第二讲 数学解题的基本理论思想评析

第二讲数学解题的基本理论思想评析PartOne波利亚简介01PART

ONE波利亚简介波利亚波利亚·哲尔吉（匈牙利语：PólyaGyörgy，有时译作波里亚，英语：GeorgePólya，名字常缩写作G.Pólya，1887年12月13日－1985年9月7日），犹太人，著名匈牙利裔美国数学家和数学教育家。生于匈牙利布达佩斯。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学任教，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的院士。他在大量的数学范畴工作，包括级数、数论、组合数学和机率。1937年提出的波利亚计数定理是组合数学的重要工具。同时，他长期从事数学教学，对数学思维的一般规律有深入的研究。

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ONE波利亚简介概率论有人认为，波利亚是第一个在论著中使用「中心极限定理」这一术语的人．波利亚还进一步研究了概率论中的特征函数，提出所谓的「波利亚准则」波利亚对概率论最重要的贡献是他在1921年发表的有关随机游动的论文．他首创了术语「随机游动」。函数论他的最深奥、最艰难的工作要算复变函数论了。特别是全平面内没有奇点的单值整函数的研究。在这个领域中所使用的术语，例如「波利亚峰」、「波利亚表示」和「波利亚间隙定理」就表明了波利亚在这一领域中所做出的贡献。1914年他和德国犹太数学家I．舒尔(Schur)合作引进了波利亚-舒尔函数。波利亚在函数论方面最重要的工作是有关函数零点的结果，它与著名的黎曼猜想密切相关。组合数学波利亚在1937年以「关于群、图与化学化合物的组合计算方法」为题，发表了长达110页、在组合数学中具有深远意义的著名论文。他在1927年发表的论文「群化分布的理论」(Thetheoryofgroupredu-ceddistribution)中解决了某种矩阵的计数问题。波利亚的成就

作为一名数学家，他一生发表了200多篇论文和许多专著，在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复数函数、概率论、组合数学、数论、几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献，留下了以他名字命名的术语和定理。

作为一名教育家，波利亚有精湛的教学技艺和丰富的数学思想，他对数学思维一般规律的研究，堪称对人类思想宝库的特殊贡献．他在数学教育方面的代表作有《怎样解题》、《数学与猜想》及《数学的发现》．这3部著作相继出版后，受到广泛的欢迎和推崇，被誉为第二次世界大战后出现的经典著作．《怎样解题》被译成17种文字，发行100多万册．“按波利亚风格”“波利亚的方法”已成为美国乃至世界范围内许多数学教师的口头禅，其数学教育思想在国际上有着广泛的影响．1980年，他被邀请担任第四次国际数学教育大会的名誉主席．02PART

TWO波利亚著作简介

波利亚著作简介

有关解题的著作：《怎样解题》(HowtoSolveIt)《数学与猜想》(Mathematicsandplausiblereasoning)《数学发现》(Mathematicaldiscovery)其他：《数学分析中的问题和定理》(Problemsandtheoremsinanalysis)《复变函数》(Complexvariables,与GordonLatta合写)02PART

TWO波利亚解题著作简介

123《怎样解题》

本书围绕探索法，讲述求得一个证明或者解出未知数的数学方法如何有助于解决任何“推理性”问题。本书以“怎样解题表”为中心，讲解通过解题表的四个步骤解决一般数学问题。同时列举各种例子，让学生在不断实践和体会，提高学生解决数学问题的能力。《数学的发现》本书主要讲解思考方法，思维路线，从眼前怎么解题到如何做学问，甚至发现创造数学里的新命题，作者通过一些简单典型的例子，应用启发式的叙述方法，找到它们共同的特征，提炼出思考的路线，引导读者学习如何去思考问题，分析问题，同时也提供了大量的习题供读者实践。《数学与猜想》

本书通过许多古代著名的猜想，讨论论证方法，阐述作者的观点：不但要学习论证推理，也要学习合情推理，以丰富人们的科学思想，提高辩证思维能力。在书中卷一，不但有数学各学科的例子还有涉及物理学的问题。再次阐述了在《怎样解题》以及其他论文提到的启发式原理。“怎样解题”表未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图，引入适当的符号．把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来？二.拟定计划你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去．如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分．这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的必要的概念？三.实现计划实现你的求解计划，检验每一步骤．你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？四.回顾你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？

你能不能把这一结果或方法用于其他的问题？例1规律性

例1-1常识性波利亚解题思想初探程序化的解题系统启发式的过程分析开放型的念头诱发探索性的问题转换波利亚的解题表集解题思想、解题过程、解题思路、解题方法等于一身，融理论与实践于一体，即使在具体而细节的问题上，这个程序也有利于纠正学生中一些普遍性的毛病，如急于计算出结果而不认真分析题意，盲目推理而不注意拟定计划，束手无策而不善于加工信息，以及忽视研究问题的细节与发展等.波利亚把教会学生解题看做是教会学生思考，培养他们独立探索能力的一条主要而有效的途径.这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想出这样的解答呢?是的，这个实验好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这样的事实的?而且我自己怎样才能想出或发现它们呢?期望某些热衷的学生会提出类似的问题，并且他试图去满足他们的好奇心，不仅试图去弄清楚这个或那个问题的解答，而且要了解这个解答的出发点与方法，并把这些向其他人加以阐述。“可能会有这样的情况:一个学生想出了一个异常好的念头，是跳过所有的预备步骤，解答就脱口而出了.如此幸运的念头当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的事，即学生通过4阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头”“老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头.

这里说的念头，其实就是开展积极活跃的思维活动.产生念头与找出解题途径完全可以理解为同义语，那么产生念头的基础是什么呢?波利亚的回答是:“过去的经验和已有的知识”，“如果我们对该论题知识贫乏，是不容易产生好念头的.如果我们完全没有知识，则根木不可能产生好念头.”“问题转换”，也叫“变化问题”、“题目变更”，它揭示了探索解题思路的途径与实质.波利亚强调:“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒为了找出哪个方面是正确的方面，哪一侧是好接近的一侧，我们从各个方面、各个侧面去试验，我们变化问题.”“变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的接触，产生了和我们问题有关的元素接触的新可能性”.新问题展现了接触我们以前知识的新可能性，它使我们作出有用接触的希望死而复苏.通过变化问题，显露它的某个新方面，新问题将重新使我们的兴趣油然而生”设计更多的解题表1.列方程解应用题的解题表在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h，求：（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；（2）两机场之间的航程。例2A，B两地间的路程为18千米，甲从A地、乙从B地2.平面几何入门教学的问题表3.“观察—联想—转化”解题三部曲4.匈菲尔德解题思想与方法研究03010203家庭背景学校教育学术成就AlanH．Schoenfeld简介0401家庭背景AlanH．Schoenfeld于20世纪中叶出生在纽约市布鲁克林的一个普通的平民家庭。他的父母虽然生活拮据，但非常重视对孩子的教育，认为教育是改变个人命运、走向幸福人生的重要途径。简介0502学校教育中小学都是在纽约市的公立学校度过的，他深受美国教育领域“提携措施”之恩惠，这也成为他后来在学术生涯中一直都对教育机会的均等和公正保持高度关注的重要原因之一。1968年毕业于皇后学院（QueensCollege），即现在的纽约市立大学皇后学院，获数学学士学位。尽管这是一所很普通的本科学院，但AlanH．Schoenfeld却在此以非常低廉的教学成本完成了非常高质量的大学教育。之后，他转赴斯坦福大学，仅用一年时间就获得了数学硕士学位，接着师从斯坦福大学的著名数学家KarelDeLeeuw，于1973年获得数学博士学位。简介0603学术成就AlanH．Schoenfeld早年曾在罗切斯特大学（UniversityofRochester）数学系任教，致力于专业的数学研究，现任加州大学伯克利分校ElizabethandEdwardConner讲席教授，兼任数学系教授，双栖于数学和教育两大领域。简介0703学术成就作为一位优秀的数学家，AlanH．Schoenfeld于2001年当选为美国科学促进会（AAAS）会员。作为一名杰出的教育家，AlanH．Schoenfeld于1994年入选美国国家教育科学院，1995年担任执行理事会成员，2001～2006年间任美国国家教育科学院副主席，1998～1999年间还曾任美国教育研究协会（AERA）主席。2006年，AlanH．Schoenfeld入选KappaDeltaPi国际荣誉学会（KappaDeltaPi，InternationalHonorSocietyinEducation）的荣誉会员。简介0803学术成就：数学教育领域时间事件影响1980年在《美国数学月刊》上发表了“问题解决技能的教授”一文此文使他于1981年获得了美国数学协会颁发的年度莱特·福特奖，奠定了1980年代后数学教育领域内问题解决研究的基本问题之疆域。1985年出版《数学问题解决》一书奠定了他的数学教育领域的学术地位1987年主编出版了《认知科学与数学教育》一书既为数学教育的实践工作者架设了一条从学术象牙塔中汲取营养的桥梁，又为研究认知科学与数学教育的学者们提出了在研究中需要关注的重大课题，更为他自己开辟了一条通向学习科学研究并成为一位学习科学家的学术之路。1980年代末担任全国数学教师理事会推出的《学校数学教育的原则与标准》一书中九年级段的领衔作者，他在其中发挥了重要作用新的课程标准在实施中却遇到了很多问题，其中的一些思想方法引起了很多家长和社会团体的批评，“数学战争”全面爆发。2004年在《教育政策》上发表了“数学战争”一文在数学教育界产生了激烈反响，也使他一时间处于数学教育界的舆论风暴眼之中。简介0903学术成就：学习科学领域1992年，他在《学习科学杂志》创刊仅仅一年之后，就在这份新生的学习科学旗舰刊物的第2卷第2期上组织发表了系列论文，主持了学习科学领域对研究范式与方法的第一次讨论。在这期专辑中，AlanH．Schoenfeld围绕“当既有的研究范式与方法不能解决学习科学家们面临的研究问题时，我们应该怎么做”这一主题，组织了3篇研究方法方面的论文。简介2011年菲利克斯·克莱因（FelixKlein）奖授予美国加州大学伯克利分校的阿兰·匈菲尔德（AlanSchoenfeld）教授，以表彰他多年在数学教育研究和发展的不懈努力和杰出的终身成就。1003学术成就AlanSchoenfeld在他职业生涯的早期就对数学教育产生了浓厚的兴趣，并很快成为数学问题解决、数学思考、数学的教与学领域的先驱和领导者。他的学术著作显示出他对了解数学学习的本质和发展以及不同学段的数学教学有着执着的追求和不凡的贡献。他的工作受到国际跨学科学者的认可，他在数学教育、数学、教育研究以及教育心理学方面有超过200篇高引用的出版物。他的获奖有很高的含金量，表达了来自数学、科学、教学和教育管理部门多年来大家对他研究工作的赞赏与认可。简介11研究的问题情景教学理论数学的受众分析改善教育研究调查的方法以数学的方式思考问题的特征及其方法对于既有的研究方式与方法所不能研究的问题的解决方法专家级数学家的解题策略的描述方法以及将策略传授给学生的方法12解题方法匈菲尔德经过一系列的研究，将解题过程分为五个阶段：读题、分析、探索、执行、验证。读题分析原理与系统计划解题方案执行尝试解题验证结论小困难探索相关问题或信息主要困难匈菲尔的解题过程模型13解题方法匈菲尔德的解题过程表读题分析1.如果可能的话，画张图2.验证特殊情况选取特殊值检查极端情况，探究允许的范围对自然数问题考虑1、2、3的情况，寻找归纳模式3.简化问题，通过考虑对称性利用“不失一般性”的论断探究1.考虑等价问题将条件等价变换按照不同途径重新组合问题的元素引入辅助元素重新表述问题，通过：改变属性或者术语从反面考虑假设结论不成立，研究它的性质2.对问题进行微调选择子目标（满足部分条件）放宽条件，然后重新加上分解情况，逐一解决3.较大地调整问题构造一个变量较少的同类固定其他因素，只让某一个变量变化讨论相关的问题，必须同时考虑结果和解法计划执行验证1.你的解法是否通过下面的特殊性检验：它利用了所有相关的数据吗？它符合合情的估计和预测吗？它经得住对称性、维度和范围的检验吗？2.你的解法是否通过下面一般性的检验：有别的解题途径吗？在特殊情况中它能成立？它能简化为已知的结果吗？它能用来产生你所熟悉的结果吗？1解题方法匈菲尔的解题过程表读题分析1.如果可能的话，画张图2.验证特殊情况选取特殊值检查极端情况，探究允许的范围对自然数问题考虑1、2、3的情况，寻找归纳模式3.简化问题，通过考虑对称性利用“不失一般性”的论断探究1.考虑等价问题将条件等价变换按照不同途径重新组合问题的元素引入辅助元素重新表述问题，通过：改变属性或者术语从反面考虑假设结论不成立，研究它的性质2.对问题进行微调选择子目标（满足部分条件）放宽条件，然后重新加上分解情况，逐一解决3.较大地调整问题构造一个变量较少的同类固定其他因素，只让某一个变量变化讨论相关的问题，必须同时考虑结果和解法计划执行验证1.你的解法是否通过下面的特殊性检验：它利用了所有相关的数据吗？它符合合情的估计和预测吗？它经得住对称性、维度和范围的检验吗？2.你的解法是否通过下面一般性的检验：有别的解题途径吗？在特殊情况中它能成立？它能简化为已知的结果吗？它能用来产生你所熟悉的结果吗？15解题方法匈菲尔的解题过程表16解题方法匈菲尔的解题方法例题分析

17解题方法匈菲尔的解题方法例题分析

根据匈菲尔德解题过程，第一步，读题：了解到f（x）是二次函数，以及函数值为负时的定义域范围，知道f（x）在指定区间内的最大值。题目的第一小问是让我们求函数解析式，第二小问让我们求解是否存在自然数m，使等式在（m，m+1）有且仅有两个不同的实数根18解题方法匈菲尔的解题方法例题分析

第二步，分析：（1）在求解第一小题时，可根据以往二次函数的大致图形画草图，在画草图时结合读题时提取的有用信息，学生大致可以画出下图：0519解题方法匈菲尔的解题方法例题分析

第二步，分析：（2）根据以往学习二次函数的经验，学生可知道函数图像的零点为0和5，也是函数的两个根，所以可以列出函数的含参解析式f（x）=ax（x-5）（3）通过图像，学生可以进行通过选取特殊值，判断出题目已知条件中取最大值的函数点是x=-1，进而得到f（-1）=12，代入含参解析式，即可求出函数解析式。（4）第二小问问题的表述，学生可能会将其与二次函数判别式∆>0结合在一起，但发现式子中存在37/x，并不适合直接利用判别式20解题方法匈菲尔的解题方法例题分析

第三步，探究：（1）考虑第二小问等式的等价条件：由题意我们可以知道x>0，所以我们可以将分式化为整式，将第二小问的等式等价转化为一元三次方程的求根问题（2）这样问题就转化成讨论一元三次方程根的情况，利用求导公式，我们可以得到函数图像的草图，如下图：

021解题方法匈菲尔的解题方法例题分析

第三步，探究：（3）由图像我们猜测，函数h（x）的两点分布在10/3的两侧，通过特殊值处理，我们可以得到h（3）、h（10/3）、h（4）的函数值，判断零点区域，进而得到m值。

22解题方法匈菲尔的解题方法例题分析

23解题方法匈菲尔的解题方法例题分析

第五步，验证（1）对于第一小问，进行特殊值检验，验证求得的函数f（x）<0的解集及函数在[-1,4]的最值（2）对于第二小问，验证方程f（x）+37/x=0在区间（3，4）上是否有且仅有两个不同的实数根。同时验证其他区间如（4,5）、（2,3）是否结论不成立学生在数学学习的过程中问题解决技能的贫乏，与他们所拥有的数学知识之多寡并没有直接关系；影响问题解决的两大关键：学习者的元认知能力、其对数学所持的信念；学习者对数学所持的信念对其问题解决的行为有着决定性影响数学问题解决教学的一个重要目的是帮助学生形成正确的数学信念。强调数学解题的研究方向需要考虑四个因素；关于数学解题策略的形成取得的研究成果；关于如何学会数学式的思维；“好问题”的五条原则解题思想分析2401基本思想比如，如果学习者认为数学问题的解决只是一种套用公式的过程，那么他们的问题解决行为则较为僵化，并往往倾向于回忆公式而缺乏创造性；反之，学习者如果把数学问题的解决视为个人创意的一种表现，那么他们在问题解决过程中的表现将趋于灵活，展现出只有创造性思维才具有的弹性。知识基础解题策略自我控制信念系统。●任何解题者都会积累起一定的解题策略；●这种解题策略尽管是个人特有的，在总体上——特别是成功的解题者，即如数学家而言，却有表现出很大的一致性；●解题者，特别是较为成熟的解题者，可以通过自我反省获得对自己所积累的解题策略的自觉认识，并用明确的语言对此进行刻画；●不同的领域往往有不同的解题策略；●一个良好的解题策略的形成取决于三个因素：知识结构，信息加工方式和非智力因素。普通的中学生也能像数学家一样思维。他认为要通过问题解决培养学生的数学思维，首先必须选择一个合适的有真正数学“味道”的问题.这种问题的一个特征是：在解答过程中可以产生新的数学问题，由此得出一连串的数学问题。（1）问题是容易接受的（2）有多种解题方法（3）蕴含了重要的数学思想（4）不故意设陷阱（5）可以进一步开展和一般化5.英国开放大学数学教学中心的梅森的解题模式梅森突出强调了所有这三个阶段对于特殊化与一般化这样两个基本过程的依赖性.首先，只有通过特殊化，才能很好地了解所面临的问题，即什么是已知的，什么又是所要求取的;其次，也只有通过特殊化，才能认识导致一般化的模式，并通过所说的一般化获得相应的猜想;最后，对所得到的猜想又必须借助进一步的特殊化去进行检验，而又只有借助新的一般化才能对已经获得的结果加以推广、同时，也只有从更一般的角度去考虑问题，才能更好地理解已经获得的结果.特殊化、一般化、猜测和确认例中学数学综合题解题规律讲义作者唐以荣教授西南联合大学师范学院数学系毕业连续化简

连续化简是指在合逻辑的前提下，连续地把原题转化为比较易证的题目，一直到所得的新题目己经成为一项基础知识为止.为了使”连续化简”取得统一的陈述形式，特作如下约定:例例1.解题的思考过程是一个连续化简的过程，即在完全合逻辑的前提下，连续地用稍稍易作的题目代替原题，一直到所得新题成为·项基础知识为止的过程.2.上述连续化简必须充分研究和运用题目本身的特征提供的信息，达到见缝插针的程度，

3.在着重运用题目的条件和结论的一方的特征进行连续化简时，也应恰当地兼顾另一方的特征所能提供的信息.4.解条件单一、复杂而结论单纯的题目时，应该对条件实行连续化简，即连续地用条件稍稍简单(易于进一步化简)而结论不变的题目代替原题，一直到所得新题目已经成为一项基础知识为止.如例5.解条件单一、单纯而结论复杂的题目时，应该对结论进行连续化简.6.解条件在两项以上、各项条件都与结论无直接联系的题目时，连续化简的主要形式是连续地以条件中的某两项(或它们的推论)的共同的结论代替原.条件因而逐渐减少条件的数目(保持原结论不变)，最后把原题化为一项基础知识.7.解条件在两项以上，有的条件与结论有直接的非因果联系的题目的连续化简的形式，是连续地把结论与和它有联系的条件联系起来，以发现足以使结论成立的另一项条件，用它代替原结论，并进而采取类似的化简，一直到所得新题目成为一项基础知识为止.解题的基本方法第一类等价变形式解题法等价变形式顺推法:等价变形式逆推法:进行连续化简应遵循的基本原则

单墫，是我国著名数学传播、普及和数学竞赛的专家。如果说在中国还存在着对解初等数学问题格外活跃的群体的话，那它一定是数学奥林匹克的选手及教练们；

如果将数学奥林匹克比作江湖的话，那么江湖中地位最高者非单墫先生莫属。

单墫教授的专业是解析数论，但他的职业生涯中耗费时间最多的应该是解奥数题。中国知识分子多有学而优则仕的传统。单墫先生除了担任过几年的南京师范大学数学系主任外，他可能更在意的是担任过中国数学奥林匹克的领队、专家组组长、主教练，他认为做数学比当官高一等。单墫先生认为：学数学还是要做题，这是数学学科的特点。学生做习题也是一种发现能力的培养。做题更讲究质量，能事半功倍。《解题研究》：解题是数学教与学的基本问题数学竞赛问题的命题工作波利亚的数学解题理论帮助同学们提高解题能力帮助教师们教会学生解题帮助师范院校的教师教会未来的教师学会教解题《我怎样解题》：不等式的证明、几何、数论、组合数学、数列、函数不是一本习题集真实、简洁地复原一些思考过程《解题漫谈》：着重描述探究的过程，阐述“我们”怎样解题。基础部分，内容较浅，解法简单；提高部分，内容较深，解法复杂。需要动脑筋，不能依样画葫芦勤练才能娴熟，娴熟才能生巧及时做好总结解题方法的分析观察法（探索法）解题方法的分析观察法（探索法）【分析】：在这道证明题中，题目要求证的是多元高次方程的解的情况；显然，这种多元方程只有一条满足式是解不出所有的根；回归问题本身——问题所要求证的是“有无穷整数解”，即是证明存在性就可以了；如果考虑反证法，则还需要假设多种情况——“无解”；“，有解，但无整数解”；“有有限个整数解”；故而反证法似乎也很棘手；观察题意——方程只有一个，而且方程最突出的特点就是指数幂，可考虑构造一个特殊的整数解，再将特殊整数解加入参数，从而扩充到有无穷多个解。解题方法的分析观察法（探索法）【总结】：单墫先生解这道竞赛题的关键步骤就是化“无穷”为“一个”，主要运用了特征观察法和特殊值法，而特殊值的寻找主要还是基于对方程x2+y5=z3的特征观察。如果对x，y，z的取值有不同限制，即为整数或是正整数，会使特殊值的寻求范围变化，主要体现在题目难度上；如果改变方程的特点，即变换方程的指数，则方程可以有无穷个正整数解，也可以没有正整数解，这体现了条件的微妙不同会使答案迥然不同。解题方法的分析观察法（探索法）总的来说，没有一道好题是纯粹使用一种方法就解决的，但每一道题的解题策略都是要在理清题意之后，观察，提取或抽象出题目条件的关键信息或者规律，这是特征观察法的基础应用。解题方法的分析反证法在星期天，有7个小孩他们每人都3次来到卖冰淇淋的售货亭．已知他们中每两人都在售货亭处相遇．证明：在某时刻，至少有3个小孩相遇在售货亭。相遇{至少3个小孩相遇不多于2个小孩相遇：{3个小孩相遇4个小孩相遇......7个小孩相遇2个小孩相遇解题方法的分析反证法在星期天，有7个小孩他们每人都3次来到卖冰淇淋的售货亭．已知他们中每两人都在售货亭处相遇．证明：在某时刻，至少有3个小孩相遇在售货亭。【证】用反证法．设每次相遇都不多于2个人，那么两两相遇应不少于次，即21次。在第一次两人相遇时，有2人来到售货亭．以后每对相遇，至少有1人来到售货亭．因此，到售货亭来的，至少需22人次．但每个小孩只去售货亭3次，7个小孩只有3×7=21人次，矛盾．从而命题得证．解题方法的分析反证法在星期天，有7个小孩他们每人都3次来到卖冰淇淋的售货亭．已知他们中每两人都在售货亭处相遇．证明：在某时刻，至少有3个小孩相遇在售货亭。【总结】：这道题的关键在于假设结论不成立。当正面结论对应情况过多，而反面结论较少时，假设反面结论成立，由此推出矛盾，即为我们常用的反证法，这可以有效简化解题过程，以达到“简单、自然”的效果。解题方法的分析反证法【注意】：单先生特别强调的一点就是——反证法也不能滥用；只适用于反面结论的外延比正面结论少的部分情况，而对于很多可以直接证明的题目，如果采用反证法，可能会使证明过程更显得冗杂，不够简洁，不够清晰明了。解题方法的分析构造法例：确定m2+n2的最大值，这里m和n是整数，满足m，n∈｛1，2，…，1981｝，(n2-mn-m2)2=1求一个式子的最大值，学生可能会考虑换元，即在条件中寻找目标式子，这固然为一个方法，但是此题中所给条件很难凑出这样完好的式子，过程可能会非常冗杂且不便思考。解题方法的分析构造法例：确定m2+n2的最大值，这里m和n是整数，满足m，n∈｛1，2，…，1981｝，(n2-mn-m2)2=1解题方法的分析构造法例：确定m2+n2的最大值，这里m和n是整数，满足m，n∈｛1，2，…，1981｝，(n2-mn-m2)2=1【解】若m＝n，由(n2-mn-m2)2=1得（mn）2=1，故m＝n＝1．若m≠n，则由得n＞m．令，于是化简得解题方法的分析构造法例：确定m2+n2的最大值，这里m和n是整数，满足m，n∈｛1，2，…，1981｝，(n2-mn-m2)2=1从而．再令，于是有若，则以上步骤可以继续下去，直至，其中解题方法的分析构造法例：确定m2+n2的最大值，这里m和n是整数，满足m，n∈｛1，2，…，1981｝，(n2-mn-m2)2=1【若不是斐波那契型数列，因为递推公式已知，一般也可以求解通项公式，从而求解问题】从而得到数列：此数列任意相邻三项皆满足这恰好是斐波那契型数列．解题方法的分析构造法例：确定m2+n2的最大值，这里m和n是整数，满足m，n∈｛1，2，…，1981｝，(n2-mn-m2)2=1解题方法的分析构造法例：确定m2+n2的最大值，这里m和n是整数，满足m，n∈｛1，2，…，1981｝，(n2-mn-m2)2=1【总结】：而单先生对这道题目最关键的解题步骤就是构造了新变量，从而发现可以产生结构相似的等式，这种构造需要有比较丰富的解题经验，而且需要熟练掌握构造法，大胆猜测并尝试，小心求证，方能求解。解题思想的分析（一）单墫·解题思想概述单墫的解题思想，概括来说：解题者在大量且高质量的题海中，积累解题经验、形成知识组块、逐步地构建知识网络、①形成稳定和灵活的产生式。在此基础上，解题者应从多元的数学思想出发，多角度②全面地分析问题，抓住问题本质。秉着直接，严谨的原则，综合运用和③用“简单自然”的标准，灵活选择合适的解题方法才能更为简洁有效地解决问题。即是说不仅要具备解决这个问题所必需的概念，性质和定理知识，而且追求好的解法。①多角度看问题“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，用不同的角度看问题会对事物有不同的认识，因而也就产生不同的解法。

从多角度看问题，使得我们对问题有更全面的认识。通过理解题目的不同角度的含义，我们可深入地认识问题的本质。②灵活利用多种数学思想考虑问题

数学思想包括了：数形结合、类比归纳、化归、分类讨论、整体、函数与方程、统计、公理化的思想等。从多种数学思想看问题，使得我们对问题有更全面的认识。通过理解题目的不同角度的含义，我们可深入地认识问题的本质。1.“全面”的观念——如何直剖核心？（二）主要解题思想

解题的过程，实际上就是不断地变更你的问题，直到它越来越容易解决。通过简化问题，我们逐步逼近问题的解决。单墫先生在《解题研究》一书中讲解了“把握基本量”、“利用一般与特殊”、“不同角度看问题”等简化问题的方式。①把握住基本量：在问题中，有些量是基本的，有些量是派生的。例如三角形中，三条边的长a，b，c或三个角A，B，C是基本的量。而在此基础上得到的量，如中线、高等等，就是非基本的。解题中，常将非基本的量化为基本的量，使得要证明的结论变为基本量之间的关系，从而变得显而易见或不难证明。这也可以说成是消元。消去派生的或中间的字母，