2026年21届华杯赛初赛b试题及答案

2026年21届华杯赛初赛b试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若正整数n满足n²＋2026为完全平方数，则n的最小值为A.15B.18C.21D.242.将1~9这九个数字各用一次组成三个三位数，使它们的和为2026，则这三个数中最大数的最小可能值为A.678B.679C.680D.6813.已知实数x、y满足x＋y＝1，x³＋y³＝19，则x²＋y²的值为A.7B.9C.11D.134.在1~2026中，恰有k个整数n使得n与2026互素，则k等于A.1008B.1012C.1013D.10145.若a、b、c为正实数且a＋b＋c＝6，则表达式(a²＋1)(b²＋1)(c²＋1)的最小值为A.64B.72C.80D.966.设数列{aₙ}满足a₁＝3，aₙ₊₁＝2aₙ＋1，则a₂₀₂₆的个位数字为A.1B.3C.5D.77.若复数z满足|z－3i|＝5且|z＋4|最小，则该最小值为A.1B.2C.3D.48.在△ABC中，AB＝13，BC＝14，CA＝15，则其内切圆半径为A.4B.5C.6D.79.设函数f(x)＝x³－3x²＋4，则方程f(f(x))＝x的实根个数为A.3B.5C.7D.910.从1~2026中随机取一整数n，则n的各位数字之和为10的概率为A.85/2026B.86/2026C.87/2026D.88/2026二、填空题（每题2分，共20分）11.若x、y为正整数且1/x＋1/y＝1/2026，则满足条件的(x,y)共有________组。12.设p为素数，使得p²＋256为完全平方数，则p＝________。13.将2026表示为两个平方数之和，则较小的那个平方数为________。14.若正整数n的所有正约数之和为2026，则n＝________。15.在1~2026中，能被3或5整除但不能被7整除的整数共有________个。16.若实数x满足⌊x⌋＋⌊2x⌋＋⌊3x⌋＝2026，则x的取值范围长度为________。17.设a、b、c为互不相等的正整数，且a＋b＋c＝2026，则abc的最大值为________。18.若复数z满足z⁴＋z²＋1＝0，则|z|＝________。19.在平面直角坐标系中，以(0,0)、(2026,0)、(0,2026)为顶点的三角形内部（不含边界）的整点个数为________。20.若数列{aₙ}满足a₁＝1，aₙ₊₁＝aₙ＋⌊√aₙ⌋，则使得aₙ≥2026的最小n为________。三、判断题（每题2分，共20分，正确写“T”，错误写“F”）21.若正整数n使得n²＋n＋1整除2026，则n必为偶数。22.存在实数x使得sinx＋cosx＝2026。23.若a、b、c为正实数且abc＝1，则a＋b＋c≥3。24.在1~2026中，平方数与立方数相同的数只有1与64。25.若p为素数且p≡1(mod4)，则p可表为两平方数之和。26.对于任意正整数n，n²＋n＋41均为素数。27.若复数z满足|z|＝1，则z＋1/z为实数。28.若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上必可导。29.在△ABC中，若sinA＋sinB＋sinC＝3√3/2，则该三角形必为等边三角形。30.从1~2026中任取1000个不同的数，必存在两数之差为30。四、简答题（每题5分，共20分）31.试说明如何利用抽屉原理证明：在任意给出的2026个整数中，必存在若干个数之和为2026的倍数。32.给定正整数n，请给出求n的所有正约数之和σ(n)的公式，并以n＝2026为例计算其值。33.简述如何利用生成函数方法求解“将2026表示为若干个正整数之和，顺序不同视为不同”的方案数。34.请说明如何判定一个正整数能否表示为两个平方数之和，并举例验证2026是否满足条件。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论当正整数k变化时，方程x²－ky²＝1的最小正整数解(x₁,y₁)的变化规律，并以k＝2026为例给出一种求法思路。36.探讨在模2026意义下，二次剩余与非剩余的分布特征，并说明如何利用Legendre符号快速判断。37.讨论素数定理在估计不超过2026的素数个数时的误差大小，并比较其与实际值的偏差。38.讨论将2026拆分为若干个斐波那契数之和的最优策略，使得拆分项数最少，并给出一种贪心算法的可行性分析。答案与解析一、单项选择题1.B2.B3.C4.C5.A6.D7.A8.A9.C10.B二、填空题11.2712.313.2514.134615.77316.1/317.2022×2023×202418.119.2025×202520.118三、判断题21.F22.F23.T24.T25.T26.F27.T28.F29.T30.T四、简答题答案要点31.将2026个整数模2026得余数列，考虑前缀和序列S₀=0,S₁,…,S₂₀₂₆共2027个值，落入2026个剩余类，必存在Sᵢ≡Sⱼ(mod2026)，则第j+1到i个数之和为2026的倍数。32.若n＝∏pᵢ^eᵢ，则σ(n)＝∏(pᵢ^(eᵢ+1)－1)/(pᵢ－1)。2026＝2×1013，σ(2026)＝(2²－1)/(2－1)×(1013²－1)/(1013－1)＝3×1014＝3042。33.生成函数为(1＋x＋x²＋…)ⁿ＝1/(1－x)ⁿ，n取2026时方案数为系数x²⁰²⁶，即C(2025,2026)＝C(2025,0)＝1，但允许任意项时生成函数为1/(1－2x)的系数，取x²⁰²⁶得2²⁰²⁵。34.根据Fermat两平方定理：若n的素因数分解中所有形如4k+3的素数幂次均为偶数，则可表为两平方和。2026＝2×1013，1013≡1(mod4)，故可表；经计算得2026＝25²＋39²，验证成立。五、讨论题答案要点35.Pell方程最小解随k增大而呈指数增长，可用连分数展开√2026，得周期为偶数，最小解(x₁,y₁)＝(2027,45)。36.模2026＝2×1013，二次剩余判定需分别模2与模1013，再用中国剩余定理合并；Legendre符号(a/1013)可用二次互反律快