广东华侨港澳台高三第一次联合模拟数学试卷

机密★启用前全国华侨港澳台第一次模拟联合考试数学一、选择题：（本题共10小题，每小题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.表示复数z的共轭复数，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由，得，所以.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合，中的元素，再由集合的并运算即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，即，所以，所以.3.已知是第三象限角，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用条件先求出的值，再求，最后代入二倍角公式计算即得.【详解】因为是第三象限角，，所以，则，故．故选：A.4.已知抛物线的焦点为圆的圆心，则（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心及抛物线的焦点坐标即可.【详解】抛物线的焦点坐标为，而圆的圆心为，依题意，，所以.故选：A5.三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的点，则四棱锥P－ACC1A1的体积为（

）A. B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】通过课本三棱锥的体积公式的推导，不妨为侧棱上的点为端点，三棱柱即可由一个三棱锥一个四棱锥组成，可得四棱锥的体积，得到选项．【详解】因为ABC－A1B1C1中，平面ACC1A1所以，P－ACC1A1的体积与B－ACC1A1的体积相等，三棱柱由一个三棱锥B－B1C1A1与一个四棱锥B－ACC1A1组成，其中三棱锥B－B1C1A1的体积是三棱柱的，所以四棱锥B－ACC1A1的体积是三棱柱体积的.因为三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1，所以四棱锥P－ACC1A1的体积为.故选：B.6.甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率公式可得答案．【详解】因为甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，所以甲乙都没有成功破译密码的概率，所以密码被成功破译的概率为.故选：A7.下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐项判断即可得结论.【详解】对于A，函数关于直线对称，不是偶函数，故A不符合；对于B，因函数在上均为偶函数，所以为偶函数，且当时，，所以函数在区间上单调递减，故B符合；对于C，函数在上为非奇非偶函数，故C不符合；对于D，因为函数在上均为奇函数，所以为奇函数，故D不符合.故选：B.8.已知为等比数列，若，则的公比（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等比数列通项公式列方程即可解得公比.【详解】根据等比数列定义由可得，显然，所以，解得.故选：D9.不等式的解集为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由二次根式的定义，不等式等价于，解之可得．【详解】不等式等价于.或，又，所以或．故选：D．10.已知函数，若存在x，使得，则a的取值范围（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】根据函数，确定定义域，先将代入函数表达式，利用对数的运算性质化简，因为存在x使得等式成立，所以将化简后的等式变形，分离出参数a，得到a关于x的表达式，结合换元法以及二次函数性质，可利用函数的单调性求解.【详解】函数的定义域为，由，得，即，则，由于，故，令，则存在x，使得，转化为存在，使得有解，由于的对称轴为，则在上单调递增，故，故，结合，可得.二、填空题：（本题共5小题，每小题6分，共30分.）11.在的展开式中，二项式系数的和为64，则展开式中项的系数是_____．（用数字作答）【答案】135【解析】【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和可得，解出，结合通项公式计算即可求出的系数.【详解】由题意，，则，则的展开式的通项为，，令，得，所以展开式中项的系数是.故答案为：135.12.已知二次多项式除以的余式是1，除以的余式是2，除以的余式是4，则该二次多项式除以的余式是__________.【答案】7【解析】【分析】由题意有，，求出即可求解.【详解】设，所以，，解得，故，，故该二次多项式除以的余式是.故答案为：13.双曲线（，）的左、右焦点为，，P为双曲线上一点，且满足轴，，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】因为轴，所以,再利用双曲线的定义即可求得答案.【详解】因为轴，所以为通径的一半，故，在中，因为，所以，所以，即，可得.故答案为：.14.某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种．【答案】600【解析】【分析】先从8名教师中选出4名，因为甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，两类方法数相加，再把4名老师分配去4个边远地区，4名老师进行全排列即可，最后两步方法数相乘【详解】解：分两步，第一步，先选四名老师，又分两类，第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有种不同的选法，第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有种不同选法，所以不同的选法有25种，第二步，四名老师去4个边远地区支教，有种，所以共有种，故答案为:600【点睛】此题考查了排列组合的综合应用，属于基础题.15.函数的最大值为3，则________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简，结合二次函数的性质及最大值列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，由于二次函数开口向上，故在区间的端点取得最大值.若时取得最大值，即，此时二次函数对称轴，根据二次函数性质可知时取得最大值，符合题意.若时取得最大值，即，解得，此时二次函数对称轴，根据二次函数性质可知时取得最大值，符合题意.故.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二次函数的性质以及最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：（本大题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.已知中角，，所对的边分别为，，，设其面积为，．（1）求角；（2）若，点在边上，若是的平分线，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理可求角；（2）利用余弦定理和角平分线的性质建立方程组，结合面积公式可得答案.【小问1详解】依题意，，因为，所以．【小问2详解】中，，．①又，，即，②联立①②得，．．17.在数列中，，，且对任意的，都有．（1）证明：是等比数列，并求出的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）先利用等比数列的定义求证数列是等比数列，再构造数列求证其为等差数列，利用等差数列的通项公式求解；（2）利用错位相减法求和.【小问1详解】因为，，所以．因为，所以，又，则有，所以，所以是以4为首项，2为公比的等比数列．所以，所以，又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以．小问2详解】设，则，两式相减得，则.18.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，判断函数的单调性；（3）讨论函数的零点个数．【答案】（1）（2）答案见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）求出导数，求出得斜率，点斜式可求切线方程；（2）先求导数，从1分段讨论导数的符号，得出单调性；（3）令，求解根的情况，需讨论的单调性，判断其零点个数.【小问1详解】当时，，，，所以曲线在点处的切线方程为.小问2详解】定义域为，，整理得，当时，，因为，所以，所以，为增函数.当时，，因为，所以，所以，为减函数.综上可得，当时，为减函数，当时，为增函数.【小问3详解】设，由得或；当时，，为增函数，又，此时仅有一个零点；当时，，时，，为增函数，时，，为减函数，的最大值为；若，的最大值为，此时仅有一个零点；若，则，且趋近于时，趋近于，故在区间内，有且仅有一个零点，此时有两个零点；若，则，且趋近于0时，趋近于，故在区间内，有且仅有一个零点，此时有两个零点；综上可得，当或时，有一个零点，当或时，有两个零点.19.已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求椭圆的方程：（2）过点的直线交椭圆于，两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，．证明：（i）为定值：（ii）直线过线段的中点．【答案】（1）（2）（i）证明见详解；（ii）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意，列出的方程组求出得解；（2）（i）当直线斜率为0时，.当直线的斜率不为0时，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，计算的值，化简后结果为，由此证明结论成立.（ii）设线段的中点为，求出直线的方程，直线的方程，结合，可得，可证点在直线上.【小问1详解】由题可知：，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】（i）