小学数学三年级下册第一单元除法难点突破与体系建构教案

小学数学三年级下册第一单元除法难点突破与体系建构教案

一、教学背景与目标设定

（一）教学内容解析

本单元“除法”是北师大版小学数学三年级下册的开篇内容，是在学生已经掌握了表内除法、有余数的除法以及两位数乘一位数的基础上进行教学的。本单元的核心内容是两、三位数除以一位数的除法，它将为学生后续学习除数是两位数的除法、除数是多位数的除法以及分数的基本性质奠定坚实的基础。本单元不仅关注计算技能的掌握，更强调对除法意义、算理的理解以及在实际情境中的灵活运用。从知识体系上看，本单元是学生从简单计算向复杂计算、从具体运算向抽象运算过渡的关键节点，对于培养学生的数感、运算能力和初步的逻辑推理能力具有至关重要的作用。

（二）学情特点分析

三年级学生正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。他们已经具备了一定的生活经验和知识基础，能够理解“平均分”的概念，并能进行简单的除法计算。然而，面对本单元中出现的两位数除以一位数（首位不能整除）、商中间或末尾有0的除法以及三位数除以一位数（首位不够除）等新情况时，学生的认知冲突会集中爆发。常见的思维障碍点包括：对“分步计算”过程中每一步的算理理解不清，无法将分物过程与竖式书写格式对应起来；在处理有余数除法时，对余数必须小于除数的理解不够深刻；在解决实际问题时，难以准确提取信息、建立正确的除法模型。因此，本单元的教学必须立足于学生的“最近发展区”，通过直观操作、多元表征和对比辨析，帮助学生跨越认知障碍，构建清晰的除法知识体系。

（三）核心素养导向

本单元的教学设计旨在落实《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养要求：

1.数感与运算能力：通过理解算理、掌握算法，形成规范、熟练的除法运算能力，并能根据数据特点选择合理的估算与精算策略。

2.推理意识：在探索算法、理解算理的过程中，经历从具体到抽象、从特殊到一般的推理过程，能够有条理地表达自己的思考过程。

3.模型意识：能从现实情境中发现并提出与除法相关的数学问题，建立除法模型，并运用模型解释现实生活中的简单现象，解决简单问题。

4.应用意识：体会除法在日常生活和生产实践中的广泛应用，培养用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界的能力。

二、难点体系全景透视与认知障碍分析

（一）【基础】除法竖式的规范书写与意义建构

学生首次接触除法竖式，其书写格式（被除数在内，除数在外，商在上）与加、减、乘的竖式完全不同，容易混淆。更深层次的障碍在于理解竖式中每一步所代表的实际意义，特别是“分、乘、减、落”四个步骤与分物过程的对应关系。如果不能建立这种对应，竖式就沦为了机械的符号游戏。

（二）【非常重要】【难点】两位数除以一位数（首位不能整除）的算理与算法

例如“48÷3”，十位上的4除以3，商1余1。这里的“余1”表示1个十，需要与个位上的8合并成18个一，再继续除。学生理解的难点在于：为什么要“落下”个位上的数？这个“1”和“8”是如何结合在一起的？为什么十位上的“1”和个位上的“8”组合起来是18？这背后是位值原则在除法运算中的深刻体现，是构建多位数除法算法的基石。

（三）【重要】【高频考点】商中间或末尾有0的除法

例如“306÷3”或“840÷6”。当被除数的某一位上不够商1时，必须商0占位。学生极易犯的错误是：1.忘记商0，导致商少一位，结果错误（如将306÷3算成12）；2.商0后，不知道接下来的计算步骤如何处理，如306÷3，百位整除后，十位上是0，除以3得0，这个0必须要写在商的十位上，然后用0×3=0，0减0得0，再将个位6落下来继续除。学生常常省略这关键的一步。3.对于末尾有0的情况，如840÷6，个位上0除以6得0，这个0同样不能省略。

（四）【重要】【难点】三位数除以一位数（首位不够除）的试商策略

例如“256÷6”。被除数百位上的“2”比除数“6”小，不够商1，这时需要看前两位“25”，用25个十除以6。这是除法计算的一次认知飞跃，意味着商的位数发生了变化（从三位数变为两位数）。学生需要理解为什么商的最高位要从十位开始，以及如何确定商的首位位置。

（五）【热点】【难点】估算与精算的协同运用

在实际问题中，先估一估商是几位数或大约是多少，有助于学生检验精算结果的合理性。但学生往往缺乏主动估算的意识，或者估算方法不当（如机械地四舍五入，不考虑除法的实际意义）。将估算与精算有机结合，形成“先估后算，以估验算”的良好习惯，是本单元需要着力培养的重要能力。

（六）【高频考点】“进一法”与“去尾法”在解决问题中的灵活选择

在处理如“有56个苹果，每5个装一盒，至少需要几个盒子？”（进一法）和“有50元，每8元买一个文具盒，最多能买几个？”（去尾法）这类实际问题时，学生常常受计算结果的影响，直接写出商的整数部分，而忽略了对生活实际意义的考量。这不仅是计算问题，更是对问题情境的深度理解问题，是模型意识的具体体现。

三、难点突破教学实施过程

本部分将按照知识进阶的逻辑，分课时详细阐述突破上述难点的具体教学策略与实施流程。教学过程中，始终贯穿“操作感知—表象过渡—抽象符号”的认知规律。

（一）课时一：除法竖式的“前世今生”——分物过程与竖式书写的完美对应

1.创设情境，激活经验：

呈现“分苹果”情境：有48个苹果，平均分给2个人，每人分得多少个？引导学生用学具（小棒，4捆（每捆10根）和8根）进行实际分物操作。学生很容易先分整捆的（4捆平均分给2人，每人得2捆，即20个），再分单根的（8根平均分给2人，每人得4根），合起来是24个。此时，教师引导学生用口算记录分的过程：40÷2=20，8÷2=4，20+4=24。

2.认知冲突，引入竖式：

教师提问：如果我们遇到更大的数，或者更复杂的平均分，口算记录起来可能不太方便。数学家们发明了一种更简洁的记录方式，叫做除法竖式。我们来看看，它能不能把我们刚才分物的过程清晰地记录下来。

3.操作与符号的深度勾连：【基础】【非常重要】

教师边操作小棒，边在黑板上逐步板书竖式：

（1）写竖式：先写被除数48，再在左边写除数2。问：这个竖式就像是我们分物的“记录员”，它准备记录我们分48的过程。

（2）分整捆（十位）：我们先分4捆。4捆平均分给2人，每人得2捆。这个“2”表示2个十，所以要写在商的十位上。教师板书商2。

（3）算分了多少：每人得2捆，2人一共分掉了多少捆？2×2=4（捆）。这个“4”要写在被除数的十位下面，表示分掉了4个十。教师板书4。

（4）检查剩余：4捆分掉了4捆，还剩多少？4-4=0。这里的0可以暂时不写，但我们心里明白，整捆的分完了。教师板书减法。

（5）分单根（个位）：整捆分完了，我们接下来分什么？对了，把个位上的8根落下来。这个“落”的动作，在竖式中就是把个位上的8写下来。教师用箭头或语言强调“落”的过程。

（6）分单根：8根平均分给2人，每人得4根，这个“4”表示4个一，要写在商的个位上。教师板书商4。

（7）再算分了多少：每人得4根，2人一共分掉了8根。4×2=8，写在被除数个位的下面。

（8）检查最终剩余：8-8=0，全部分完。

4.回顾反思，提炼模型：

引导学生回顾整个竖式计算过程，对应分物步骤，总结出除法竖式的核心四步：商（想商几）、乘（商乘除数）、减（被除数减乘积）、落（落下下一位）。让学生在自己的本子上，一边说过程，一边写竖式，实现内化。强调：每一次“落”都是为了把剩下的部分和低一位的数合并，继续分。

（二）课时二：攻克首位不能除——两位数除以一位数的算理深究

1.情境升级，引发新问题：

呈现“分橘子”情境：有48个橘子，平均分给3个人，每人分得多少个？学生用小棒操作时发现：4捆小棒（40根）平均分给3个人，每人只能分到1捆（10根），还剩下1捆（10根）。这剩下的1捆怎么办？

2.动手操作，突破难点：【非常重要】【难点】

（1）分整捆：4捆平均分给3人，每人1捆（10个），分掉了3捆，还剩1捆。这个过程对应竖式：十位上商1，1×3=3，4-3=1。这个“1”是1个十。

（2）关键步骤——拆捆合并：剩下的1捆（10个）不能直接分了，必须拆开，和个位的8个合并成18个一。这是理解算理的核心！教师在竖式中指着这个“1”，问学生：这个剩下的1个十，我们把它怎么办？然后，将个位上的8落下来，写在1的旁边，形成18。

（3）继续分个位：18个一平均分给3人，每人得6个一（6根）。竖式中，个位上商6，6×3=18，18-18=0。

3.多元表征，深化理解：

让学生不借助小棒，用画图的方式（画圆圈，10个一圈）来模拟分48÷3的过程。通过画图，再次强化“剩下的1个十要拆开与个位合并”这一关键步骤。教师组织学生比较：48÷2和48÷3的计算过程有什么不同？为什么48÷2十位能直接整除，而48÷3不能？通过对比，凸显“首位不能除”时，需要“拆捆”合并的本质。

4.变式练习，巩固算法：

呈现如57÷3，75÷5，84÷6等题目。要求学生先口述分物过程，再用竖式计算，并相互检查竖式中“落”的环节是否正确，特别是剩余的数与被落下的数组合后是否构成新的被除数。

（三）课时三：聚焦“0”的智慧——商中间或末尾有0的除法

1.情境导入，初步感知：

情境一（商中间有0）：故事书共306页，笑笑计划3天看完，平均每天看多少页？学生列出算式306÷3。

情境二（商末尾有0）：学校用840元买了6个同样的篮球，每个篮球多少元？学生列出算式840÷6。

2.探究商中间有0的除法：【重要】【高频考点】

（1）估算与预判：先让学生估算306÷3的商大约是多少？因为300÷3=100，所以商应该在100左右，是一个三位数。

（2）尝试计算，暴露错误：让学生尝试用竖式计算。教师巡视，收集典型错误：一种是将36÷3=12，忘记中间的0，得到12；另一种是不知道十位上的0怎么处理。

（3）辨析明理：展示两种不同的竖式写法。引导学生思考：百位上的3除以3得1，分掉了3个百，没有剩余。接下来我们要分十位。十位上是0，0除以3得多少？根据除法意义，把0个十平均分成3份，每份还是0个十，所以商的十位上应该商0。这个0能不能不写？如果不写，商就变成了两位数“1□”，和我们的估算结果100相差甚远，所以必须写0占位。

（4）规范写法：教师示范规范竖式。强调：十位上0除以3得0，在商的十位上写0。然后进行“乘”的步骤：0×3=0，写在被除数十位0的下面。接着“减”：0-0=0（这个0可以省略不写，但心里清楚十位分完了）。最后把个位的6落下来，继续除，个位商2。最终得到102。

（5）口诀强化：中间有0别忘写，商0占位是关键，乘减步骤不能少，落下一位继续算。

3.探究商末尾有0的除法：【重要】【高频考点】

（1）估算与预判：估算840÷6，800÷6≈133，所以商是三位数，末尾可能有0。

（2）自主探究，聚焦末尾：学生尝试计算840÷6。学生可能遇到的问题是：百位8÷6商1余2，和十位4组成24÷6商4，个位上0落下来，0÷6=0，这个0要不要写？

（3）深入辨析：组织学生讨论，个位上0÷6得0，在商的个位写0，然后0×6=0，0-0=0。如果省略个位上的0，商就变成了14，而14×6=84，与原题840相差甚远。所以，为了确保商的位数正确，这个0必须写。同时，也要指出，当除到被除数的某一位上正好除尽，而下一位是0时，可以直接在这一位的商上写0，然后结束计算。

（4）对比总结：比较306÷3和840÷6，一个是商中间有0，一个是商末尾有0。它们的共同点都是因为某一位上“0除以任何非0数都得0”，所以必须商0占位。不同点是，中间有0时，还要把下一位落下来继续除；末尾有0时，除到个位是0，就直接在个位商0，计算结束。

4.专项练习，强化认知：

设计一组对比练习，如：404÷4、480÷4、408÷4，让学生在计算中深刻体会0在不同位置的处理方法，区分“商中间有0”和“商末尾有0”的不同情形。

（四）课时四：挑战“首位不够除”——三位数除以一位数的试商策略

1.创设情境，制造冲突：

学校组织三年级256名学生去参观科技馆，每6人坐一辆电瓶车，一共需要多少辆电瓶车？学生列出算式256÷6。

2.估算铺垫，定位商位：【重要】【难点】

（1）首次估算：引导学生估算。200÷6≈33，300÷6=50，所以商在33到50之间，是一个两位数。这就意味着，商的最高位不再是百位，而是十位。

（2）验证估算：为什么商的最高位在十位？因为被除数百位上的“2”比除数“6”小，表示2个百除以6，不够商1个百，所以不能从百位开始除。

3.直观操作，理解算理：

（1）用方块图或计数器演示：2个百平均分给6个人，不够分。这时我们需要把2个百拆成20个十，和十位上的5个十合并成25个十。

（2）分十位：25个十平均分给6人，每人最多得4个十（因为4×6=24，5×6=30太大了）。所以商的首位是4，写在十位上。4×6=24，表示分掉了24个十，还剩1个十（25-24=1）。

（3）分个位：剩下的1个十是10个一，和个位的6个一合并成16个一。16个一平均分给6人，每人得2个一，写在个位上。2×6=12，16-12=4。结果是42余4。

4.提炼方法，形成策略：

引导学生总结三位数除以一位数的试商策略：先看被除数的首位，如果首位比除数大或相等，商就是三位数，从百位除起；如果首位比除数小，就看前两位，商就是两位数，商的最高位写在十位上。在试商时，可以用乘法口诀，找到与当前被除数最接近且不大于它的积。

5.对比练习，深化认知：

呈现一组题：256÷2（首位够除）、256÷4（首位够除）、256÷6（首位不够除）。让学生先判断商是几位数，再计算。通过对比，强化“首位定商位”的意识。

（五）课时五：估算与精算的协奏——培养灵活的运算能力

1.情境导入，体会估算价值：

问题：李老师带了245元钱，想为班级购买单价8元的笔记本，最多能买多少本？你是先精算还是先估算？引导学生体会，在解决实际问题时，有时不需要精确结果，估算就能帮我们做出判断。有时先估算，可以帮我们检验精算结果是否合理。

2.学习估算方法：【热点】【难点】

（1）凑整估算：将三位数看成接近的整百数或几百几十数。如245÷8，可以把245看成240，240÷8=30，所以大约能买30本。也可以看成250，250÷8≈31，两种估算都合理。

（2）根据乘法口诀估算：想几乘8最接近245，8×30=240，8×31=248，所以商大约是30。

（3）首位估算：只看被除数的前两位24，24÷8=3，说明商大约是30多。

3.精算验证，策略结合：

对245÷8进行精算，得到30余5。将精算结果与估算结果对比，发现都在30左右，说明精算基本正确。同时，估算也帮助我们在计算前就大致知道了商的范围。

4.解决实际问题，灵活选择：

呈现一组实际问题，让学生先判断是需要精算还是估算，再进行计算。

（1）小明每分钟走68米，从家到学校需要走7分钟，他家到学校大约有多远？（估算，把68看成70）

（2）学校买来252本故事书，平均分给6个年级，每个年级分得多少本？（精算，需要准确值）

（3）三年级有178人参加春游，每辆车限乘9人，大约需要租多少辆车？（估算，并用进一法调整）

在解决第（3）题时，自然引出下一个难点——“进一法”和“去尾法”。

（六）课时六：解决生活中的除法问题——“进一法”与“去尾法”的智慧

1.问题对比，引发思辨：【高频考点】

问题A：有50个苹果，每8个装一盒，可以装满几个盒子？

问题B：有50个苹果，每8个装一盒，至少需要几个盒子才能全部装完？

让学生分别计算50÷8=6（个）……2（个）。

2.辨析两种方法：

（1）对于问题A，剩下的2个苹果不够装满一盒了，所以答案是“6盒”，用的是“去尾法”，只取了商的整数部分。

（2）对于问题B，这剩下的2个苹果也需要一个盒子来装，所以答案是“6+1=7盒”，用的是“进一法”，无论余数是多少，都要在商的基础上加1。

3.情境拓展，深入理解：

呈现更多情境，让学生判断是“进一”还是“去尾”：

（1）用布料做衣服，每套衣服用布3米，30米布最多能做几套？（去尾法，剩下的布不够做一套）

（2）有25吨货物，用载重4吨的卡车运送，需要几次才能运完？（进一法，最后一次运的货物少于4吨，但也需要一次）

（3）用彩带扎花，每束花需要5分米彩带，现有43分米彩带，最多能扎几束？（去尾法）

组织学生讨论：为什么同样是除法，有的要“进一”，有的要“去尾”？根本原因在于问题的实际情境和要求。我们要根据“全部装完”、“够做一套”、“需要几次”等关键词来做出判断。

4.综合应用，提升能力：

设计一道综合题：“三（1）班有45名同学去划船，每条船限乘4人。（1）至少需要租几条船？（2）如果每条船的租金是8元，他们带了100元钱，够付租金吗？”此题需要分步解决，第一步用进一法，第二步用乘法计算后比较，综合考查学生分析问题和解决问题的能力。

四、思维体系建构与知识网络

（一）除法知识树

引导学生以思维导图或知识树的形式，梳理本单元的知识结构：

1.根：除法的意义——平均分。

2.干：计算方法——从高位除起，一位不够看两位，除到哪位商哪位，余数要比除数小。

3.枝：

（1）除数是一位数的除法：两、三位数除以一位数。

（2）特殊情况：商中间有0、商末尾有0。

（3）试商方法：首位试商、乘法口诀试商、估算试商。

4.叶：每一步的具体操作——商、乘、减、落。

5.果：实际应用——解决问题，选择“进一法”或“去尾法”。

（二）易错点与对策图谱

1.竖式书写不规范（数位不对齐）：对策——使用方格纸或活页本，强调相同数位对齐。

2.忘记商0占位：对策——计算前先估算商的位数，计算后检查商是否与估算一致；牢记“0除以任何非0数都得0”。

3.余数比除数大：对策——每次除完后，检查余数，如果余数大于或等于除数，说明商小了，需要调大。

4.落数时遗漏：对策——强化“落”的动作，将每一步剩余的数与下一位对齐后，用箭头连接，表示合并。

5.实际问题中单位名称写错：对策——分清商和余数分别表示什么，单位名称各是什么。

五、教学效果评估与反馈

（一）过程性评价

在教学过程中，通过课堂观察、即时提问、小组合作展示等方式，关注学生的参与度、思维过程和交流质量。重点关注学生是否能用自己的语言解释算理，能否在小组中清晰地表达自己的计算步骤，能否对他人的计算方法提出质疑或建议。

（二）阶段性评价（典型题型设计）

1.【基础】计算小能手：

列竖式计算并验算。

84÷4=96÷8=505÷5=750÷6=428÷4=

（设计意图：全面考查竖式计算的基础技能，涵盖首位整除、不整除、商中间有0、商末尾有0、三位数除以一位数等各类题型。）

2.【重要】辨析小法官：

下面的计算对吗？把不对的改正过来。

（呈现典型错例，如：）

（设计意图：通过找错、改错，让学生在辨析中加深对正确算法的理解和记忆，变式考查知识的掌握程度