人教A版（2019）数学选修性必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）8（含解析）

人教A版（2019）数学选修性必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）8一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）已知点P(-1,1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为-2A.y=-2x+1 B.y=-2.（5分）已知函数f(x)=(x-a)(xA.-1 B.2 C.-33.（5分）函数y=f'(x)的图象如图所示，则关于函数A.函数y=f(x)有3个极值点

B.函数y=f(x)在区间(-∞,-4)上是增加的4.（5分）已知数列{an}首项a1=2，且当n∈N*时满足an+1-aA.916 B.58 C.35.（5分）设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=1-A.22(e-1) B.6.（5分）已知曲线f(x)=x3+ax2+A.-2 B.1 C.-27.（5分）等差数列{an}中，已知A.16                              B.20                              C.248.（5分）已知数列{an}满足an>0，其前n项和Sn=an2+2an-34A.-∞,121 B.-二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）已知曲线y=x3-3x2-A.-18 B.-14 C.-10.（5分）定义在[-1,5]上的函数f(x)的导函数f'(xx-0245f13132

A.函数f(x)在(0,2)和(4,5)上单调递减

B.函数f(x)在[-1,5]的最小值为1

C.函数f(x)的极大值点的个数为211.（5分）已知函数f(x)=ex-A.若f(x)有3个零点，则a的范围为(e24,+∞)

B.a=e2时，x=1是f(x12.（5分）设定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=x2，且当x⩽0A.12 B.e2 C.e13.（5分）设函数f(xA.当m<0时，f(x)<-1

B.当m<0时，f(x)有两个极值点

C.当0<m<1时，f(三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知函数f(x)=x-1-lnx，对定义域内的任意x15.（5分）设f(x)=x16.（5分）函数f(x)=(x+2019)⋅17.（5分）已知{an}为等差数列，若a2=2a18.（5分）已知数列{bn}是首项为-34，公差为1的等差数列，数列{an}满足a四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知函数f(x)=(x-1)2+a(lnx-x+1)(a>0)． 20.（12分）设函数f(x)=ax-2-lnx(a∈R)． 

(1)若f(x)在点(e,f(e))处的切线为21.（12分）已知{anright}是一个公差大于0的等差数列，且满足a(Ⅰ)求数列{a(Ⅱ)若数列{bn}满足：b1222.（12分）已知公差不为0的等差数列{an}，满足：(1)求数列{an}的通项公式及其前n(2)令bn=1an2-23.（12分）已知函数f(x)=ax+x+(a-1)lnx+15a，其中a<0，且a≠-1 

(Ⅰ)讨论函数f(x)

答案和解析1.【答案】B;【解析】解：∵kPQ当Δx→0时的极限为-2， 

∴点P处的切线的斜率为-2， 

∴在点P处的切线的方程为y-1=-2(x+1)， 

即y=-2x-1， 

故选：B2.【答案】B;【解析】解：f(x)=(x-a)(x-b)ex=(x2-ax-bx+ab)ex， 

所以f'(x)=(2x-a-b)ex+(x2-ax-bx+ab)ex=ex[x2+(2-a-b)x+ab-a-b]， 

因为函数f(x)=(x-a)(x-b)ex在x=a处取极小值， 

所以f'(a)=ca[a2+(2-a3.【答案】C;【解析】解：结合导数与函数单调性的关系可知，当x<-5时，f'(x)>0，函数单调递增， 

当-5<x<-2时，f'(x)<0，函数单调递减，当x>-2时，f'(x)>0，函数单调递增， 

故当x=-5时，函数取得极大值，当x=-2时，函数取得极小值4.【答案】D;【解析】解：由题意可得，an=2+2(n-1)=2n， 

所以ΔABC的三边长分别为a4=8，a5=10，a6=12， 

故最大角的余弦值cosα5.【答案】D;【解析】解：如图， 

因为y=ex的反函数是y=lnx，两个函数的图象关于直线y=x对称， 

所以曲线y=ex上的点P到直线y=x的距离等于在曲线y=lnx上的对称点P'到直线y=x的距离． 

设函数f(x)=lnx-1+1x， 

f'(x)=1x-1x2=x-1x2， 

当0<x<1时，f'(x)<0，当x>1时，f'(x)>0， 

所以函数f(x)在(0,+∞)上有最小值f(1)=0， 

所以f(x)⩾0在(0,+∞)上恒成立， 

则当x>0时，除(1,0)点外，函数y=lnx的图象恒在y=1-1x的上方，在(1,0)处两曲线相切． 

求曲线y=ex上的点P与曲线y=1-1x上的点Q的距离的最小值，可看作是求曲线y=lnx上的点P'与Q点到直线6.【答案】A;【解析】解：因为f'(x)=3x2+2ax+b， 

由题意有{f'(1)=3+2a+b=3f'(23)=3×(23)2+2×23a+b=0， 

解得{a=2b=-47.【答案】C;【解析】 

此题主要考查了等差数列的性质，在等差数列中，若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq，是基础题． 

直接利用等差数列的性质得答案． 

解：∵数列{a8.【答案】A;【解析】 

此题主要考查数列的函数特征、数列的递推关系、等差数列的通项公式以及裂项相消法

，属于难题； 

由4Sn=an2+2an-3①，4Sn-1=an-12+2an-1-3②由①-②可得an-an-1=2.即{an}是以 

a1=3为首项，2为公差的等差数列，an=2n+1，利用裂项相消法可得T2n=14(13-14n+3). 

由T2n>λn得λ<n4(13-14n+3)=n23(4n+3)，再由数列的函数特征即可求解； 

解：由Sn=an2+2an-34⇒4Sn9.【答案】CD;【解析】 

此题主要考查了导数的几何意义，属于容易题目. 

由y'=3x2-6x-9=3(x-1)2-12⩾-12结合导数的几何意义可得答案. 10.【答案】ABC;【解析】解：根据导函数图象可以看出在(0,2)和(4,5)上f'(x)<0， 

所以f(x)在(0,2)和(4,5)上单调递减，A正确； 

在(-1,0)和(2,4)上f'(x)>0，所以f(x)在(-1,0)和(2,4)上单调递增， 

结合f(-1)=f(2)=1<f(5)，可知f(x)在[-1,5]的最小值为1，B正确； 

函数f(x)的极大值点为0与4，即极大值点的个数为2，C正确； 

若方程f(x)=a有11.【答案】AC;【解析】 

此题主要考查了导数的综合运用，涉及导数中的零点，极值点，不等式恒成立问题，考查了综合分析能力，属于难题. 

根据f(x)有3个零点，等价于直线y=a与g(x)=exx2有三个交点，结合导数求出g(x)单调性和极值即可判断A；根据a=e2，运用导数判断此时函数f(x)单调性，即可判断B；当a=12时，运用导数判断此时f(x)单调性，然后结合零点存在性定理判断即可判断C；根据a=1时，f(-1)<0，即可判断D. 

解：对于A，若f(x)=ex-ax2有3个零点， 

当x=0时，f(0)=e0-0=1，不是f(x)零点， 

当x≠0时，则x2>0，则题设等价于直线y=a与g(x)=exx2有三个交点， 

由g(x)=exx2，则g'(x)=exx2-2xexx4=xex(x-2)x4， 

当x<0或x>2时，g'(x)>0，此时g(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增； 

当0<x<2时，g'(x)<0，此时g(x)在(0,2)上单调递减， 

则g(x)在x=2处取得极小值，即g(x)极小=g(2)=e24， 

g(x)大致图象如下： 

结合图象可得a>e24，故A正确； 

对于B，若a=e2，f(x)=ex-e2x2，则f12.【答案】BCD;【解析】 

此题主要考查导数在研究函数的单调性及函数零点存在问题中的应用，属于难题. 

令函数h(x)=f(x)-12x2，h(x)在R上单调递减，得h(x)⩾h(1-x)，得A={x|x⩽12}，故函数g(x)在(-∞,12]上单调递减，由选项知，a>0，取x=-ae<12，又因为g(-ae)=e-ae-e.-ae-a=e-ae>0，要使g(x)在x∈(-∞,12]上存在零点，只需使g(12)=e-12e-a⩽0，即可求解. 

解：令函数h(x)=f(x)-12x2， 

因为f(-x)+f(x)=x2 

则h(x13.【答案】ACD;【解析】解：函数f(x)=(1+1m)lnx-x+1mx(m≠0)，定义域为(0,+∞)， 

则f'(x)=1+1mx-1-1mx2=-(mx-1)(x-1)mx2， 

当m<0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， 

所以f(x)max=f(1)=-1+1m<-1， 

故选项A正确； 

当x=1时，函数f(x)取得极大值，无极小值， 

所以f(x)只有一个极值点， 

故选项B错误； 

当0<m<1时，f(x)在(1,1m)上单调递增，在(1m,+∞)上单调递减， 

所以f(x)在(1,+∞)上不单调， 

故选项C正确； 

当m>1时，f(x)在(0,1m)上单调递减，在(1m,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， 

且f(1)=-1+1m<-1，lim x→+∞f(x)→-∞， 

因为函数g(x)=f(x)+2恰有两个零点， 

即方程f(x)=-2恰有两个解， 

即f(1 14.【答案】（-∞，1-1e【解析】解：∵f(x)=x-1-lnx⩾kx-2，∴kx⩽x+1-lnx，x>0，也即k⩽1+1x-lnxx在x>0时恒成立． 

令g(x)=1+1-lnxx，x>0，则g'(x)=lnx-2x215.【答案】（0，43）【解析】解：∵f(x)=x2(2-x)=-x3+2x2 

∴f'(x)=-3x2+4x 

令f'(16.【答案】2020x-y-2020=0;【解析】解：f'(x)=lnx+(x+2019).1x， 

所以k=f'(1)=2020，f(1)=0， 

所求切线为：y=2020x-2020． 

17.【答案】-4;【解析】解：方法一：∵{an}为等差数列，a2=2a3+1，a4=2a3+7， 

∴a1+d=2(a1+2d)+1a1+3d=2(a1+2d)+7， 

解得a1=-10，d=3， 

∴a3=a1+2d=-10+6=-418.【答案】12【解析】解：根据题意，数列{bn}是首项为-34，公差为1的等差数列， 

则bn=(-34)+1×(n-1)=n-35， 

b37=37-35=2， 

对于数列{an}满足an+1-an=2n(n∈N*)，a1=b37=2， 

则有an=(an-an-119.【答案】解：(1)函数的定义域为(0,+∞)， 

由f(x)=(x-1)2+a(lnx-x+1)， 

得f'(x)=2(x-1)+a(1x-1)=2(x-1)+a(1-xx) 

=2(x-1)-a(x-1)x=(2x-a)(x-1)x， 

令f'(x)=0，得x=a2或x=1． 

当0<a<2时，由f'(x)>0，得0<x<a2或x>1，由f'(x)<0，得a2<x<1， 

∴函数f(x)在区间(0,a2)，(1,+∞)上单调递增，在区间(a2,1)上单调递减； 

当a=2时，f'(x)⩾0在(0,+∞)恒成立，则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； 

当a>2时，由f'(x)>0，得0<x<1或x>a2，由f'(x)<0【解析】【试题解析】 

该题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题． 

(1)求出原函数的导函数，得到导函数的零点，然后对a分类求解函数的单调区间； 

(2)不等式xf'(x)⩾x-1xlnx在(1,+∞)上恒成立，可化为a⩽2x20.【答案】解：（1）∵f（x）=ax-2-lnx（a∈R），∴f'(x)=a-1x=ax-1x， 

又f（x）在点（e，f（e））的切线的斜率为1e，∴f'(e)=ae-1e=1e，∴a=2e， 

∴切点为（e，-1）把切点代入切线方程得：b=-2e； 

（2）由（1）知：f'(x)=a-1x=ax-1x(x＞0) 

①当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立， 

∴f（x）在（0，+∞）上是单调减函数， 

②当a＞0时，令f'（x）=0，解得：x=1a， 

当x变化时，f'（x），f（x）随x变化情况如下， 

当x∈(0，1a)时，f'（x）＜0，f（x）单调减， 

当x∈(1a，+∞)时，f'（x）＞0，单f（x）单调增， 

综上所述：当a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞）； 

当a＞0时，f（x）的单调减区间为(0，1a)，单调增区间为(1a，+∞)． 

（3）证明：当x＞0时，要证f（x）-ax+ex＞0，即证ex-lnx-2＞0， 

令h（x）=ex-lnx-2（x＞0），只需证h（x）＞0， 

∵h'(x)=ex-1x由指数函数及幂函数的性质知： 

h'(x)=ex-1x在（0，+∞）上是增函数又h'（1）=e-1＞0， 

h'(13)=e13-3＜0，∴h'【解析】 

(1)求出函数的导数，求出函数的切线方程即可； 

(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的第七届即可； 

(3)问题转化为证ex-lnx-2>0，令21.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则依题设d＞0． 

由a2+a6=14，可得a4=7． 

由a3a5=45，得（7-d）（7+d）=45，可得d=2． 

∴a1=7-3d=1． 

可得an=2n-1． 

（Ⅱ）设cn=bn2n，则c1+c2+…+cn=an+1， 

即c1+c2+…+cn=2n， 

可得c1=2，且c1+c2+…+cn+cn+1=2（n+1）． 

∴cn+1=2，可知cn=2（n∈N*）． 

∴b【解析】该题考查等差数列的通项公式及数列求和，考查学生的运算求解能力． 

(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，则依题设d>0.运用已知条件列方程组可求a1，d，从而可得an； 

(Ⅱ)设cn=bn22.【答案】解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 

由于a3=7，又a1，a4，a13成等比数列，即a42=a1a13，所以_1+2d=7(a1+3d)2=a1(a1+12d)， 

解得a1=3，d=2.由于an【解析】此题主要考查等差数列的通项公式及求和公式，考查方程思想的运用能力及裂项相消法求和的能力，属于基础题． 

(1)由题意联立方程组解得首项及公差，即可得出结论；

(2)利用裂项相消法求和．

23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=-ax2+1+a-1x=(x+a)(x-1)x2， 

①若-1＜a＜0，则当0＜x＜-a时，f′（x）＞0；当-a＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．故f（x）分别在（0，-a），（1，+∞）上单调递增，在（-a，1）上单调递减． 

②若a＜-1，仿①可得f（x）分别在（0，1），（-a，+∞）上单调递增，在（1，-a）上单调递减； 

（Ⅱ）存在a，使g（x）在[a，-a]上为减函数． 

事实上，设h（x）=（-2x3+3ax2+6ax-4a2-6a）ex（x∈R）， 

则h′（x）=[-2x3+3（a-2）x2+12ax-4a2]ex 

再设m（x）=-2x3+