江西省上饶市高三上学期第一次高考模拟考试数学

上饶市2026届高三上学期第一次高考模拟考试数学试题一、单选题1．若集合，则（

）A． B． C． D．2．已知，则的虚部为（

）A． B． C． D．3．已知函数，则（

）A．4 B．9 C．16 D．254．已知，，若，则（

）A． B． C． D．5．将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（

）A．4种 B．6种 C．10种 D．12种6．已知，且，则（

）A．4 B．3 C． D．27．已知函数，则下列说法错误的是（

）A．B．C．对定义域内的任意两个不相等的实数恒成立D．若实数满足，则8．已知正方体的棱长为4，棱上的点满足与交于点．若平面经过点且与垂直，则平面截该正方体所得截面的面积为（

）A．4 B．7 C．4 D．7二、多选题9．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．最小正周期为B．偶函数C．图象关于点中心对称D．在区间上单调递减10．已知函数，则（

）A．在点（2，a4）处的切线方程为B．若有两个极值点，则C．当时，有两个零点D．当时，直线与的图象一定有三个不同的交点11．对任意有序正实数对，若存在过点的直线与双曲线交于两点，且为线段的中点，则称该数对为有效数对，否则称为无效数对，则下列数对中是有效数对的有（

）A． B． C． D．三、填空题12．已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则．13．在边长为3的正方形中，三点分别在上，满足，则五边形面积的最大值是．14．方程的整数解的组数为．四、解答题15．2025年“十一”周期间，上饶市文旅局对五大热门景区（三清山、婺源、龟峰、葛仙村、望仙谷）的游客数据进行了统计．已知前五日每日总游客接待量（，单位：万人次）与全市旅游综合收入，单位：亿元的抽样数据如下：日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日29323630286786.55.5(1)根据数据建立旅游综合收入关于游客接待量的线性回归方程，并预测第六日游客接待量达到38万人次时，该市旅游综合收入的估计值；(2)在“十一”周期间，望仙谷景区单日客流量超过承载上限（5万人次）的概率为0.4．周七天中随机抽取三天，记客流量超过承载上限的天数为，求的分布列及数学期望．参考数据：．参考公式：．16．在平面四边形中，，将沿翻折至，满足．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．17．已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.18．已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)如图，斜率存在且不为0的直线与相交于点（在的左侧），，分别为左右焦点，设直线的斜率分别为，且．①求证：直线过定点；②设直线相交于点，求证：为定值．19．已知函数，(1)求证：当时，；(2)记在的唯一零点为，求证：；(3)在（2）的条件下记，求证：．

参考答案1．C【详解】由，无解；由，解得；由，解得，所以，所以，故选：C2．D【详解】因为，代入得：，所以虚部为，故选：D.3．C【详解】因为，令，解得，所以．故选：C.4．B【详解】，，则，，由，得，解得.故选：B5．C【详解】本题是6个相同的小球放入3个不同的盒子，且每个盒子至少有1个小球的组合问题，可以使用隔板法，将6个小球排成一排，中间形成5个空隙，在这5个空隙中插入2个隔板，即可将小球分成3份，每份至少有1个，因此，不同的放法共有种，故选：C．6．A【详解】，由得，则所以故选：A．7．C【详解】，对于A选项，对任意的，，所以函数是定义域为的偶函数，，故A正确；对于B选项，，故函数为奇函数，故B正确；对于C选项，对于函数，令，解得；，解得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故C错误；对于D选项，由函数是定义域为的偶函数同时函数的单调递增区间为，单调递减区间为所以可得，即，故D正确．故选：C．8．B【详解】如图，设的中点为，是正方体，是正方形，，，，平面,平面，与交于点，平面，，是正方体的棱长为，为的中点，，，，，，，，，，平面BDF，平面．平面经过点且与垂直，平面平面，，是的中点，，在上取点，使得，连接，则，在上取点，使得，连接，则，取的中点，连接，则，取的中点，为的中点，，，在上取点，连接，则，连接，连接，故平面平面，则截面五边形为平面，梯形中，，则梯形的面积．中，，又，所以，即．故选：B．9．BC【详解】根据题意，，所以函数，所以函数是周期为的偶函数，A错误，B正确．函数的图象关于点中心对称，C正确，函数在区间上不单调，D错误．故选：BC．10．ABD【详解】选项A，，在点（2，a4）处的切线方程为，即切线方程为，选项A正确．选项B，，有两个极值点，有两个不同的根，，，选项B正确．选项C，当时，由前面分析知存在两个极值点，是有两个不同的根，，，一正一负，且正根大于，不妨设，则的解为或，的解为，当时单调递增，当时单调递减，当时单调递增，，，，，当时，有三个零点，选项C错误．选项D，直线与相交，则，解得考虑二次部分，，，，，设，，不是的根，所以该方程有3个根，选项D正确．故选：ABD.11．AD【详解】设直线的斜率为，，则有，，两式相减得，即，又为的中点，即，且，所以，且直线与双曲线有两个交点，对于A：此时数对为，则，直线，双曲线，联立，得，，满足直线与双曲线有两个交点，故A正确；对于B：此时数对为，则，直线，双曲线，联立，此时无解，不满足直线与双曲线有两个交点，故B错误；对于C：此时数对为，则，直线，双曲线，联立，得，，不满足直线与双曲线有两个交点，故C错误；对于D：此时数对为，则，直线，双曲线，联立，得，，满足直线与双曲线有两个交点，故D正确；故选：AD.12．12【详解】因为抛物线的顶点到焦点距离为，故，故，故答案为：12．13．7【详解】设，则，因为且，所以，在直角中，，所以同理可得，所以，，因为，当且仅当时，即时等号成立，所以五边形EFDCG面积的最大值是7．14．12【详解】原方程变形得，即，由是整数，得或，或或，而方程组与各有2组解，方程组与各有4组解，所以原方程共有12组解.故答案为：1215．(1)，8.7亿元(2)分布列见解析，【详解】（1）因为所以．所以回归方程为：，当时，当第六日游客接待量达到38.0万人次时，该市旅游综合收入的估计值为8.7亿元．（2）由题意可知，则所以的分布列为：0123P.16．(1)证明见解析(2)【详解】（1）在平面四边形中，，，在空间中，由得平面又平面，平面平面，得证．（2）以为原点，，分别为轴和轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，因为平面平面，所以轴平面，则．所以．设平面一个法向量为，则，即，令，则．设平面一个法向量为，则，即，令，则．设平面与平面的夹角，则.17．(1)，(2)【详解】（1）设等差数列公差为，则，由得，由得，所以，所以，所以数列的通项公式为；又，由数列的各项均为正数得，即，又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列，所以.（2）当为奇数时，记，则有当为偶数时，．所以，记，则有所以.18．(1)(2)①证明见解析②证明见解析【详解】（1）如图所示，设椭圆的左、右焦点分别为、，因为焦距为，在椭圆上，所以且轴，故，又由于，所以得，故椭圆方程为（2）①设直线方程为，与椭圆联立，消去得，设，由韦达定理得：直线的斜率，直线的斜率，因此：，即，整理得，所以，故直线过定点.②直线的方程，因为，故直线可写为：，即：直线过和，其方程为：，联立直线与的方程，消去后解得，即；同理，，由题知在的左侧，易得在