江西省九江市实验中学高二数学 第一章 第十六课时《计数原理》小结与复习（二）教案 北师大版选修2-3

江西省九江市实验中学高二数学第一章第十六课时《计数原理》小结与复习（二）教案北师大版选修2-3授课专业和授课专业和年级授课章节题目授课时间课程基本信息1.课程名称：《计数原理》小结与复习（二）

2.教学年级和班级：高二年级（1）班

3.授课时间：2023年10月18日第2节课

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标分析二、核心素养目标分析通过复习计数原理的综合应用，提升学生运用分类加法与分步乘法原理解决复杂计数问题的数学运算能力；引导学生分析问题中的分类标准与分步逻辑，强化逻辑推理素养；在解决分配、分组等实际问题时，发展从具体情境抽象出计数模型的能力，体会数学抽象与数学建模的内在联系；通过多角度思考计数问题，培养思维的严谨性与灵活性，提升数学核心素养的综合应用水平。教学难点与重点三、教学难点与重点1.教学重点，①分类加法原理与分步乘法原理的综合应用，特别是解决分配、分组等实际问题时的模型选择；②计数问题中的逻辑分析，准确把握“分类”与“分步”的判断依据，避免重复或遗漏。2.教学难点，①复杂计数问题中多条件的综合处理，如有限制条件的排列组合与计数原理的结合应用；②从实际问题抽象出数学模型的能力，特别是涉及“平均分组”“不平均分组”等易混淆情境的准确建模。教学方法与手段四、教学方法与手段教学方法：①讲练结合法，通过典型例题解析与分层梯度练习，深化计数原理的综合应用；②小组讨论法，组织学生合作探究复杂问题的分类分步策略，培养协作思维；③案例分析法，结合课本实际情境问题抽象数学模型，强化建模意识。教学手段：①多媒体动态演示计数过程，直观呈现分类分步逻辑关系；②希沃白板实时展示学生解题步骤，促进反馈与纠错；③计数原理教学软件模拟分组分配过程，突破抽象难点。教学过程设计五、教学过程设计

**导入环节（3分钟）**

教师展示班级座位安排情境：“高二（1）班有5名男生和4名女生需排成一列，要求女生不相邻，有多少种排法？”学生独立思考后，教师引导回顾分类加法与分步乘法原理的核心逻辑（分类不重不漏、分步连续完成），点明本节课聚焦复杂计数问题的综合应用。

**讲授新课（27分钟）**

1.**原理辨析与模型构建（10分钟）**

-教师呈现课本例题：“6人分成3组，每组2人，有多少种分法？”学生尝试解题后，教师点拨“平均分组”需除以组数的阶乘（3!），强调模型构建的关键是区分“有序分组”与“无序分组”。

-师生互动：教师板书两种分组方式（有序/无序）的对比表格，学生举手指答判断题（如“将4人分成2组，每组2人”是否需除以2!），教师即时反馈。

2.**综合应用与难点突破（12分钟）**

-教师呈现变式题：“5名男生和3名女生排成一列，女生互不相邻且男生排在一起，有多少种排法？”

-小组讨论（4分钟）：学生分组讨论“先排男生捆绑再插空”的策略，教师巡视指导，提示“捆绑法”与“插空法”的结合逻辑。

-展示交流（5分钟）：小组代表板书解题步骤，教师用希沃白板动态演示“男生捆绑→女生插空”的过程，重点强调分步乘法的连续性（男生排列×女生插空）。

-错例辨析（3分钟）：展示学生常见错误（如遗漏男生排列顺序），引导反思“分步”中每步的独立性。

3.**核心素养拓展（5分钟）**

-教师抛出开放题：“设计一个班级活动，需从6人中选3人负责宣传、2人负责后勤，有多少种选法？”

-师生互动：学生口头阐述分类标准（先选宣传组再选后勤组），教师追问“若宣传组有正副组长，如何调整？”，深化“有序与无序”的数学抽象能力。

**巩固练习（10分钟）**

1.**基础题（3分钟）**

-课本P38习题1（2）：计算“8人分成4组，每组2人”的分法数。学生独立完成，教师抽查并点评除以4!的必要性。

2.**变式题（5分钟）**

-教师改编题目：“5人排成一列，甲乙不相邻且丙丁相邻，有多少种排法？”学生快速解题，教师用计时器控制时间，强化分步乘法的应用熟练度。

3.**开放题（2分钟）**

-学生自编一道涉及“分组与排列”的综合题，同桌互评，教师选取典型例题全班分享。

**课堂总结（4分钟）**

-教师引导学生用思维导图梳理本节课知识网络（分类加法、分步乘法、模型构建），学生齐声复述“分类看标准，分步看步骤”的核心口诀。

-布置分层作业：基础层（课本P39习题2）；提升层（设计一个包含“平均分组”与“有限制条件”的计数问题）。

**板书设计（全程同步）**

```

计数原理综合应用

1.原理对比：

分类加法：互斥事件（例：选男生或女生）

分步乘法：连续事件（例：先选人再排位）

2.模型构建：

有序分组：排列数（如：选班长）

无序分组：组合数÷组数!（如：平均分组）

3.典型例题：

男生捆绑→女生插空（分步乘法）

```

（总用时：44分钟，预留1分钟弹性时间）教学资源拓展**1.拓展资源**

（1）**经典计数模型**

-**隔板法**：解决“将n个相同物品分给k个不同容器”问题，如教材P35例3的变式“将10本相同的书分给3个学生，每人至少1本”，需用公式\(C_{n-1}^{k-1}\)。

-**容斥原理**：适用于多限制条件问题，如“从1到100的整数中既不被2整除也不被3整除的数的个数”，公式为\(|A\cupB|=|A|+|B|-|A\capB|\)。

-**映射思想**：通过一一对应转化问题，如“圆桌排列”转化为固定首元素的直线排列，公式为\((n-1)!\)。

（2）**二项式定理深化**

-**组合恒等式**：如\(C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n=2^n\)，可结合教材P42习题5证明。

-**二项式系数性质**：对称性\(C_n^k=C_n^{n-k}\)、最大值位置（当\(n\)偶数时\(C_n^{n/2}\)最大），需结合杨辉图理解。

（3）**实际应用场景**

-**密码学**：RSA加密原理基于大数质因数分解的计数复杂性，如用排列组合计算密钥空间大小。

-**生物学**：DNA碱基序列组合（4个碱基排列成3位密码子共\(4^3=64\)种），关联教材P39例4。

-**概率基础**：古典概型公式\(P(A)=\frac{m}{n}\)中\(m,n\)的计数方法，如从52张牌中抽5张同花色的概率计算。

**2.拓展建议**

（1）**分层训练设计**

-**基础巩固层**：完成教材P38习题1（1）（3）、P39习题2（1），重点强化“分组除阶乘”和“插空法”的规范书写。

-**能力提升层**：探究“5人分成2组，一组3人一组2人”与“5人分成两组无序”的区别，验证是否需除以\(2!\)。

-**创新挑战层**：设计“班级选3名班委（正副班长1人，普通委员2人）”的计数模型，对比有序与无序分组差异。

（2）**跨学科实践**

-**计算机科学**：用Python编写程序验证“从52张牌中抽5张同花色”的概率，模拟10000次实验并对比理论值。

-**生活应用**：统计校运动会“4×100米接力赛”的出场顺序安排（含限制条件如某队员不跑第一棒），建立数学模型。

（3）**思想方法渗透**

-**化归思想**：将“环形排列”转化为直线排列（固定一人位置），如“8人围坐圆桌，甲乙相邻”问题。

-**对称思想**：利用组合恒等式简化计算，如证明\(C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}\)的实际意义。

（4）**错题反思机制**

-建立错题本，记录易错点：

-混淆“排列”与“组合”（如选组长与选成员的区别）；

-遗漏限制条件（如“女生不相邻”中未考虑男生排列顺序）；

-分组问题未除以重复计数（如“6人平均分3组”需除以\(3!\)）。

（5）**竞赛衔接引导**

-研究高考真题：2023年全国卷I第6题“5名志愿者分配到3个社区”的计数策略；

-探究联赛题型：“用数字1,2,3,4组成无重复数字的四位数，其中1不在十位”的容斥解法。课堂小结，当堂检测**课堂小结（2分钟）**

教师引导学生梳理核心知识：分类加法原理强调“互斥不重漏”，分步乘法原理突出“连续相依性”；复杂计数问题需先明确“有序分组”与“无序分组”，再选择除阶乘或直接计算；限制条件问题常用“捆绑法”“插空法”或“先排特殊元素”。学生齐诵口诀：“分类看标准，分步看步骤，分组看有序，限制先处理”。

**当堂检测（8分钟）**

1.**基础题（3分钟）**

-课本P38习题1（2）：计算“6人平均分成3组，每组2人”的分法数。

-答案：\(\frac{C_6^2\cdotC_4^2\cdotC_2^2}{3!}=15\)种，强调无序分组需除以组数阶乘。

2.**变式题（3分钟）**

-改编题：“5人排成一列，甲乙不相邻且丙丁相邻，有多少种排法？”

-解析：丙丁捆绑为1人（\(2!\)），与另3人共4元素排列（\(4!\)），甲乙在5位置中插空（\(P_3^2\)），总数\(2!\times4!\timesP_3^2=288\)种。

3.**拓展题（2分钟）**

-开放题：“设计一个从6人中选3人担任不同职务的方案，需包含‘至少2人同组’的限制条件。”

-学生口头表述模型，教师点评“职务有序→直接排列，无序分组→除阶乘”的逻辑差异。

**分层作业（课后）**

-基础层：完成课本P39习题2（1）（2）；

-提升层：自编一道“分组+排列”的综合题并解答。重点题型整理1.**平均分组问题**：6人平均分成3组，每组2人，有多少种分法？

答案：\(\frac{C_6^2\cdotC_4^2\cdotC_2^2}{3!}=15\)种（无序分组需除以组数阶乘）。

2.**捆绑与插空结合**：5名男生和3名女生排成一列，女生互不相邻且男生排在一起，有多少种排法？

答案：男生捆绑为1人（\(2!\)），与另3人共4元素排列（\(4!\)），女生在5位置中插空（\(P_3^2\)），总数\(2!\times4!\timesP_3^2=288\)种。

3.**多重限制条件**：用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，要求1不在十位且5不在个位，有多少种？

答案：总数\(5!-4!-4!+3!=78\)种（容斥原理）。

4.**分配问题**：将4本不同的书分给3个学生，每人至少1本，有多少种分法？

答案：先分组（\(C_4^2\cdotC_2^1\cdotC_1^1/2!=3\)种），再分配（\(3!\times3=18\)种）。

5.**跨学科应用**：校篮球队5人需排位（控卫、分卫等5个不同位置），其中甲不能打控卫，有多少种排法？

答案：总数\(5!-4!=96\)种（直接法：控卫选4人，其余全排\(4\times4!=96\)种）。反思改进措施（一）教学特色创新1.动态模型可视化，用希沃白板将“分组分配”“捆绑插空”等抽象过程动态拆解，如展示“6人平均分3组”的分组步骤，帮助学生直观理解“除以组数阶乘”的必要性；2.分层任务驱动设计，基础层巩固课本例题规范书写，提升层探究“有序分组与无序分组”的数学本质差异，开放题鼓励学生自编计数问题，实现从解题到编题的思维跃升。

（二）存在主要问题1.学生抽象建模能力参差不齐，部分学生面对“多重限制条件”问题时，难以快速识别“分类”与“分步”的逻辑关系；2.课堂错题反馈时效性不足，如“捆绑法中遗漏排列顺序”等典型错误，未能当堂针对性剖析，可能导致错误认知固化。

（三）改进措施1.构建“阶梯式案例库”，从简单到复杂逐步增加条件，如先练“4人分两组”，再过渡到“5人分成2,2,1组”，通过对比练习强化“平均分组除阶乘”的模型识别；2.优化即时反馈机制，利用希沃白板“课堂活动”功能实时收集学生解题