小学数学二年级下册“分物游戏”-探究余数与除数关系的教学设计

小学数学二年级下册“分物游戏”——探究余数与除数关系的教学设计

  一、指导思想与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心理念为根本遵循，强调课程内容的结构化整合，致力于在真实情境中发展学生的核心素养，特别是数感、运算能力、推理意识和模型意识。设计立足建构主义学习理论，认为知识不是被动接收的，而是学习者在与情境的交互中主动构建的。因此，教学过程设计为一系列富有挑战性和趣味性的“分物”探究活动，引导二年级学生从大量的平均分物操作中，通过观察、比较、归纳、概括，自主发现并理解“余数必须小于除数”这一数学规律。同时，借鉴游戏化学习理念，将抽象的数学关系融入“分物游戏”情境，激发低年级学生的内在学习动机，使数学学习过程成为一场充满思辨与发现的探索之旅，为学生后续学习有余数的除法竖式和更复杂的除法运算奠定坚实的逻辑基础和直观经验。

  二、教学内容与学情分析

  从数学知识体系的纵向发展来看，本节课“余数与除数的关系”是学生在初步理解了平均分、认识了余数概念之后，对除法运算规律的一次关键性深度探索。它既是前期“表内除法”与“有余数除法”概念的自然延伸，也是今后学习除法试商、理解带余除法乃至数论同余知识的逻辑基石。本课内容的核心在于引导学生超越对除法运算结果的个别关注，转向对除法算式中各数量间恒定关系的结构性把握，这是学生数学思维从具体运算阶段向更抽象逻辑阶段过渡的重要标志。

  对于二年级下学期的学生而言，他们的思维正处于具体形象思维向初步逻辑思维过渡的关键期。他们已熟练掌握表内乘除法，能够通过实物操作或画图解决简单的有余数除法问题，并能用“商……余……”的语言进行表述。然而，学生的认知往往还停留在对“余数”现象的表面认识，尚未自发地对“余数大小”与“除数”之间的关系进行系统化思考。他们的概括归纳能力正在发展，但需要教师提供结构化、序列化的操作材料和探究任务作为支撑。教学中的主要挑战在于，如何引导学生从大量、分散的操作结果中，发现并确信其中蕴含的普遍规律。因此，教学设计需创设安全、开放的探究氛围，提供足够丰富的操作感知机会，并设计层层递进的问题链，引导学生完成从“现象感知”到“规律猜想”，再到“验证确认”，最后“抽象表达与应用”的完整认知建构过程。

  三、学习目标与评价设计

  1.知识与技能目标：在解决具体“分物”问题的过程中，通过观察、比较、归纳一系列有余数除法的算式，理解并掌握“余数必须小于除数”的数学规律，并能够运用此规律判断有余数除法算式是否正确，或根据除数推测余数的可能情况。

  2.过程与方法目标：经历“动手操作——记录现象——观察比较——提出猜想——验证解释”的完整探究过程，积累从具体操作中抽象数学规律的活动经验，发展初步的归纳推理能力和模型意识。

  3.情感态度与价值观目标：在趣味性的分物游戏和合作探究中，感受数学探索的乐趣和规律本身的简洁与严谨之美，形成乐于探究、敢于表达、严谨求实的数学学习态度。

  为达成上述目标，采用“嵌入式”与“终结性”相结合的评价方式。过程性评价贯穿于探究活动的各个环节：通过观察学生在分组操作中的投入度、协作性和操作记录的规范性，评估其参与活动的态度与基本技能；通过倾听学生在小组讨论和全班分享中提出的问题、发现的规律和解释的理由，评估其思维的发展层次和语言表达能力。终结性评价设计为两个层次的练习：一是基础性判断与填空，用于评估所有学生对规律本身的记忆与简单应用；二是开放性、挑战性问题（如“一个数除以6，余数可能是哪些？最大是几？如果余数是7，可能吗？为什么？”），用于评估学生对于规律本质的理解深度和逆向思维能力。

  四、教学重难点分析

  教学重点：引导学生通过自主探究，发现并理解“余数必须小于除数”这一规律。此为重点，因为它是本节课的核心数学结论，是学生构建完整有余数除法认知结构的支柱。

  教学难点：一是学生从大量具体算式中自主归纳概括出普遍规律的过程；二是对“为什么余数必须比除数小”的道理的理解。此为难点，因为二年级学生的抽象概括能力尚在发展中，且“道理”的理解需要他们超越操作表象，触及平均分的本质——当余下的数量大于或等于除数时，意味着还可以继续分，这与“余数”是“不能再分”的部分相矛盾。突破这一难点，需要将操作、记录、观察、说理有机融合。

  五、教学准备

  1.教师准备：多媒体课件，包含情境动画、探究任务卡、记录表模板、核心问题提示等。准备磁性学具或贴图（如饼干、草莓、小汽车等），用于板书示范。

  2.学生分组准备（4人一组）：

  （1）实物学具袋：内含若干小棒（代表食品）、圆形塑料片（代表盘子）。

  （2）探究记录单：设有“分什么”、“总数”、“每份数”、“分的结果（算式）”等栏目。

  （3）小组讨论提示卡。

  六、教学实施过程

  （一）情境激趣，任务驱动——再现“分物”，引出冲突（预计时间：8分钟）

    师：（播放“快乐野餐”动画情境）同学们，欢迎继续参加我们的数学野餐会！瞧，小伙伴们遇到了新问题：有10块饼干，要平均分给几个朋友，会出现什么情况呢？我们一起来帮帮忙。首先，如果是平均分给2位朋友，怎么分？结果怎样？谁能用除法算式表示？

    生：10÷2=5，每人分得5块，正好分完。

    师：很好，这是我们已经学过的“正好分完”的情况。现在挑战升级！如果这10块饼干，要平均分给3位朋友呢？请大家用手中的小棒（代表饼干）和圆片（代表朋友）分一分，并把分的过程和结果在记录单上记下来。

    （学生分组操作，教师巡视，选取典型分法：每人分3块，还剩1块。）

    师：哪位同学来分享一下你们组是怎么分的？结果如何？

    生：我们是一根一根地分，先每人分1块，再每人分1块……最后每人分到了3块，还剩下1块不能再分了。

    师：表达得非常清晰。这种“分后有剩余”的情况，我们用怎样的除法算式来表示？

    生：10÷3=3……1。

    师：这个算式表示什么意思？

    生：表示把10块饼干平均分给3个人，每人分得3块，还剩下1块。

    师：这里的“1”我们给它起个名字叫——

    生：余数。

    师：回顾一下，在10÷3=3……1这个算式中，除数是几？余数是几？

    生：除数是3，余数是1。

    师：现在，老师想请大家思考一个更深层次的问题：同样是10块饼干，如果我们尝试平均分给不同数量的朋友，比如分给4个人、分给5个人、分给6个人……每次分完后的“余数”，和“除数”（也就是朋友的人数）之间，会不会藏着什么秘密呢？今天，我们就化身小小数学家，通过“分物游戏”来探究“余数”与“除数”之间到底有什么关系。

  （二）合作探究，发现规律——操作记录，观察归纳（预计时间：18分钟）

    师：接下来，我们进入“分物大发现”环节。每个小组会拿到一张探究任务卡。请根据任务卡上的要求，完成分物操作，并认真填写记录表。我们的任务是：用不同数量的小棒（代表物品总数），尝试按不同的每份数（即除数）去平均分，把每次分的结果用有余数的除法算式记录下来。比一比，哪个小组的记录既准确又完整，并且能从中发现最多的数学秘密。

    （教师下发探究任务卡，示例：第一组任务：用11根、12根、13根小棒，分别尝试每4根一份、每5根一份去分；第二组任务：用14根、15根、16根小棒，分别尝试每3根一份、每6根一份去分……任务设计确保除数从2到7，余数情况多样。学生以小组为单位，进行分工协作：有的操作，有的记录，有的监督核对。教师深入各组，倾听学生的想法，必要时用问题引导：“分完了吗？还能不能再分一份？”“看看你们的记录，余数总是在什么范围内变化？”）

    （大约10分钟后，各小组基本完成操作记录。）

    师：各个小组都完成了精彩的探索。现在，请把你们组记录的几个有余数的除法算式，挑选最有代表性的，写在这张大的展示板上。（教师在黑板或白板上划分区域，供各小组粘贴或书写算式。）

    （学生代表陆续上台板书，很快黑板上呈现出一系列有余数除法算式，例如：9÷4=2……1，11÷3=3……2，17÷5=3……2，13÷6=2……1，15÷4=3……3，19÷7=2……5，10÷4=2……2，14÷3=4……2等。）

    师：哇，我们共同创造了这么多算式，真是一个丰富的“算式宝库”！现在，请所有同学像数学家一样，静静地、仔细地观察这些算式。我们的思考任务是：聚焦于每个算式中的“除数”和“余数”，比较它们的大小，看看你能发现什么共同的规律？先独立思考一分钟，然后和小组伙伴交流你的发现。

    （学生陷入沉思，随后小组内响起热烈的讨论声。教师巡视，捕捉有价值的发现。）

    师：哪个小组愿意第一个分享你们的伟大发现？

    生1：我们组发现，所有的余数都比除数小。比如9÷4=2……1，除数是4，余数1比4小；17÷5=3……2，除数是5，余数2比5小。

    师：非常棒的发现！他们用了“所有的”这个词，这是基于对黑板上全部算式的观察得出的结论。其他组有补充或不同的发现吗？

    生2：我们组也发现余数比除数小。我们还发现，余数有时候是1，有时候是2、3、4、5……但最大好像只能比除数小1。比如除数是4，余数最大我们看到有3；除数是7，余数最大有5。

    师：了不起的深化！他们不仅看到了“小”，还开始关注余数可能的大小范围。也就是说，余数不仅比除数小，而且最小是1（当有余数时），最大不能超过除数减1。大家的发现汇总起来，指向了一个核心规律。谁能用一句完整的话，把我们发现的这个规律总结出来？

    生3：在有余数的除法里，余数一定要比除数小。

    师：总结得既简洁又准确！数学家们也是这样表述的。我们一起来读一读这个重要的发现：“在有余数的除法里，余数必须小于除数。”（教师板书核心结论，学生齐读。）

  （三）深化理解，阐释道理——追问本质，建构模型（预计时间：10分钟）

    师：规律我们已经发现了。但作为真正的数学家，我们不仅要“知其然”，还要“知其所以然”。现在，老师要追问一个最关键的问题：为什么在有余数的除法里，余数必须比除数小呢？你能结合刚才分东西的过程，或者画图，或者举例子，把其中的道理讲清楚吗？请小组再次讨论，准备你们的解释。

    （学生小组讨论，尝试从不同角度说理。教师请小组代表分享。）

    生4：我们组用分饼干来解释。比如10块饼干分给3个人，如果余数是4，那就比除数3还大了。这4块饼干，其实还能再每人分1块，因为4比3大，够分一次。那之前分的时候就没有分完，所以那个“余数4”是不对的，真正的余数应该是分到不能再分时剩下的，所以肯定比每份数（除数）小。

    师：太精彩了！他们抓住了平均分的本质——“不能再分”。如果余下的数大于或等于每份数，就意味着“还能再分”，那它就不是最终剩下的“余数”了。所以，余数天生就注定了要比每份数（除数）小。谁能举个反例，如果余数等于除数会怎样？

    生5：比如10÷3，如果商2余4，余数4等于除数3还多1。但10-3×2=4，这4里面其实还包含了一个3，所以实际上每人应该分得3块，余1块。算式应该是10÷3=3……1。

    师：通过正反例子的对比，我们对规律的理解就更深刻了。这个规律也可以帮助我们检查除法算得对不对。如果算出来的余数比除数大或者等于除数，说明我们的计算过程一定出错了，需要重新检查。这个规律就像是除法算式里的一个“质量检测员”。

  （四）分层应用，拓展升华——巩固规律，发展思维（预计时间：12分钟）

    师：掌握了这个强大的规律，现在让我们来闯关挑战，看看谁用得最棒！

    第一关：火眼金睛判对错（基础应用）。

    （课件出示：判断下面各题商和余数写得对不对？为什么？

    ①28÷5=4……8（）②33÷7=4……5（）

    ③20÷6=2……8（）④45÷9=4……9（））

    学生独立判断并说明理由，重点依据“余数小于除数”的规律进行判断。

    第二关：巧思妙想填一填（规律逆用与开放性思考）。

    （课件出示：

    ①□÷6=△……☆，在这道有余数的除法算式中，☆可能是（）。最大是（），最小是（）。

    ②一个数除以8，商是5，余数有可能是几？写出所有可能的情况。

    ③想一想：在算式□÷□=4……6中，除数最小是几？为什么？）

    此关是思维的提升。第①题引导学生从固定除数出发，推理余数的所有可能性集合，理解余数的取值范围。第②题是具体应用。第③题则是逆向思维，根据余数推断除数的最小可能值（余数是6，根据规律除数必须大于6，所以最小是7），这为今后学习除法算式中各部分间的关系埋下伏笔。学生先独立思考尝试，再小组交流，最后全班分享，教师重点引导学生说清推理过程。

    第三关：联系生活解问题（综合应用）。

    （课件出示情境图及问题：班级采购了23本精美的绘本，要平均分给4个“图书角”进行漂流阅读。每个图书角能分到几本？还剩几本？如果剩下的绘本还想尽可能平均地分下去，最多还能再分给几个图书角？每个图书角还能再分到几本？）

    此题在解决常规有余数除法问题（23÷4=5……3）的基础上，增加了“剩下的如何再分”的环节，引导学生思考余数的实际意义，并灵活运用规律。剩下的3本，无法让每个图书角再分到1本（因为3<4），但可以分给其中3个图书角。这体现了数学规律在解决复杂实际问题时的指导作用，也渗透了优化的思想。

  （五）回顾反思，总结延伸——梳理历程，展望未来（预计时间：2分钟）

    师：快乐的数学探索之旅即将结束。回顾这节课，我们经历了怎样一个学习过程？你最大的收获是什么？还有什么疑问？

    生6：我们先是分东西，然后记算式，接着看算式找规律，发现了“余数比除数小”，还讨论了为什么。

    生7：我的收获是知道了余数不能比除数大，也不能相等，一定要小。这样我检查除法时就多了一个方法。

    生8：我在想，如果没有余数呢？比如正好分完，那余数是0，0比除数小吗？这个规律还成立吗？

    师：太棒了！同学们不仅总结了过程，分享了收获，还提出了一个极具价值的深度问题——余数为0时，0小于除数吗？这个规律是否依然适用？（稍作停顿，引发思考）是的，0小于任何不是0的除数，所以“余数必须小于除数”这个规律，实际上涵盖了“有余数”和“没有余数”两种情况。当余数是0时，就是整除，可以看作有余数除法的一种特殊情况。看，我们的思考在向更深处蔓延。

    师：今天，我们通过动手、动脑、动口，发现了除法王国里一个至关重要的秘密。这个规律将像一位忠实的朋友，陪伴我们学习今后更复杂的除法计算，去解决更多生活中的数学问题。课后，同学们可以尝试用今天发现的规律，去编几道有余数的除法题目考考你的家人和朋友，并当个小老师给他们讲讲其中的道理。

  七、板书设计（纲要）

  板书采用图文结合、动态生成的方式，左侧呈现情境关键词与核心问题，中间区域为学生探究成果展示区（粘贴或书写学生生成的典型算式），右侧提炼核心规律与道理阐释。

    分物游戏——探究余数与除数的关系

    操作→记录→观察→发现

    学生探究成果展示区（例）：

    10÷3=3……1

    11÷4=2……3

    17÷5=3……2

    13÷6=2……1

    ……

    我们的伟大发现：

    在有余数的除法里，

    余数必须小于除数。

    为什么？

    余数≥除数→还能再分一份！

    余数<除数→不能再分。

  八、作业设计

  1.基础巩固作业：完成教材配套练习中关于余数与除数关系的判断、填空类题目。要求独立完成，并用红笔圈出应用了“余数小于除数”规律的题目。

  2.探究实践作业（二选一）：

    选项A（数学日记）：以“我发现了除法的小秘密”为题，写一篇简短的数学日记。记录你今天是怎么发现“余数小于除数”这个规律的，并举例说明它有什么用。

    选项B（小小出题官）：利用“余数必须小于除数”的规律，设计3道有趣的有余数除法题目。其中要包含一道“陷阱题”（比如余数等于或大于除数），并准备好它的正确答案和解析，明天和同学交换挑战。

  3.阅读拓展作业（选做）：推荐阅读数学绘本《猫鼠大战之奶酪争夺战》或《数学真美妙》中关于“有余数的除法”章节，看看书中是如何讲述这个规律的，有没有新的启发。

  九、教学反思与特色说明（预设）

  本教学设计力求体现当前小学数学教育的先进理念与实践导向，具有以下特色：

  其一，强调素养导向的真实学习。以“野餐分物”这一真实、有趣的情境贯穿始终，将抽象的数学规律探究融入解决实际问题的需求中，使数学学习具有了现实的意义和情感的温度，有效培养了学生的数感、应用意识和创新意识。

  其二，突出学生主体的深度探究。整个教学过程的中