则用U（P0）表示点P0的邻域.点P0的去心邻域记作U。（P0）2.区域

设D为一平面点集，若有点P的某邻域U（P）D,则称点P为点集D的内点，如图10

1所示.若点集D的点都是内点，则称D为开集.例如，点集D={(x,y)|1＜x2+y2＜4}就是开集.设D为一开集,若对D中的任意两点,都可以用完全落在D内的折线连接起来,则称D具有通性连通的开集称为区域或开区域.如点集{(x,y)|x+y＞0}及{（x,y）|1＜x2+y2＜4}都是区域.若点P的任一邻域内既有属于D的点也有不属于D的点（点P本身可以属于D，也可以不属于D），则称P为D的边界点（见图6-2).D的边界点的全体称为D的边界.

开区域与其边界的并集称为闭区域.例如，点集{(x,y)|1≤x2+y2≤4}是闭区域.二、多元函数的概念

在实际生活中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系，例如：矩形面积S与它的长x、宽y之间具有关系S=xy.这里，当x,y在集合{（x,y）|x＞0,y＞0}内取定一对值（x,y）时，S的对应值就随之确定.又如圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系V=πr^2h.这里，当r,h在集合{(r,h)|r＞0,h＞0}内取定一对值（r,h）时，V的对应值就随之确定.定义1设D是xOy平面上的一个点集，若对D中的每一点P（x,y）,变量z按照一定的法则总有确定的值与之对应，则称z为变量x,y的二元函数（或点P的函数），记为z=f(x,y)(或z=f(P)).点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变量，z称为因变量.数集M={z|z=f(x,y),(x,y)∈D}称为该函数的值域.

z是x,y的函数，有时也记为z=z(x,y).

类似地，可定义三元函数u=f(x,y,z)及三元以上函数.二元及二元以上函数统称为多元函数.

如何求二元函数的定义域呢？类似于一元函数.一般可分为三种类型.第一种，若函数是用单纯的数学解析式表示的，则定义域就是使解析式有意义的自变量所确定的平面点集.第二种，对于实际问题，应根据实际问题的性质确定定义域.第三种，是定义函数时就指定的定义域.三、二元函数的极限

类似于一元函数y=f(x)的极限，我们来讨论二元函数z=f(x,y)的极限.下面给出二元函数极限的定义.定义2设二元函数z=f(x,y)在点P0（x0,y0）的某邻域内有定义（点P0可以除外）.如果点P（x,y）在该邻域内以任意方式无限趋于点P0（x0,y0）时，对应的函数值f(x,y)无限接近于一个确定的常数A，则称A是二元函数f(x,y)当（x,y）→(x0,y0)时的极限，记作第二节偏导数第三节全微分及其应用一、全微分的概念

对一元函数y=f(x),我们讨论了函数的微分dy,它与函数的增量Δy有关系Δy=dy+o(Δx)=f′(x)Δx+o(Δx),

即函数的微分是函数增量的线性主部.

设二元函数z=f(x,y),当一个变量固定时,二元函数即为某个变量的一元函数,若z=f(x,y)在(x,y)处存在偏导数,那么函数的偏增量为第四节多元复合函数和隐函数的求导法则第五节偏导数在几何上的应用第六节多元函数的极值一、多元函数的极值定义

设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内的任意点(x,y),有f(x,y)≤f(x0,y0)(或f(x,y)≥f(x0,y0)),则称f(x0,y0)为函数f(x,y)的极大值(或极小值),而称(x0,y0)为函数的极大值点(或极小值点),函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与极小值点统称极值点.

例如,函数z=f(x,y)=1+x^2+y^2在点(0,0)处取到极小值f(0,0)=1,而函数z=x^2+y^2在点(0,0)处取到极小值.二、二元函数的最值

如果二元函数z=f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上一定有最大值和最小值.但是，最大值和最小值可能在D的内部取得，也可能在D的边界上取得.因此，需要求出f(x,y)在D内部的所有驻点和使一阶偏导数不存在的点，如果这些点是有限个，将这些点的函数值与函数在D的边界上的最大值和最小值作比较，其中最大的就是二元函数f(x,y)的最大值，最小的就