2024年中考数学压轴题之圆与三角形的综合（圆的综合问题）

2024年中考数学精选压轴题之

圆与三角形的综合(圆的综合问题)

I.如图।是清明上河园中的日展，它是古代的计时仪器.日目的表面是以点。为圆心的圆

形，04为某时刻择针的影长，示意图如图2所示，A。的延长线交于点E,与08交于

点氏8。与。相切于点为。上一点，连接行并延长8,交8。的延长线于点C,

ZS4=ZC.

图⑴图⑵

(I)求证：0C//DEx

(2)若点”为。。的中点，。。的半径为3,则3。的长为

2.如图，四边形A6CQ为O内接四边形，AC18O交于点E,延长A。、BC交于点、F,

ZBAC=2ZCAD.

AA

图①图②

(I)求证：AB=AC,

(2)若sinF=»,A8=8,求CF的长；

4

(3)如图2,连接OC交3。于从若W7=4,DH=3,求三角形CD尸的面积.

3.如图，“I8C中，ZBAC=45°,AC,8C交以A8为直径的半圆。于点。，E.连接AE,

8。交于点F.

(1)求证：AF=BC；

⑵若点尸是中点，DF=\,EF=近时，求CE的值.

5

4.如图，48是的直径，弦CD_LAB于点E，已知A8=10,AE=8,点尸为A8上任

意一点，（点。不与A、8重合），连结CP并延长与QO交于点Q,连结Q。、尸。、AD.

（I）求C。的长.

Q）若CP=PQ,直接写出的的长.

⑶①若点，在A,E之间（点。不与点E重合），求证：^ADP=^ADQ.

②若点P在A,E之间（点"不与点E重合），求D4*与/八。。满足的关系.

5.如图，一A8C内接于以48为直径的。中，且点E是/8c的内心，AE的延长线与5c

交于点凡与。交于点。，O的切线〃。交A8的延长线于点P.

(I)试判断△3QE的形状，并给予证明:

(2)若ZAP。=30。,BE=2,求AE的长.

6.如图，AB,。。是©O的两条直径，AB工CD,点E是劣弧BD上一动点(点、E不与B,D

重合).连接AE,CE,分别交OD于点尸，G,连接AC.设。O的半径为LNOA/,'=a.

(l)Z0CG=_(用含。的代数式表示):

⑵当，=3。。时，求整

(3)判断AG-C尸是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明埋由.

7.如图，锐角ABC内接于(O,射线跖经过圆心。并交：O于点。，连结4/),CD,BC

与A。的延长线交于点/，DF平分/CDE.

(1)求证：AB=AC.

(2)若BC=CF,求//的余弦值.

(3)若ian48O=g,0O的半径为石，求7)方的长.

8.如图，OA=OB,AB交。于点C,。，OE是半径，且OE工AB于点F.

(I)求证：AC=BD.

(2)若O尸:瓦'=2:1,CD=8,求。。半径的长.

9.如图，在八A8C中，NAC8=90。，以斜边A8上的中线C。为直径作：O与AB交于点E,

与AC交于点F,过厂作FH_LM，垂足为从

10.如图，在RtAABC中，ZC=90°,以AC为直径的。交人“干点。，点Q为C4延长

线上一点，延长。。交BC于点尸，连接OO,ZADQ=^ZDOQ.

B

⑴求证：PD是。的切线：

⑵若AQ=M,A。=6时，求4尸的长.

11.如图，一A3c内接于。O,/ABC的平分线交、。于点。，过点。作应7/47,交BC的

延长线于点E,连接QC.

(I)求证：DE,=CEBE：

⑵若A«=7,BC=5,ZABC=6(r,求C。的长.

12.如图，在：。中，AC为GO的直径，AB为O的弦，点E是AC的中点，过点E作八8

的垂线，交AB于点M,交:。于点M分别连接所，CN.

(1)EM与应:的数量美系是:

(2)求证：EB=CN；

(3)若AM=G，MB=1,求明影部分图形的面积.

13.如图，C。的直径A8=8,△M4C为等腰三角形，M4=MC,点M在0。上.

图3

(1)如图1,当点C与点。重合时，/M4c的度数为二

(2)如图2,当点C为线段0B的中点时，求cos/MAC的值:

(3)在第(2)的前提下，延长至点P,连接"8,则当PC长为多少时//与CO相切？

14.如图I,已知NA8C=60。，点0在射线8C上，且08=4.以点。为圆心，「(r>0)为

⑵当r=2&时，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转a(O。<a<\80°).

①若B4与。相切，求。的度数为多少；

②如图2,射线B4与。交于M,N两点,若MN=0B,求阴影部分的面积.

15.在_/WC中，/AC8的平分线C。交A8于点。.

图3

⑴如图1,点E在线段CO上，AD=AE,求证：^ACEsABCD；

1CD

⑵如图2,A8是。的直径，点。在（。上，射线CD交：。于点A若AC=：8C,求三

3AD

的值；

AC

（3）如图3,若点4c，力在。。上，CB交。0于点G.若人B=MC,N4C8=60。，求生的

AD

值.（结果用含k的式子表示）

参考答案:

:.OD±BC,ZCDO=ZBDO=90°,/EDO+NEDB=90°.

:.ZADC+ZADO=9(rf

・・・AE为圆。直径,

:.^EDO+ZADO=^f,

:"EDO=ZADC,

-：EO=DO,

:.ZEDO=ZAED,

ZADC=ZAED,

•.Z4=ZC,

:.ZAOC=ZADC,

ZAOC=ZAED,

:.OC//DE,

(2)解：TBC是。O的切线，点尸是。。的中点，。。=3,

在Rt^O/X:中，OD=3,OC=6,由勾股定理得：DC=>IOC2-OD2=3>/3.

sinZ.OCD==—=—,

OC62

;NC=8AE=/BDE=3伊.

•・•ZADE=90°,ZDAE=30°,

：.ZDEA=600.

•.OE=()D,

MODE是等边三角形,

;.DE=OD=3,

•・•/EBD=ZAED-4BDE=30°,

答案第I页，共23页

.二是等腰三角形，

/.BE=DE-3,

BO=BE=OE=6

:.BD=4OB'-ODr=762-32=3百，

故答案为：3后.

2.(1)证明：如图①，作AG_L8C于点G,则ZAG5=Z4GC=90。，

♦；AC上BD交于点E,

，"£€=90。，

:.ZCAG=NCBD=90。-ZACB,

■:ZCAD=ZCBD,

：.ZCAG=ZCAD,

■:ZBAC=2ZC/1£>,

：.ZBAC=2ZCAG,

：.ZBAG=ZCAG,

；ZA8G+NBAG=90。，ZACG+NC4G=90。，

，ZABG=ZACG,

：.AB=AC.

(2)解：如图①，连接04、OB、OC,作CL_L4/于点L,则NCL厂=90°,

'：OB=OC,04=04,AB=AC,

：.△AQB/△AOC(SSS),

^BAO=^CAO,

AO1BC,

・•・4。与AG重合,即圆心O在ABC的高AG上,

答案第2页，共23页

ZOCA=ZC4G=ZC4D,CG1AG,CLLAD,

：.oc//AD,CG=CL,

・•・4OCG=ZF,

.­.^=sinZOCG=sinZF=l,空=且=疝"=3,

OC4CFCF4

设CKJ=3m,则OA=OC=，

AG=OA+OG=4m+3m=Im,CG=\]OC2-OG2=^(4/w)2-(3m)2-y/lrn,

・••AC=VAG2+CG2=“7〃炉+(4/〃y=2而〃，

,/AB=AC=S,

/.2而〃=8，

解得用二MI,

7

442>/i48&

：.CF=-CG=-

3373

••・CF的长为辿.

3

（3）解：如图②，延长AO交4。于点/，交BC于点Q,作CP_L/1尸于点P,作/K_LA〃于

点K,则NBK/=90°,

IKIAB,IELAC,

AAQ1BC,8Q=CQ,IK=IE,

：.ZAQF=90°tBC=2QC,

•：OC//AD,BH=4,DH=3,

，•里=华=上BD=BH+DH=4+3=1,

FCDH3

.2QC_4

.•------=-9

FC3

•.•NCAQ=NCA。，CQ1AQ,CPIAD,

答案第3页，共23页

・•.QC=PC,

.PCQC2

''~FC~~FC~3f

设N8AQ=NOQ=NC4O=a,

ZAEB=AAQF=90°,

AZASE=ZF=9O0-27,

i5=sinWE=sin4="=2,

IBIBFC3

ZAEI=ZAED=9()°,AE=AE,/FAI=/FAD,

:.£4/aEW(ASA),

：•1E=DE,

设/E=O£=2〃，则小=3八，BE=5%

/.2〃+2/1+3〃=7,

解得〃=1，

・•・BE=5,

■:OC//AD,

：.NOCQ=",

:.黑=sin^OCQ=sinZF=|,

设OQ=2a,则。4=OC=3a,AQ=5a,

:.CQ=^OC2-OQ2=J(3a)‘-伽丫=舄,

•:NBEC=ZAQC=90°,NCBE=ZCAQ,

•CEtanNCM=tanNCAQ=^=噜邛,

t•----

BE

：.CE=—BE=—x5=>/5,

55

•••S=-BDCE=-xlx^/5=-，

ctfteii)H222

..Sg-

・SCDFFC3，

.c_3C_37^_2175

•'、CDF.CDB=^~2~=~g-,

・•・三角形8尸的面积是".

8

答案第4页，共23页

3.(I)TAB是；。的直径，

:.ZAQ3=ZAE8=90°,

■:NK4C=45。，

/.AD=RD,

,:ZDAF+ZAFD=ZBFE+ZEBF=90°,ZAFD=ZBFE，

・•./DAF=4EBF,

&DF=UBDC

在△AO厂和8ZX7中，AD=3。,

ZDAF=/DBC

AAO/WA"Z)C(ASA),

・•・A/'=BC；

(2);点尸是8。中点，DF=\

:.DF=BF=\,

:•AD=BD=2,

在RrADF中,AF=jAD2+DF2=>/5*

:.AF=BC=45,

,:ZADF=NBEF=90。,ZAFD=ZBFE,

:..ADFS^BEF,

.AD_AF_DF_45

"~BE=~BF=~EF=~T，

•RF2石

••litL=----9

5

:.CE=BC-BE=75--=—.

55

4.(1)解:如图，连接0。，

答案第5页，共23页

,•直径AB=10,AE=8,

:.BE=AB-AE=2,

..OE=OI3-HE=5-2=3,

-ABLCD,

:.CE=DE=-CD,

2

在RtVOEQ中，OD2=OE2+ED2,

ED=y/OD2-GE'=V52-32=4，

:.CD=2ED=S；

(2)解：若CP=PQ,则点户与点。重合，或点尸与点E重合.

.•.”=5或8：

<3)(3)①证明：连接AC,

AB是的直径，ABLCD,

:.CE=DE,

即八8是C。的垂直平分线，

:.AC=AD,PC=PD,

\-AP=AP,

Q)。附ADP(SSS),

:.ZACP=ZADP,

Z4CQ=/A/K,

..^\DP=^\DQ,

②解：N45P+/A52=180。，理由如下:

连接AC,

答案第6页，共23页

A

心是直径，ABLCD,

：.CE=DE,

即AB是C。的垂直平分线，

:.AC=AD,PC=PD,

AP=AP,

.L人八。尸(sss),

/.ZACP=ZADP,

•.A、C、Q、〃四点共圆，

/.Z4CP+Z4£>Q=l80o,

/.ZADP+ZADQ=\S(T.

5.(1)解：△8QE为等腰直用三角形，证明如下:

•••点E是“1BC的内心,

・•・BE平分ZABC,AF平分C,

VZ1=Z2,Z3=Z6,N4=N6,

AZ2+Z3=Z1+Z4,

*.*/5=/2+/3,

AZ5=Z1+Z4,即N5=ZD8E,

:・DB=DE,

•••A8为直径，

答案第7页，共23页

・•・ZADB=90°,

・••△瓦把为等腰直角三角形;

(2)解：连接。。，如图,

•••△班阳为等腰直角三角形,

:.BD=DE=—BE=—x2

22

,/>0的切线PD交A3的延长线于点P,

：.ODLPD,

：./OOP=90。，

■:Z4PD=30°.

:.^POD=90°-ZOPD=60°,

ZPAD=-ZPOD=3(f,

2

在RiZVlB。中，AD=^BD=&&=瓜,

/.AE=AD-DE=娓-

6.(1)解：ABLCD

.•.Z4OC=90。，ZACO+ZC4O=90°,

OC=OA

/.Z4£C=45°,

/./LOAF+Z.OCG=180°-45°-90°=45。

/.Z.OCG=45°-ZOAF=45。-a,

故答案为：45。-a.

(2)解；过点A作AHJ_CE于点〃，

答案第8页，共23页

/.Z（X,G=45o-30o=15o,

•/ABA.CD,OA=OC

:.^ACD=45°

/.ZACE=ZACD+ZOCG=60°,

•/ZA£C=45°

:.AH=EH、

设C"二X.则AC=2x

J.AH=、

：.AE——y/6x,

,=_2_=

一茄一卡一7

（3）解：AG,CF是定值，裕•b=AC22汽理由如下:

连接A。，

由题意知，

ZACG=ZACD+4DCE=45。+/DCE,

ZAFC=ZD+^DAE=450+ZDAE,

JDCE=QAE,

AACG=ZJ/r,

答案第9页，共23页

又.ZACF=ZC4G=45°,

:・二ACF-二GAC,

=又

'~AG~'AC

AG-CF=AC2

\-OA=OC=r,

AC=s/2r，

/.AC2=2/x,

即AGCF=AC2=2r2.

7.（I）证明：四边形48。）为,。的内接四边形,

/.ZCDF=Z4BC,

ZEDF=ZADB,ZADB=ZACB,

:"EDF=ZACB,

力厂平分NCDE,

:"CDF=/EDF,

ZABC=ZACB,

AB=AC；

（2）由题意可得，BD是。的直径，

:.ZDCB=90°,

:.DC±BF,

又BC=CF,

二•DC垂直平分线段6F，

：.DB=DF,

:"DBC=4DFC,/BDC=/FDC,

又。产平分NCOE,

:"FDC=NFDE,

/BDC='FDC=上FDE=60°,

ZF=30°,

.•.cosZA'=cos30°=—,

2

答案第10页，共23页

即/厂的余弦值为由；

2

(3)由题意可得，BD是。的直径，

/.Zfi4Z)=90o,

I4/)

lanNABD=-=-----,

2AB

又.O的半径为

/.KD=2“，

:.AD=2,八3=4,

由(1)可知，ZADB=ZACB=ZABC,ZBAD=ZFAB,

BAD^FAB，

.ABAD

~AF~~AB，

42

..-----=一，

AF4

.•."'=8,

:.DF=AF-AD=S-2=6,

；.D尸的长为6.

8.(1)证明：OEkAB,

:.CF=DF,

()A=()H,

：.AF=BF,

：・AF-CF=BF-DF,

：.AC=BD:

CD=8,

答案第11页，共23页

.\CF=-C7)=4,

2

设二。的半径是r,

'：OF:EF=2A,

22

:.OF=-OE=-r,

33

CO2=CF2+OF\

12N/5

/.GO的半径是”..

5

9.(1)证明：连接OF,DF,

VZACfi=90°,CO足斜边/IB上的中线,

：.CD=AD=-ABt

，_AC力是等腰三角形，

■:FH1AB，

：.NA“产=47/0=90°,

♦:CD是。直径，

:.DF1AC,

・•.£是人C的中点，

二。厂是八4OC的中位线,

：.OF//AD,

：.^OFH=ZAHF=90°,

：.OF1FH,

•.•QF是)0的半径，

二F”是，O的切线:

答案第12页，共23页

(2)解：连接CE,WJZA£C=90°,

由，。的半径为2.5知CO=AD=5,

山(I)知，DF±AC,

AF4

在RlZsA/7)中，cosA=-----=-,

AD5

:.A产=4,

:.AC=2AF=S,

AE4

在RiA/^EC中，cos4=--=-,

AC5

32

.•.AE=——.

5

10.(1)证明：连接OC,

AO=A。，

^DCA=-^DOA,

2

NADQ二;NDOQ,

ZDCA=ZADQ,

直径AC,

ZAPC=90°,

NDC4+N"C=90。，

^ADQ+ZDAC=90°,ZAIX)=ZDAC,

ZA收+400=90。，

・•.OP是。的切线:

答案第13页，共23页

(2)解：〈/。二沙，OC'为半径,

二•PC是。的切线，

PD=PC,

连接0P，

B

:.OP1.CD,

OP//AD,

AQ=AC=2OA,

.Qi二2二2

"QO~7)P~3f

•JAD=6,

二OP=9,

OP是△ACB的中位线，

••人3=18,BD=AB-AD=12,

vCZ)l/lZ?,ZC=90o,

BC2=BDAB=216

•••BC=6瓜

BP=3A/6

II.(1)证明：•・•ABC内接于O,/ABC的平分线交。于点。,

ZLABD=ZDBE,AABD=ZACD,

2DBE=^ACD,

'：DE//AC,

:.ZACD=ZEDC,

4DBE=/EDC,

答案第14页，共23页

又/E=/E,

:.jEDCs-EBD,

.DEBE

■•=9

CEDE

/.DE2=CE-BE；

(2)过点C作CGJ_A8于点G,则：ZAGC=/BGC=90°,

r.ZBCG=30°,

:・BG=/c=3,CG=\IBC2-BG-

2

9

:.AG=AB-BG=一,

2

:'AC=y/AG2+CG2=V§9，

连接0。，交AC于点F,

,:ZABD=/DBC=-ZABC=30°,

2

・•AO=C。，

：.ODLAC,

CF=-AC=—,

22

■:ZAC。=NAB。=30°,

•••3舟=危

12.(I)解：:AC为CO的直径，点E是4r的中点,

:./ABE=45°,

■:AB1EN,

/.BME是等腰直角三角形,

答案第15页，共23页

**.BE=>f2EM，

故答案为：BE=y/2EM：

(2)解：连接EO,

〈AC是，。的直径，E是AC的中点，

••・/AOE=900,

2

•:EN上AB,垂足为点M,

ZEM8=90。，

:.NABE=NBEN=45。,

AE=BN»

丁点E是AC的中点，

AE=EC，

:.EC=BN，

••・EC-BC=BN-BC，

:・EB=CN;

(3)解：连接AE,OB,ON,过点。作OF_LCN于点F,

t：EN1AB,垂足为点M,

:.NAME=NEMB=9()。,

•；BM=1,由(2)得NABE=NBEN=45°,

:,EM=BM=\,

又•:BE=6EM，

:・BE=也，

•・•在RtA4£M中，EM=1,AM=G，

tanZEAB=-\==—r

63

:./EM=300,

答案第16页，共23页

,:NEAB=L/EOB,

2

:.NEOB=60。，

乂rOEnOB,

：.E08是等边三角形，

：・OE=BE=4i，

又•:EB=CN，

/.BE=CN,

:一O即yOCN(SSS),

:.CN=BE=Ji，NCON=N£O8=60°,

YOC=ON、

：.ZONC=60°,OC=ON=CN;=应，

•：OF1CN,

:.OF=ONsinZONC=—^

2

又・・飞.6。"(q3,SOCY=LCNOF='X0*^=^~

审形3603g2222

._<,_1x/3

cc*

小,•3用影=影OCN-'.OCN=§万——

13.(1)解：•・•点。与点O重合,

「・MC=AC,

,:MA=MC,

MA=MC=AC,

・•・△ACM是等边三角形，

/.NM4C=60。：

故答案为：60°

答案第17页，共23页

(2)解：如图，过点M作MH_L于点，，连接

•••直径A8=8,

：.0B=0A=4,

•••点C为线段08的中点，

AC=6、BC=2,

;MA=MC,MH±AB,

：.AH=CH=-AC=3,ZAHM=NBHM=90°,

2

〃是直径，

ZAM5=90°.

NAM8=〃l〃M=90。，

VZ4=ZA,

，WZ/Ws一AMB,

.AM_AH

••方一笳’

**-AM2=AH-AH>

：.AM=2x/6,

•AM瓜

••cosZ.MAC=------=;

AB4

<3）解：如图，过点M作M"_LA3于点儿连接BW,

答案第18页，共23页

•：与O相切，

：.ZPBC=ZMHC=90°,

/.MH//PH,

/.aBC-HCM,

.CPBCCP_2

♦.BT京'即市一钎

:.CP=—.

3

14.（1）解：（1）根据题意，需要分两种情况：①在点。未到达点B前，。与射线8C有

两个交点.

如图I,当10与A3相切于点G,连接0G,则OG_L/18,比相切之前

■:ZA5C=60°,

.\ZBOG=30°,

:.BG=；OB=2,OG=-J3BG=273,

即此时「=26

只要半径0＜「＜26，则只有两个交点：

②当半径大于0B时，OO分别与射线朋，BC有一个交点,

如图2,当点/）刚好与点8重合，此时「=4,

答案第19页，共23页

图2

结合图形可知，，•的取值范围为石或r>4；

(2)解：①如图3,当射线加在射线8c的上方与。相切时，设切点为P,连接。P,

•.,。8=4,OP=2y/2»

••八正0P历

•・sinZ.ABC=----=——,

OB2

:.Z4BC=45°,

如图4,当射线胡在射线3C的下方与：O相切时,

设切点为尸，连接。尸，

同理N48C=45。，

••・。=60。+45°=105°,

综上所述，当。为