13.2.2　三角形的中线、角平分线、高 教学设计 人教版（2024）数学八年级上册

13.2.2三角形的中线、角平分线、高教师备课素材示例●类比导入如图，在△ABC中，有一条线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段(AD，AE，…)中，有没有特殊位置的线段？(1)在这些线段中，线段AD经过边BC的中点；(2)线段AE平分∠BAC；(3)线段AF垂直于边BC.同学们通过观察、思考，找到了具有特殊位置的线段：三角形的中线、角平分线和高．这三条线段是三角形的重要线段．【教学与建议】教学：从学生已有的知识出发，通过多媒体动画操作，培养学生从一般到特殊的转化思想．建议：教学中要鼓励学生动手实践，探究新知．●复习导入1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？怎样画？2．已知在△ABC中，BC＝5cm，高AD＝4cm，求△ABC的面积．3．请自学三角形的中线、角平分线、高的概念，你能将它们画出来吗？学生自主学习课本的内容，画一画，弄清下面的问题：(1)什么叫三角形的中线？连接两点的线段与过两点的直线有何区别与联系？三条中线的位置有什么关系？(2)什么叫三角形的角平分线？三角形的角平分线与角的平分线有何区别与联系？三条角平分线的位置有什么关系？(3)什么叫三角形的高？三角形的高与垂线有何区别与联系？三角形的三条高所在直线的位置有什么关系？(4)三角形的中线、角平分线和高分别是线段、射线、直线中的哪一种？【教学与建议】教学：通过学生的动手操作、交流、讨论，掌握三角形的中线、角平分线、高的画法．建议：教学中让学生自学完成概念、表示方法、数学语言的学习．·命题角度1利用三角形的中线解决倍数问题利用三角形的中线不仅可以解决线段的倍数关系问题，也可以解决面积的相等或倍数关系问题．【例1】如果等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12cm和21cm两部分，那么它的底边长为__5__cm.【例2】如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是__2__．·命题角度2利用三角形的高解决三角形面积问题当已知三角形的两条高及其中一条高对应的边长，求另一条高对应的边长或已知两边及其中一边对应的高，求另一边对应的高时，常用面积作为中间量．【例3】如图，在△ABC中，BC边上的高是__AB__；在△AEC中，AE边上的高是__CD__；在△AEC中，EC边上的高是__AB__；若AB＝CD＝4，AE＝5，则△AEC的面积S＝__10__，CE＝__5__．·命题角度3三角形的中线、角平分线、高的综合应用(1)关于角度的计算，如果有三角形的高这一条件时，要利用90°的角；见到角平分线这一条件时，要利用角相等；(2)关于线段、周长或面积比值的问题，要利用线段的中线或高线；(3)要利用方程思想、分类思想．【例4】如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，AB＝3，AC＝5，DE＝2，点D到AB的距离是__eq\f(10,3)__．【例5】如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠BAC＝90°.(1)求AD的长；(2)求△ABE的面积；(3)求△ACE和△ABE的周长的差．解：(1)∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，∴eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)BC·AD，∴AD＝eq\f(AB·AC,BC)＝eq\f(3×4,5)＝2.4(cm)；(2)∵AE是△ABC的中线，∴S△ABE＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×3×4＝3(cm2)；(3)∵AE为斜边BC的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长－△ABE的周长＝(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝4－3＝1(cm).高效课堂教学设计1．掌握三角形的中线、角平分线、高的性质，并会运用这些性质解决问题．2．准确画出三角形的中线、角平分线、高．▲重点三角形的中线、角平分线、高的性质．▲难点三角形的中线、角平分线、高的应用．◆活动1新课导入问题1：图中共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来.答：图中共有5个三角形．分别是△ABC，△ABD，△ACD，△ADE，△CDE.问题2：利用长为2cm，3cm，4cm，5cm的四条线段可以组成几个三角形？为什么？答：可以组成3个三角形．从四条线段中任选三条，共有四种选法：①2cm，3cm，4cm；②3cm，4cm，5cm；③2cm，3cm，5cm；④2cm，4cm，5cm.其中满足“三角形两边之和大于第三边”的只有第①，②，④这三组．◆活动2探究新知1．给出一个△ABC，请你作出该三角形的中线．提出问题：(1)如何作一个三角形的中线？(2)一个三角形有几条中线？(3)分别作出不同三角形的中线，你有什么发现？学生完成并交流展示．2．给出一个△ABC，请你作出该三角形的角平分线．提出问题：(1)如何作一个三角形的角平分线？(2)一个三角形有几条角平分线？(3)三角形的角平分线与一个角的平分线有何区别？(4)不同的三角形，它们的角平分线有何特点？学生完成并交流展示．3．给出一个△ABC，请你作出该三角形的高．提出问题：(1)如何作三角形的高？(2)一个三角形有几条高？(3)能用折纸的方法折出你准备好的三角形的高吗？(4)通过画不同的三角形的高，你能发现什么特点？三角形的高一定在三角形的内部吗？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的__中点__，所得线段叫作三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这个点叫作三角形的__重心__．2．在三角形中，一个内角的__平分线__和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线．3．从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作__垂线__，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高．◆活动4例题与练习例1下列说法正确的是(B)①平分三角形内角的射线叫作三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、三条高和三条角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．③④B．③C．②③D．①④例2如图，已知△ABC，根据要求画图．(1)画BC边上的高；(2)画∠ACB的平分线；(3)将△ABC分成面积相等的两部分．解：如图．(1)线段AD即为所求；(2)CE即为∠ACB的平分线；(3)中线BF将△ABC分成面积相等的两部分(答案不唯一).练习1．教材P8～9练习第1，2题．2．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE＝2，AF＝3，填空：(1)BE＝__CE__＝eq\f(1,2)__BC__；(2)∠BAD＝__∠DAC__＝eq\f(1,2)__∠BAC__；(3)∠AFB＝__∠AFC__＝90°；(4)S△AEC＝__3__．3．如图，已知△ABC.(1)画出△ABC的∠ABC的平分线，交AC边于点D，并指出相等的角；(2)画出△ABC的AC边上的中线BE，并指出相等的线段；(3)画出△ABC的BC边上的高AF，并指出图中所有的直角三角形．解：(1)如图，BD是△ABC的∠ABC的平分线，∠ABD＝∠CBD；(2