青岛版初中数学七年级下册“因式分解（第一课时）-提公因式法”教学设计

青岛版初中数学七年级下册“因式分解（第一课时）——提公因式法”教学设计

一、课标要求与内容分析

  本课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域，具体对应“代数式”主题下的“整式与分式”部分。课标明确要求：“掌握用提公因式法进行因式分解。”因式分解是整式乘法的逆运算，是连接“数”的运算与“式”的变形的重要桥梁，更是后续学习分式运算、一元二次方程、二次函数等知识的基石。从数学思想方法层面看，因式分解是“化归”思想的集中体现，即将一个多项式化为几个整式乘积的形式，通过结构变换实现问题的简化。本课时作为因式分解的起始课和核心方法课，重点在于引导学生理解因式分解的概念本质，并熟练掌握提公因式法这一基本技能。在青岛版教材的编排体系中，此内容安排在整式乘法学习之后，遵循了“互逆运算”的认知逻辑，为学生构建完整的代数运算体系提供了关键一环。理解并掌握提公因式法，不仅关乎技能习得，更深层次地是培养学生观察结构、寻找共性、逆向思维的数学能力。

二、学情分析

  从认知基础看，七年级下学期的学生已经熟练掌握了有理数的四则运算、整数指数幂的运算性质，并系统地学习了整式的概念及整式的乘法运算（包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）。这为理解因式分解是乘法的逆运算奠定了坚实的知识基础。同时，学生在小学阶段对“因数分解”已有接触（如将12分解为3×4），这为从“数”的分解类比迁移到“式”的分解提供了认知锚点。

  从思维特点看，此阶段学生的抽象逻辑思维正处于由具体形象思维向经验型抽象思维过渡的关键期。他们能够处理具有明确步骤和规则的问题，但对于逆向思维、结构分析等高阶思维活动仍存在一定困难。具体到本课，学生可能出现的认知障碍包括：第一，难以清晰辨析“因式分解”与“整式乘法”这对互逆过程的区别与联系，在变形过程中容易出现方向性混淆；第二，在寻找多项式各项的公因式时，容易遗漏数字系数或因式的指数，尤其是当公因式是多项式时，辨识难度更大；第三，提取公因式后，对于括号内剩余项的确定，特别是当某项与公因式完全相同时，容易出错（导致括号内出现“1”而非“0”）。

  从学习心理看，学生对新鲜的概念和方法怀有好奇心，但同时也可能因“逆运算”的思维挑战而产生畏难情绪。因此，教学设计需精心搭建认知阶梯，通过具体、直观的实例对比，激活学生已有经验，在探究活动中逐步建构新知识，从而化解思维难点，增强学习信心。

三、教学目标

  基于以上分析，确立本课时的三维教学目标如下：

1.知识与技能目标：

  （1）能准确叙述因式分解的概念，并能举例说明因式分解与整式乘法的互逆关系。

  （2）能理解公因式（包括系数、相同字母及其最低次幂）的概念，并能准确、迅速地找出多项式各项的公因式。

  （3）能够熟练运用提公因式法将多项式（主要为二项式、三项式）进行因式分解，做到步骤规范、结果彻底。

2.过程与方法目标：

  （1）经历从具体数字分解到代数式分解的类比过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。

  （2）通过观察、比较、归纳多项式的结构特征，经历提取公因式的探究过程，发展观察能力、分析能力和归纳概括能力。

  （3）在运用提公因式法解决问题的过程中，体会“化归”思想，即将复杂多项式转化为简单整式乘积的形式。

3.情感、态度与价值观目标：

  （1）在探索因式分解概念和方法的过程中，体验数学知识之间的内在联系（互逆、转化），感受数学的逻辑之美与简洁之美。

  （2）通过解决具有实际背景或探索性的问题，体会因式分解的工具价值，增强学习数学的兴趣和应用意识。

  （3）在小组合作与交流中，养成乐于探究、敢于质疑、严谨求实的科学态度。

四、教学重难点

教学重点：因式分解的概念；提公因式法的原理与步骤。

  确立依据：概念是方法的基石，提公因式法是最基本、最常用的因式分解方法，掌握其原理和规范性操作是后续学习其他分解方法的前提，也是达成技能目标的核心。

教学难点：

  （1）对因式分解概念本质（特别是与整式乘法的区别联系）的理解。

  （2）准确识别多项式中的公因式，尤其是当公因式为多项式或系数为分数、负数时的情形。

  （3）提取公因式后，确保括号内的多项式化简到最简形式（即不再含有公因式）。

  确立依据：概念的逆向性对学生思维提出挑战；公因式的识别需要综合考察系数、字母、指数等多重因素，对学生的观察力和分析力要求较高；过程的完整性是检验是否“分解彻底”的关键，学生易在此处疏忽。

五、教学准备

  1.教师准备：精心设计的多媒体课件（包含动画演示、对比表格、阶梯式练习题组）；实物投影仪或智能教学一体机；设计并印制“探究学习任务单”；准备若干套用于课堂小组活动的代数卡片（写有不同单项式）。

  2.学生准备：复习整式乘法的相关公式与法则；准备课堂练习本、文具。

六、教学过程

（一）创设情境，温故孕新（预计时间：8分钟）

  师生活动：教师首先呈现两个问题情境。

  情境一（数的分解）：学校要在一块长为12米，宽为8米的长方形空地上划分出面积相等的若干个小正方形花圃，若要求小正方形的边长为整数米，请问可以划出边长最大为多少米的正方形花圃？如何思考？

  引导学生回顾“最大公约数”的概念，即求12和8的最大公约数4。这个过程实质上是将12和8中共有的“因数”提取出来：12=4×3，8=4×2。这里，4就是公因数。

  情境二（式的运算）：计算下列各式：

  （1）m(a+b+c)=?（2）(x+2)(x-2)=?（3）(a+b)²=?

  学生快速口答，教师板书结果：ma+mb+mc；x²-4；a²+2ab+b²。

  教师提问：以上运算是什么运算？（整式乘法）它们的结果都是多项式。

  接着，教师抛出核心问题：“数学家总是喜欢思考逆向问题。既然我们知道m(a+b+c)等于ma+mb+mc，那么反过来，如果给你一个多项式ma+mb+mc，你能把它‘变’回m(a+b+c)这种乘积形式吗？这种‘反向变形’在数学上有什么意义和价值呢？”

  设计意图：通过“数的分解”这一学生熟悉的认知起点进行类比，自然引出“式的分解”思想。通过回顾整式乘法，并明确提出其逆向问题，制造认知冲突，激发学生的求知欲。同时，将因式分解的初步应用价值（如解决最大公因数问题在几何中的体现）隐含其中，为后续学习埋下伏笔。

（二）活动探究，建构概念（预计时间：15分钟）

  1.概念初探：

  教师引导学生尝试对情境二中的乘法结果进行“逆向变形”：

  （1）ma+mb+mc=m(?)

  （2）x²-4=(?)(?)（联系平方差公式）

  （3）a²+2ab+b²=(?)²（联系完全平方公式）

  学生通过观察和逆向思考，不难完成填空。教师板书变形过程。

  接着，教师给出定义：像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。

  教师强调定义中的关键词：“一个多项式”、“几个整式”、“积的形式”。并举例说明不是因式分解的情况，如：x²+2x+1=x(x+2)+1，等号右边不是积的形式；a²-b²+1在当前知识范围内无法化为整式积。

  2.关系辨析（突破难点1）：

  教师组织学生开展小组讨论：比较以下两列式子，说明左右两边的变形分别是什么运算？它们之间有什么关系？

  左边（乘法运算）：m(a+b+c)=ma+mb+mc；(x+2)(x-2)=x²-4

  右边（分解运算）：ma+mb+mc=m(a+b+c)；x²-4=(x+2)(x-2)

  学生讨论后，师生共同总结：

  （1）左边是整式乘法，运算方向是“积→和差”；右边是因式分解，运算方向是“和差→积”。

  （2）整式乘法与因式分解是方向相反的恒等变形，是互逆过程。

  教师用图示法（可动画演示）强化理解：两者类似于“组装”与“拆卸”的关系。并指出，我们可以用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确（将分解得到的整式乘回去，看是否等于原多项式）。

  3.方法聚焦——认识“公因式”：

  教师回到式子ma+mb+mc=m(a+b+c)。提问：在这个等式中，从左到右的变形关键是什么？（把多项式各项中都含有的相同因式m提出来）

  教师给出“公因式”定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

  探究活动：请找出多项式6x³y²-9x²y³+3x²y²各项的公因式。

  教师引导学生从三个维度进行分析：

  （1）系数：各项系数分别是6，-9，3，它们的最大公约数是3。

  （2）字母：各项都含有字母x和y。

  （3）指数：对于相同字母x，各项的指数分别是3，2，2，取其最低次幂：x²。对于相同字母y，各项的指数分别是2，3，2，取其最低次幂：y²。

  因此，这个多项式的公因式是3x²y²。

  教师归纳确定公因式的“三步法”：一看系数（取最大公约数），二看字母（取相同字母），三看指数（取相同字母的最低次幂）。

  设计意图：概念建构遵循“实例感知→定义明晰→关系辨析”的认知路径。通过对比强烈的实例，引导学生自主发现互逆关系，深刻理解概念本质。对“公因式”的探究，采用具体例子进行解剖式分析，归纳出可操作的“三步法”，为下一步学习提公因式法提供清晰的“工具箱”。

（三）典例精析，掌握方法（预计时间：20分钟）

  本环节是教学的核心技能传授环节，旨在通过层层递进的例题，引导学生掌握提公因式法的规范步骤，并学会处理各种难点情况。

  例1（基础型）：分解因式：（1）8a³b²-12ab³c；（2）-4x²+12xy。

  教师板书第（1）题完整过程，并同步讲解步骤：

  第一步：找公因式。

   系数：8和12的最大公约数是4。

   字母：各项都含有a和b。

   指数：a的指数最低为1，b的指数最低为2。

   故公因式为：4ab²。

  第二步：提公因式。用原多项式除以公因式，得到商式。

   第一项8a³b²÷4ab²=2a²

   第二项-12ab³c÷4ab²=-3bc

   因此：8a³b²-12ab³c=4ab²(2a²-3bc)

  第三步：检验。用整式乘法验证：4ab²(2a²-3bc)=8a³b²-12ab³c。正确。

  归纳步骤口诀：“一找、二提、三检验”。

  学生独立完成第（2）题。教师巡视，点拨可能出现的问题：公因式系数为负时如何处理？引导学生观察，当首项系数为负时，通常将负号一并提出，使括号内首项系数为正。板书：-4x²+12xy=-4x(x-3y)。

  例2（公因式为多项式型，突破难点2）：分解因式：（1）2a(b+c)-3(b+c)；（2）6(x-2)+x(2-x)。

  分析：第（1）题中，(b+c)作为一个整体，是两项共同的因式。教师引导学生将(b+c)看作一个“大字母”，比如M，那么原式变为2aM-3M，公因式显然是M，即(b+c)。板书：原式=(b+c)(2a-3)。

  第（2）题更具挑战性。学生容易发现两项没有明显公因式。教师启发：观察(x-2)和(2-x)有什么关系？引导学生发现2-x=-(x-2)。利用这个关系，可以将原式变形为：6(x-2)-x(x-2)。此时公因式(x-2)显现。板书：原式=(x-2)(6-x)。进一步强调，当多项式各项表面没有公因式时，要善于观察项与项之间的关系，通过符号变换（提取负号）创造公因式。

  例3（分解彻底与隐含公因式，突破难点3）：分解因式：4x²y-8xy²+2xy。

  学生尝试后，教师展示典型错误：2xy(2x-4y)。提问：这个结果正确吗？（乘法检验正确）但是否最好？引导学生观察括号内的多项式2x-4y，是否还有公因式？（有，公因式2）这意味着提取的公因式不彻底。正确的做法是：先找到各项系数的最大公约数2，相同字母x、y的最低次幂都是1，故公因式应为2xy。原式=2xy(2x-4y+1)。再观察括号内2x-4y仍可提出2，但此时括号内还有常数项1，已无法再提。因此，确保“分解彻底”的关键在于第一次找公因式时就要找到“最大公因式”。

  设计意图：通过三个典型例题的梯度设计，覆盖了提公因式法的基本技能、常见变式和易错点。教师采用“示范讲解→学生模仿→难点剖析→总结归纳”的教学流程，在关键步骤上放慢节奏，深度讲解，使学生不仅“会做”，更“懂理”。特别针对难点2和难点3设计了专项例题，通过启发式提问和错误分析，引导学生突破思维定式，掌握处理复杂情况的策略。

（四）变式演练，巩固内化（预计时间：15分钟）

  本环节设计三个层次的练习，采用“独立思考→小组互评→全班讲评”相结合的方式。

  A组（巩固基础）：

  1.找出下列各多项式的公因式：（口答）

   (1)4x+8y(2)6m²n-9mn²(3)15a²b³c-25ab²c²

  2.分解因式：

   (1)3x²-6xy(2)-5a²+25a(3)8m²n+2mn

   (4)12xyz-9x²y²(5)p(a²+b²)-q(a²+b²)(6)3a(x-y)-(x-y)

  B组（能力提升）：

  3.分解因式：

   (1)2(a-3)²-a+3（提示：将-a+3变形为-(a-3)）

   (2)x(a-b)+y(b-a)（提示：b-a=-(a-b)）

   (3)6(x-y)³-3y(y-x)²（提示：(y-x)²=(x-y)²）

  4.先分解因式，再求值：已知a+b=5,ab=3，求a²b+ab²的值。

  C组（思维拓展）：

  5.证明：对于任意整数n，(n+2)²-n²能被4整除。（提示：先分解因式）

  6.如图（课件展示），某公园有一块长为a米，宽为b米的长方形草坪。现计划在草坪上修建两条等宽的十字形人行道，人行道宽度为x米。试用因式分解的方法表示出剩余草坪的面积，并说明其几何意义。

  练习组织：A组题全班快速完成并核对，确保全体掌握基本步骤。B组题由学生独立完成，随后小组内交换批改，讨论不同解法，教师巡视并收集共性疑问进行集中点拨。C组题作为弹性任务，鼓励学有余力的学生挑战，第5题将因式分解与数论初步结合，第6题融入几何背景，体现跨学科联系和数学建模思想，教师可适时提示或请完成的学生上台讲解。

  设计意图：分层练习满足了不同层次学生的学习需求，确保基础扎实，兼顾能力提升。A组题强化基本技能和规范；B组题聚焦难点变式，提升分析转化能力；C组题拓展思维深度和广度，体现数学的应用价值和内在魅力。小组互评环节促进了生生互动，培养了合作与评价能力。

（五）课堂小结，反思升华（预计时间：7分钟）

  教师不以罗列知识点的方式总结，而是设计系列反思性问题，引导学生自主梳理：

  1.今天我们在代数世界中学习了一种新的变形，它叫什么？它与我们之前学过的什么运算关系密切？

  2.我们学习的第一种因式分解方法是什么？它的核心步骤是什么？能简述“找公因式”的要领吗？

  3.在运用提公因式法时，有哪些需要我们特别留意的“陷阱”或技巧？（如：首项负号、公因式为多项式、分解要彻底等）

  4.通过今天的学习，你对“互逆”、“化归”这些数学思想方法有什么新的体会？

  学生自由发言，教师适时补充和完善，最终形成结构化的知识脉络图（板书或课件展示）：

  中心：因式分解（定义：多项式→整式积）

  分支一：与整式乘法的关系（互逆变形，检验依据）

  分支二：提公因式法

    1.依据：乘法分配律的逆用。

    2.关键：确定公因式（系数最大公约数，相同字母最低次幂）。

    3.步骤：一找、二提、三检验。

    4.注意：首项负号先提；公因式可能是多项式；分解要彻底。

  分支三：思想方法：类比（数→式）、逆向思维、化归思想。

  设计意图：通过问题链引导学生进行反思性小结，将零散的知识点串联成网，并上升到思想方法的高度。结构化的板书有助于学生在头脑中构建清晰、稳固的认知图式。这种小结方式远比教师单方面复述更有效，更能促进学生的元认知发展。

（六）分层作业，延伸学习

  必做题（面向全体）：

  1.课本对应章节的课后练习（基础题）。

  2.完成学习任务单上的“达标检测”部分（5道标准题）。

  选做题（面向学有余力者）：

  3.探究：为什么我们说“因式分解”必须在指定的数系范围内进行？尝试在有理数范围内分解x²-2，在实数范围内分解x²-2，体会“范围”的重要性。

  4.实践应用：查阅资料，了解因式分解在简化密码学中的某些运算或图形图像处理中的初步应用，写一份简短的阅读笔记。

  设计意图：作业设计体现分层与开放性。必做题巩固课堂所学，确保基本教学目标达成。选做题第3题旨在渗透数学的严谨性，为后续学习实数、二次根式埋下伏笔；第4题旨在拓展学生视野，感受数学的广泛应用，激发持续探索的兴趣。

七、板书设计

（左侧主板）

课题：因式分解——提公因式法

一、概念

  1.定义：多项式→几个整式的积

  2.与整式乘法的关系：互逆变形

    整式乘法：积→和/差

    因式分解：和/差→积（检验方法）

二、提公因式法

  1.公因式：各项都含有的公共因式。

    确定方法：系数（最大公约数）

       字母（相同字母）