核心素养视域下“最大公因数”深度探究导学案-人教版五年级下册数学

核心素养视域下“最大公因数”深度探究导学案——人教版五年级下册数学

一、教学背景分析

（一）教材分析

《最大公因数》隶属于人教版五年级下册第四单元《分数的意义与性质》，是在学生已经系统掌握因数、倍数、2、5、3的倍数特征以及找一个数的所有因数等【基础】知识与技能之上展开的。本课不仅是分数约分、通分的直接知识支柱，更是后续学习分数四则混合运算、比的基本性质乃至初中代数中整式因式分解的重要认知锚点。教材编排以“铺地砖”为现实载体，将抽象的“公因数”概念植根于可触摸的操作活动中，旨在引导学生在解决“正好铺满”这一真实任务时，自发产生对“既是……又是……”这一逻辑关系的需求，从而完成从生活语言向数学语言的转化，充分体现了2022年版课标“在真实情境中学习数学”的理念。

（二）学情分析

五年级学生正处于皮亚杰认知发展阶段论中的“形式运算”初期，思维依然需要具体表象的支持，但已经开始具备初步的逻辑推理能力。学生能够熟练列举一个数的所有因数，但对于“公”字所蕴含的交集思想理解较浅，极易出现将“公因数”与“因数”混淆、在列举公因数时遗漏部分因子、对“最大”的确认缺乏策略意识等问题。此外，学生的思维呈线性枚举特征，缺乏对算法优化的内在驱动。因此本课设计着力于制造“方法冲突”：当数字增大、因数增多时，繁琐的列举法让学生自然产生“有没有更简单的方法”的认知需求，从而在心理上主动接纳短除法，实现从“学会”到“会学”的跨越。

（三）课标定位

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第三学段“数与代数”领域的具体要求，本课聚焦的核心素养主要包括：数感、运算能力、推理意识、模型意识、应用意识。具体学业要求为：理解公因数和最大公因数的意义；能在1—100的自然数中，找出两个数的最大公因数；能在真实情境中识别最大公因数模型，并用以解决简单的实际问题。本课设计严格对标上述要求，力求在每一环节都体现素养导向。

二、教学目标设计

（一）知识与技能目标

1.理解公因数与最大公因数的概念本质，能用自己的语言描述“公因数”就是两个数共有的因数，【基础】并清晰辨别“公因数”“最大公因数”“互质数”三个核心术语。

2.掌握求两个数最大公因数的四种基本方法：列举法、筛选法、分解质因数法、短除法，【非常重要】并能根据数字特征（倍数关系、互质关系、一般关系）灵活优化解题策略。

3.熟练运用短除法求两个数的最大公因数，【高频考点】规范书写短除格式，明确“除到商互质为止”的算理。

（二）过程与方法目标

4.经历“问题情境—操作感知—概念抽象—算法优化—应用迁移”的完整数学化过程，体验从特殊到一般、从具体到抽象的归纳思想。

5.在小组合作与全班辨析中，发展比较、分析、综合的思维品质，初步形成算法优化的意识。

（三）情感态度与价值观目标

6.通过铺地砖等生活问题的解决，感受数学的实用价值，增强用数学眼光观察世界的习惯。

7.在探究活动中获得成功的情绪体验，树立数学自信，养成勇于质疑、善于倾听、乐于分享的学习品格。

三、教学重难点

（一）教学重点

1.理解公因数与最大公因数的意义，【非常重要】把握“公有”与“最大”两个维度的内涵。

2.掌握短除法求两个数最大公因数的一般步骤与书写规范，【高频考点】并能正确计算。

（二）教学难点

3.理解“两个数的公因数都是它们最大公因数的因数”这一包含关系，【难点】从集合论的角度深化概念理解。

4.在复杂现实情境中准确剥离出数学模型，【难点】灵活运用最大公因数解决物品分装、图形分割等实际问题。

四、教学准备

教具：动态交互式课件（含铺地砖动画）、大磁力板、16×12网格贴图、彩色磁贴若干。

学具：四人小组配备一个学具盒，内含16cm×12cm长方形卡纸一张（模拟地面），1cm×1cm、2cm×2cm、3cm×3cm、4cm×4cm正方形卡纸若干（模拟地砖）；每人一张学习任务单；小组白板及记号笔。

五、教学实施过程（核心环节）

（一）具身操作，催生概念——在“铺满”与“铺不满”的冲突中建构公因数

【设计意图】以装修选材为任务驱动，让每一个学生都经历“摆一摆”的动作思维阶段。通过“正好铺满”与“无法铺满”的正反例对比，将抽象的“整除”关系转化为可视化的“无空隙”直观，使“公因数”作为解决问题的工具而自然浮现，而非教师强加的定义。

1.真实情境，任务入项

教师呈现多媒体情境：王老师要给学校劳动教室的地面铺设正方形防滑垫。地面长16分米、宽12分米，要求所选的方形垫子必须是整分米数，且必须整块铺满，不允许切割拼接。现有四种规格：边长1分米、2分米、3分米、4分米。哪一种规格能满足要求？

学生默读题目后，教师引导圈画关键词：“整分米”“整块铺满”“不能切割”。学生在小组内利用学具卡纸和小正方形进行操作验证。教师巡视，重点观察学生是否尝试用多种规格验证，以及如何处理“3分米”规格。

2.汇报交流，聚焦矛盾

小组代表上台利用磁力板演示：边长1分米——长边铺16块，宽边铺12块，正好铺满；边长2分米——长边铺8块，宽边铺6块，正好铺满；边长4分米——长边铺4块，宽边铺3块，正好铺满；边长3分米——长边铺5块后剩余1分米，虽然宽边铺4块刚好，但长边有空隙，所以不能整块铺满。

教师追问：“为什么偏偏边长3分米的不行？”引导学生将操作经验转化为数学表达：地砖的边长必须同时是地面长和宽的因数。16的因数有1、2、4、8、16；12的因数有1、2、3、4、6、12。只有同时出现在两个数列中的数，才能作为地砖边长。

3.命名定义，首次建模

教师在黑板左侧列出两个因数集合，并用红色粉笔圈出公共部分：“1、2、4”。教师指出：像这样，既是16的因数又是12的因数，我们称它们是16和12的公因数。【基础】其中最大的那个数4，就是16和12的最大公因数。

板书课题：最大公因数。学生齐读课题，在任务单上记录自己小组找到的公因数和最大公因数。

（二）多维探究，算法初构——在方法多样化的基础上催生优化需求

【设计意图】在掌握基本概念后，立即让学生“自己出题”尝试，旨在检验概念的迁移能力。通过展示不同层次学生的作品（普通两位数、特殊关系数），既巩固了列举法，又自然引出了互质数、倍数关系等特殊情形，同时为后续短除法的出场做足了认知铺垫——当数字较大时，列举法确实太慢了。

1.开放举例，丰富表象

教师提问：“除了16和12，你还能任意写出一组两位数，并找出它们的公因数和最大公因数吗？请在学习单上独立完成。”学生开始独立尝试，教师选取典型样本投影展示。

样本一（8和12）：8的因数有1、2、4、8；12的因数有1、2、3、4、6、12；公因数1、2、4；最大公因数4。

样本二（18和24）：学生采用列举法，但发现18和24的因数较多，书写耗时较长。教师捕捉此细节，暂不评价。

样本三（5和7）：5的因数有1、5；7的因数有1、7；公因数只有1；最大公因数是1。

教师指着样本三：“为什么这一组只有一个公因数？”学生回答：“因为5和7都是质数，而且不一样。”教师顺势揭示概念：公因数只有1的两个数，叫做互质数。【基础】像5和7、8和9、11和13等都是互质数。

2.回顾梳理，归纳方法

教师引导学生回顾刚才的做法，给方法命名。

方法一：列举法——分别列出两个数的所有因数，再找出公因数中的最大值。【基础】优点是清晰直观，缺点是大数时效率低。

方法二：筛选法——先列出较大数的因数，再从中筛选较小数的因数，从而直接锁定公因数。【重要】学生通过对比发现，筛选法比完整列举法略微简捷。

方法三：分解质因数法。教师出示16和12：16=2×2×2×2，12=2×2×3。公有的质因数是两个2，所以最大公因数是2×2=4。【非常重要】【高频考点】教师强调：公有质因数的指数要取最小值。

3.聚焦核心，短除出场

教师设问：“当数字比较大，比如求48和72的最大公因数时，列举法或分解质因数书写都很长，有没有一种格式更简洁、计算也更直观的方法呢？”学生在困惑中产生对新方法的需求。

教师板书短除法的书写格式：

2|4872

2|2436

2|1218

3|69

23（2和3互质）

48和72的最大公因数=2×2×2×3=24。

教师分步讲解：①每次都用两个数的公因数去除；②除数写在左侧，商写在下面；③一直除到两个商互质为止；④把所有除数相乘，积就是最大公因数。【非常重要】【高频考点】

学生模仿练习：用短除法求18和24的最大公因数。教师巡视，发现典型错误——有的学生除到商（3和4）认为还能继续除以2，教师立即组织辨析：“3和4还能同时除以2吗？2是3的因数吗？”以此突破难点：互质不是指两个数都是质数，而是指公因数只有1。【难点】

（三）深度学习，洞察本质——在变式比较中构建知识结构

【设计意图】数学学习的深层目标是形成结构化的知识网络。本环节通过三组对比题，帮助学生提炼出求最大公因数的“特殊情况优先”策略；并通过追问“为什么公因数都是最大公因数的因数”，将学生的思维从工具性理解推向关系性理解，触及数论中整除性的初步思想。

1.对比辨析，策略优化

教师呈现三组求最大公因数的题目，要求不计算，直接说思路。

第一组：4和8。学生快速反应：8是4的倍数，最大公因数就是4。【基础】

第二组：5和6。学生回答：互质，最大公因数是1。【基础】

第三组：12和18。学生认为用短除法或列举法均可。

师生共同总结：

①两数成倍数关系→最大公因数是较小数。

②两数互质→最大公因数是1。

③一般关系→用短除法（或分解质因数法）。【非常重要】

教师板书这一策略树，并强调：拿到两个数，先判断它们的关系，可以大大提高速度和准确率。

2.核心追问，直击本质

教师出示大问题：“为什么16和12的公因数1、2、4，恰好都是最大公因数4的因数？这是巧合还是必然？”【难点】

小组讨论三分钟。一组代表发言：“因为最大公因数就是所有公因数里最大的那个，而且公因数都能整除最大公因数。”教师用集合图演示：设A、B两数的最大公因数为d，则任一公因数c都是d的因数。这一结论不要求学生证明，但要求结合实例理解。

3.专项辨析，排除易错

教师出示学生短除法作业中的典型错误，全班找茬：

错误一：2|2436

2|1218

69（6和9还能同时除以3，学生停止）

错误二：2|2436

2|1218

3|69

23（最大公因数写成2×2×3×2×3=72，把最后的商也乘进去了）

学生指出：错误一在于没有除到商互质；错误二在于混淆了求最大公因数与求最小公倍数（最小公倍数才需要乘商）。教师郑重强调：短除法求最大公因数，乘边不乘底！【高频考点】【难点】

（四）分层练习，迁移应用——在真实问题中发展模型意识

【设计意图】练习设计遵循“基础—综合—探究”的螺旋上升结构。基础性练习指向短除法技能的熟练化；综合性练习将数学知识返回到生活世界，要求学生在“裁正方形”“截钢管”等情境中剥离出最大公因数模型；探究性练习则引入“两积关系”与“辗转相除法”，为不同思维层次的学生提供挑战性素材。

1.基础性练习——全纳达标

用短除法求下面各组数的最大公因数：

（1）12和16（2）24和36（3）30和45（4）21和28

学生独立完成，四人小组内交换批改。教师聚焦30和45：有的学生第一步用5去除，第二步用3去除；有的学生第一步用15去除（15不是质数，但也是公因数）。教师肯定第二种做法同样正确，并指出短除法的除数可以是质数，也可以是合数，只要保证是公因数即可。

2.综合性练习——情境建模

【热点】【难点】任务一：一张长方形卡纸，长20厘米，宽16厘米。现要裁成同样大小的正方形，要求正方形边长是整厘米数，且纸张没有剩余。裁出的正方形边长最大是多少厘米？一共可以裁多少个？

学生独立审题，部分学生误以为求面积的最大公因数。小组辨析后统一认识：正方形边长必须同时整除20和16，所以边长是20和16的公因数；要使面积最大（即边长最大），就是求20和16的最大公因数。计算得4厘米。长边可裁20÷4=5个，宽边可裁16÷4=4个，总数5×4=20个。

教师追问：“为什么不用求20和16的最大公因数的平方？”以此强化：铺正方形、裁正方形，核心是边长的整除关系，不是面积的整除关系。

任务二：两根钢管，第一根长42分米，第二根长56分米。现要截成同样长的小段，每段尽可能长，且没有剩余。每段长多少分米？一共可截成多少段？

学生独立完成后汇报：每段长度是42和56的最大公因数14分米；段数=42÷14+56÷14=3+4=7段。教师归纳：这类“分物最长”问题的数学本质就是求最大公因数。

3.探究性练习——思维拓展

【难点】【高频考点】猜数游戏：已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，这两个数可能是多少？

学生小组合作，采用枚举策略。通过列举6的倍数（6,12,18,24,30,36……）并验证与另一个数的关系，找出符合条件的三组数对：（6,36）、（12,18）、（18,12）。教师指出，当学完最小公倍数后，可以利用“两数之积=最大公因数×最小公倍数”来快速求解。

教师拓展介绍《九章算术》中的“更相减损术”以及欧几里得的“辗转相除法”，并示范用辗转相除法求91和49的最大公因数：91÷49=1……42，49÷42=1……7，42÷7=6……0，最大公因数为7。学生惊叹古代数学家的智慧，感受到数学文化的源远流长。

（五）跨学科链接，价值升华——在更广阔的视野中理解公因数

【设计意图】将数学学科与其他领域链接，是2022年版课标“跨学科学习”理念的具体落地。本环节选取音乐节奏和信息技术两个视角，让学生看到公因数不仅在铺地砖中出现，还隐藏在节拍的和谐、图形的密铺乃至计算机算法之中，从而打破学科壁垒，培育跨界思维。

1.音乐中的公因数

教师播放一段电子合成音乐，包含8拍循环和12拍循环两条节奏轨。学生很快发现，在某些拍点上两条节奏会同时重击。教师提问：“这些同时重击的拍点有什么数学规律？”学生通过计算发现，重击发生在第24、48、72……拍，即8和12的公倍数位置。而两个节奏轨的最小公共周期，其实与最大公因数有关：8和12的最大公因数是4，音乐家利用这个原理设计复节奏。学生惊呼：数学原来还可以作曲！

2.美术中的公因数

展示埃舍尔的平面密铺作品，教师指出：许多密铺图案的基本单元，其边长设计往往利用了整数边长的公因数关系，从而实现无缝拼接。学生感受到，数学是艺术背后的隐形骨架。

3.项目式学习微任务

【热点】食堂要将24个苹果和36个橘子分装成礼袋。要求每袋苹果数相同，橘子数也相同，且袋子数量要尽可能多。最多能装多少袋？每袋苹果和橘子各几个？

学生独立列式：袋子数是24和36的最大公因数12；每袋苹果24÷12=2个，每袋橘子36÷12=3个。教师引导学生抽象出此类问题的数学模型：“已知两个总量，要分成相同的份数且每份数量为整数，求最多份数——就是求这两个数的最大公因数。”

（六）反思内化，评价先行——在知识图谱中实现元认知升级

【设计意图】课堂总结不是简单的知识点复述，而是引导学生将碎片化知识编织成网状结构。采用“共创思维导图”的形式，让学生在头脑中形成关于最大公因数的完整认知地图；同时嵌入自我评价与同伴互评，培养学生反思的习惯，从“学会”走向“会学”。

1.知识图谱共创

教师以“最大公因数”为核心词，引导学生从“概念”“方法”“特例”“应用”四个维度进行发散。

概念：公因数、最大公因数、互质数。

方法：列举法、筛选法、分解质因数法、短除法（核心）。

特例：倍数关系→较小数；互质关系→1。

应用：铺地砖、裁纸张、截钢管、分物品。

教师将学生回答即时板画为思维导图，红色粉笔强调短除法与互质判断。

2.学习反思卡

学生在任务单背面完成自我评价：

我是否能用短除法快速求出两个数的最大公因数？【自评等级】

我是否理解了“互质”的真正含义？【自评等级】

我在小组讨论中是否积极发言？【自评等级】

3.同伴互评

每组推选一名“方法达人”和一名“进步之星”，并说明推荐理由。教师为获评学生颁发手绘数学徽章，营造欣赏同伴、共同成长的学习生态。

六、板书设计

（主板书左侧）

课题：最大公因数

16的因数：1、2、4、8、16