初中数学练习题09解答24题二次函数综合题（解析版）

2/2试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题09解答24题二次函数综合题1．（2025·上海·二模）小佟同学在一个早晨拿出无人机（有前置摄像头）和可以录像的平板电脑，观测天空上的彩虹．他用平板电脑监控彩虹的影像，并且在数学软件中，选取地面上一点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系．变量的单位均为千米．使用的无人机他发现天空上某一道彩虹对应解析式，于是标记左端点为点，右端点为点．(1)求第一道彩虹的表达式和其对称轴．(2)小佟突然观测到第一条彩虹在湖面上的投影，投影可由原彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，且在第一道彩虹上，右端点为点．一道太阳光射过来，小佟决定借此机会拍一张光效照片．他把无人机（看做一点）驾驶到某一处，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，呈现出五彩斑斓的效果．①若无人机在原点处，试用表示；②若无人机在原彩虹的对称轴上，求时彩虹投影对应的抛物线解析式．【答案】(1)，对称轴为直线(2)①；②【分析】（1）运用待定系数法可得解析式，将一般式化为顶点式可得对称轴；（2）①根据题意设，可得直线，由点在直线上，得到，即可求解；②求出第一条彩虹的解析式为：，对称轴为直线，得到投影的解析式为：，，求出，，证明出，得到，代数求出，得到，，进而求解即可．【详解】（1）解：将点分别代入中，当时，，当时，，解得，，，，对称轴为直线；（2）解：①∵投影可由第一条彩虹向右平移千米，向上平移千米得到，投影左端点为点，右端点为点，太阳光穿过点和点，落在前置摄像头上，∴设，设直线，∵，，解得∴直线，∵点在直线上，，∴；②第一条彩虹的解析式为：，∴对称轴为直线，∴投影的解析式为：，把无人机（看做一点），无人机在原彩虹的对称轴上，∴，在直线上取点，作直线，令直线平行于轴，过点作于，∴，∵∴∵平行于，∴∴，即∴∴，∴∴投影的解析式为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求解抛物线的解析式，抛物线的平移，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．2．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点．(1)求直线的解析式以及点的坐标；(2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为．①求顶点的坐标；②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标．【答案】(1)(2)①；②存在，【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏．（1）依题设点，代入，得，则，即可求解；（2）①由待定系数法的即可求解；②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可．【详解】（1）解：依题设点，代入，得，∴，直线上有且只有一个倒数点，，解得，，．直线的解析式是：，由，得，；（2）解：①抛物线经过点，，且，，解方程组得：，抛物线的表达式为：，，顶点．②是抛物线上的点，设，若是以为直角边的直角三角形，只有两种情况：或，法1：（i）当时，过点作直线轴，于，于，，，可得，，，，即，整理得，或（舍去），．（ii）当时，同理可得，，或（舍去），．综上所述：．法2：，，，（i）当时，，∴，解得：或，，；（ii）当时，，∴，解得：或，，．综上所述：．3．（2025·上海静安·二模）已知抛物线，的顶点分别为、，且它们都经过轴上的点．(1)如果抛物线经过点，抛物线经过点，求这两个抛物线的表达式；(2)已知，求的值；(3)当时，能否确定系数、、的值？如果能，请求出相应的值；如果不能，请简要说明理由．【答案】(1)，(2)(3)，m、n的值不能确定，理由见解析【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，利用数形结合的思想求解是解题的关键．（1）先求出两个抛物线与y轴的交点坐标，进而得到，再利用待定系数法求解即可；（2）先求出，，再过点B作轴于D，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，则，据此求解即可；（3）求出，则可得到轴，设与y轴交于D，可证明，则可得到，据此可求出a的值，而m、n的值为任意实数，据此可得答案．【详解】（1）解：在中，当时，，在中，当时，，∵两个抛物线都经过轴上的点，∴，∵抛物线经过点，∴，∴，∵抛物线经过点，∴，∴，∴两个抛物线的解析式分别为，；（2）解：∵，∴，在中，当时，，∴，如图所示，过点B作轴于D，连接，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴或（舍去）；（3）解：，m、n的值不能确定，理由如下：∵，∴，由（1）得，由（2）得，∴点A与点B的纵坐标相同，∴轴，设与y轴交于D，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（舍去）；∵当时，都能满足，∴m、n为任意实数，∴m、n的值不能确定．4．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴相交于、两点，且点在点左侧，与轴交于点，顶点为点．(1)求线段的长；(2)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后得到抛物线，抛物线的顶点为点．如果点、、在同一直线上，求抛物线的表达式；(3)当四边形的面积为时，若点是轴上一点（点不与点重合），且△与△相似，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．（1）令，则或1，即可求解；（2）求出，，平移后的点，再运用待定系数法求出直线表达式为．把点代入直线表达式，求出，即可求解；（3）点P不与点B重合且与相似，则存在，即，即可求解．【详解】（1）解：令，即，∵，∴，解得：，，由于点在点左侧，可得，，从而：．（2）解：由，可得：，平移后的点，设直线AD表达式：，把A、D坐标代入，解得∴直线表达式为．当点、、在同一直线时，把点代入直线表达式，解得：．∴抛物线的表达式：．（3）解：设直线的表达式为，把点、代入得，，解得，∴直线的表达式为：，又点，作轴交于点H，则，则四边形的面积，则，则抛物线的表达式为：；则点、，则，∵点P不与点B重合且与相似，则存在，即，即，则，∴,∴点．5．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．(1)求抛物线的表达式；(2)将该抛物线沿射线方向平移，点A、B的对应点分别是点，且的面积比的面积大3．①求新抛物线的对称轴方程；

②P是新抛物线上一点，如果，求点P的坐标．【答案】(1)(2)①对称轴方程是；②点P的坐标是【分析】（1）先求出，根据，得出，把，代入求出a的值，即可得出解析式；（2）①先求出，则，进而得出边上的高是5，设，求出直线的解析式为，把代入得，则可知抛物线先向右平移了5个单位，又向上平移了5个单位，即可解答；②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P，使得，易证，过点P作x轴的垂线，与、x轴分别交于点E、F，得出，设，则，，根据在中，，求出a的值，即可解答．【详解】（1）解：由，可得，又，则，把，代入得，

所以，抛物线的表达式是．（2）解：①由，可得抛物线的对称轴方程是，，由，，，可得，则，根据题意，设边上的高是h，∴，解得，设，设直线的解析式为，将，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，把代入得，解得：，则，由，，可知抛物线先向右平移了5个单位，又向上平移了5个单位，则，所以，新抛物线的表达式是，∴对称轴方程是．②在位于直线上方的新抛物线的图像上取一点P，使得，在中，，则，根据题意可得，则，∴，即，过点P作x轴的垂线，与、x轴分别交于点E、F，∵，，∴，设，则，，在中，，解得，所以，点P的坐标是．【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，二次函数的平移规律，解直角三角形．6．（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E．(1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标；(2)联结，如果平分，求a的值；(3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由．【答案】(1)直线，(2)(3)直线恒过定点．【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．（1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再求出函数值为0时自变量的值即可求出A、B的坐标；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，则，再根据题意可得点C和点E关于抛物线的对称轴对称，则；求出点C坐标，进而表示出，根据建立方程求解即可；（3）根据图形面积之间的关系可得，则，求出D、E坐标，进而得到直线解析式为，则直线解析式为，进一步求出，同理可得直线解析式为，据此可得答案．【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，∴对称轴为直线，当时，解得或，∴；（2）解：∵平分，∴，∵轴，∴，∴，∴，∵轴，且C、E都在抛物线上，∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称，∴；在中，当时，，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴或（舍去）；（3）解：∵，∴，∴，∴，在中，当时，，∴，由对称性可知，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，∴可设直线解析式为，把代入中得：，解得，∴直线解析式为，联立解得或，∴，同理可得直线解析式为，在中，当时，，∴直线恒过定点．7．（2025·上海黄浦·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴正半轴交于点，顶点为．(1)如果，求抛物线的表达式；(2)用含的代数式表示点的坐标；(3)联结、，直线交轴于点，如果，求抛物线的表达式．【答案】(1)；(2)顶点的坐标为；(3)．【分析】（1）先求得点坐标为，再利用待定系数法求解即可；（2）将代入求得，得到，配方得到顶点的坐标为；（3）先求得点的坐标为，根据题意求得，根据对称轴为直线，求得点坐标为，点坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式，根据点在直线上，代入计算即可求解．【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于，，且点在点右侧，∴点坐标为，把，代入抛物线得，即．∴抛物线表达式为；（2）解：将代入得，，解得，∴，∴顶点的坐标为；（3）解：由（2），令，则，∴点的坐标为，∵，，∴，由（2）得顶点的坐标为，对称轴为直线，∴，∴，∴点坐标为，∴点坐标为，设直线的解析式为，将代入得，解得，∴直线的解析式为，∵点在直线上，∴，整理得，解得（舍去）或，∴抛物线的表达式为，即．【点睛】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数的图象性质以及等腰三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．8．（2025·上海金山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，已知抛物线（为常数），抛物线与轴的两个交点为点、点（其中点在点左侧），顶点为．(1)若抛物线经过点，求抛物线的表达式；(2)求证：的面积是一个定值，并求出这个值；(3)已知点，抛物线的顶点恰好落在的平分线上，点在抛物线上，若四边形为梯形，求点的坐标．【答案】(1)(2)1(3)或【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．（1）由待定系数法即可求解；（2）由的面积公式，即可求解；（3）当时，由点的坐标得，直线表达式中的值为1，则直线的表达式为：，当时，同理可得，直线的表达式为：，分别味立和抛物线的表达式得：或，即可求解．【详解】（1）解：将点的坐标代入一次函数表达式得：，则，即点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，则，则抛物线的表达式为：；（2）证明：设点的横坐标分别为，令，则为上述方程的两个根，则，则点，则，则，则的面积为定值；（3）解：如图，∵恰好落在的平分线上，则，∵点的纵坐标相同，则，则，则，则，即，解得：（不合题意的值已舍去），则抛物线的表达式为：，则点的坐标分别为：；四边形为梯形，当时，设直线表达式为，由点的坐标得，解得：，直线表达式为，设直线的表达式为：，代入，得：，解得：，则直线的表达式为：，当时，设直线表达式为，由点的坐标得，解得：，直线表达式为，设直线的表达式为：，代入，得：，解得：，则直线的表达式为：，分别联立和抛物线的表达式得：或，解得：或（不合题意的值已舍去），即点或．9．（2025·上海虹口·二模）如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点．(1)求直线的表达式，并用含的代数式表示该抛物线的对称轴；(2)已知直线与抛物线交于点，与直线交于点，如果且，求抛物线的表达式；(3)已知抛物线的对称轴为直线，点在抛物线上且位于第一象限，连接、，线段与轴相交于点，点在线段上，连接，如果，且，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)点不存在【分析】（1）先求得，进而待定系数法得出直线解析式为，将代入得：得出，进而根据抛物线对称轴公式，即可求解；（2）由（1）抛物线解析式为，得出，进而求得得出，可得解方程得出点的值，即可求解．（3）过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，则为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，根据得出，进而得出，证明，得出是等腰直角三角形，根据得出，进而求得，最后判断得出不在线段上，故点不存在．【详解】（1）解：在中，令得，，设直线解析式为把，代入得：，解得直线解析式为，把代入得：，解得，抛物线的对称轴为直线（2）由（1）知，抛物线解析式为，，，解得，令得，，在中，令得，，，，解得舍去或，抛物线的表达式为；（3）过作轴交轴于，过作轴交轴于，交于，如图：抛物线对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，令得，解得或，，，为等腰直角三角形，，为等腰直角三角形，设，则，∴，即，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，即，．，是等腰直角三角形，轴，则不在线段上，故点不存在．【点睛】本题考查二次函数综合应用，相似三角形判定与性质，待定系数法，等腰直角三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形和全等三角形解决问题．10．（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离；(3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标．【答案】(1)；(2)点D到的距离为；(3)，．【分析】（1）先求出A和B坐标，再代入抛物线求解即可；（2）利用矩形对角线相等求出，所以，再求出C点坐标，进而利用的面积建立方程求解即可；（3）先求出直线的解析式，再设出P和Q坐标，利用两点距离公式表示出，建立方程求解即可．【详解】（1）解：将代入得，，将代入得，，∴，，将A、B代入抛物线得，，解得，∴抛物线表达式为；（2）解：如图，∵，，∴中点坐标为，被y轴平分，∴为对角线，∴，∴，由可知，当时，，∴，∴，，设点D到的距离为h，则，∴，即点D到的距离为；（3）解：∵直线与x轴交于点E，∴当时，，即，设直线的表达式为，∴，解得，∴直线的表达式为，设，，且，∵，∴，整理得，∴，∵，∴，即，∵，∴，即，将代入上式得，∴，∴，．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．11．（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与y轴交于点B．(1)如果抛物线经过点，且不经过第二象限，求抛物线的表达式；(2)如果抛物线与坐标轴共有两个公共点，且在y轴右侧是下降的，求m的值；(3)点A在第一象限，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，将抛物线沿着射线方向平移，点A、B、C的对应点分别为点、、，线段与线段交于点D，如果，，求点A的坐标．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）运用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论，一种是经过原点与x轴另一交点，一种是抛物线与轴只有1个交点，与y轴一个交点，根据根的判别式以及在y轴右侧是下降的进行求解即可；（3）记原抛物线对称轴与的交点为，平移后抛物线对称轴与的交点为，先求出顶点，，，由平移的性质可得，那么，则，，再由列式计算即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，∴将代入得：，整理得：，解得：或，∵抛物线不经过第二象限，∴，∴抛物线的表达式为：；（2）解：∵，且抛物线在y轴右侧是下降的，∴对称轴，令，则①当抛物线经过原点时，，∴，解得：或（舍）；②当抛物线与轴只有1个交点，与y轴一个交点，则，∴，解得：，综上所述：m的值为或；（3）解：记原抛物线对称轴与的交点为，平移后抛物线对称轴与的交点为，∵，∴顶点，当，，∴∵点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，∴，∵将抛物线沿着射线方向平移，点A、B、C的对应点分别为点、、，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍），∴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，解直角三角形，平移的性质，相似三角形的判定与性质，综合性强，难度较大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质与性质以及综合运用各知识点进行求解．12．（2025·上海青浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，抛物线：经过两点，顶点为点，对称轴是直线．(1)求抛物线的表达式；(2)点在第二象限，且在抛物线的对称轴上，如果，求点的坐标；(3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后，抛物线上的点落在点处，，，求平移后的抛物线的表达式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）由一次函数解析式得，，再根据待定系数法解答即可求解；（）由二次函数解析式得顶点的坐标是，在对称轴上取点，对称轴与轴的交点记为点，可得，，即得，过点作，垂足为点，则，由锐角三角函数得，设，则，由可得，即得到，，即得，即可求解；（）由，得点在射线上，且点的纵坐标与点相同，为，即可得点的横坐标为，得到点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，据此得到点的坐标，即可求解．【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点，∴，，又∵对称轴是直线，∴，解得，∴的表达式为；（2）解：∵抛物线的对称轴是直线，当时，，∴顶点的坐标是，在对称轴上取点，对称轴与轴的交点记为点，在中，∵，，∴，，∵，∴，∵点在轴的下方，∴点在线段上，∴，过点作，垂足为点，则，∵，∴，设，则，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴点的坐标为；（3）解：∵，，∴点在射线上，且点的纵坐标与点相同，为，将代入直线，得，解得，∴点的横坐标为，∴点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，∴点向左平移个单位，再向下平移得到点，∴点的坐标，∴平移后的抛物线解析式为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，二次函数的平移等，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键．13．（2025·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，（点在点的右侧）与轴正半轴交于点，顶点为．

(1)求的长；(2)当时，求抛物线的表达式；(3)将该抛物线平移，新抛物线的顶点落在轴上，与原抛物线交于点，如果点与点关于原点对称，且，求△的面积．【答案】(1)(2)(3)8【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键，（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，从而得到点，再利用点、的坐标得，进而求得的长；（2）根据点、的坐标得直线的表达式为：，由于，可得直线的表达式为：，则点，代入点，求得，进而得到抛物线的表达式；（3）由于点与点关于原点对称，可得点，则新抛物线的表达式为：，联立两个抛物线的表达式得点点，由点、的坐标得，该直线表达式函数值中的，而直线的表达式为：，再根据，可求得，进而求得△的面积．【详解】（1）解：∵，∴对称轴为直线，当时，，∴点，∵点，∴，∴；（2）解：∵点、，设直线的表达式为：，∴解得：，∴直线的表达式为：，，∴直线的表达式为：，∴点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，∴（舍去）或，∴抛物线的表达式为：；（3）解：∵点与点关于原点对称，∴点，

∴新抛物线的表达式为：，∴整理得：，解得：，∴点，设直线的表达式为：，解得：，∴直线的表达式为：，∵直线的表达式为：，且，∴，∴，∴△的面积．14．（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线．(1)如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值．(2)如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点．①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标．②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，即可求解；（2）①由点的坐标得，直线的表达式为，可得，四边形是矩形，由解得，进而可得，，由于是的中点，从而求出点坐标；②抛物线为“优雅”抛物线，求出，由于，可得，结合，求出，联立与，求得坐标，进而求出的解析式．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，即，；（2）解：①如图：由（1）知，点，设，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，②，，，，，，，，，解方程组，得，，将代入得：，解得，【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、图象的平移、一次函数的图象和性质、平行四边形的性质等，利用新定义确定函数表达式是解题的关键.15．（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中（如图），顶点为的抛物线经过原点，直线交y轴于点B．(1)求抛物线的表达式；(2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，使得新抛物线的顶点D恰好落在抛物线上．抛物线的对称轴交直线于点E．连接．①连接，当线段的中垂线经过点A时，求的值；②线段交抛物线的对称轴于点F，当与相似时，求代数式的值．【答案】(1)(2)①；②216【分析】（1）设抛物线的表达式为，然后把代入求解即可；（2）①根据平移求出，代入并化简得，根据线段垂直平分线的性质得出，由两点间距离公式求出，联立方程组并化简得，解方程求出n的值，最后根据正弦的定义求解即可；②过D作于E，则，则，，，，由题知：，则，根据等角的正切值相等可得出，则，结合①中，可得，然后化简即可．【详解】（1）解：已知抛物线顶点为，设抛物线的表达式为，因为抛物线经过原点，，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：①抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后新抛物线顶点，因为D在上，把D坐标代入，得，∴，∵直线：交y轴于点B，∴，又，，∴，，，∵线段的中垂线经过点A，∴，∴，∴，∴（负值舍去），∴；②抛物线对称轴为，设，由，，过D作于E，则∴，，，，由题知：，∴，∴，∴，∴，∴，由①知：，∴，化简，得，又∴．【点睛】是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是解题的关键．16．（2025·上海奉贤·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，抛物线顶点在第一象限且在直线上．(1)求抛物线的表达式；(2)向上平移直线，交抛物线于两点(在左侧），当时，求点坐标；(3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，顶点为，如果，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）把代入函数解析式得，即得，得到，再把点坐标代入一次函数解析式求出的值即可求解；（）延长交轴于点，过点作轴于，过点作轴平行线，过点作于，可证，可得，，设，得，再把点坐标代入二次函数解析式求出的值即可求解；（）求出平移前抛物线顶点坐标为，可得平移后的抛物线顶点，由对称性可知，即得，再证明，得，即得，得到，再把点坐标代入