2024年青海高考数学(理)试题及答案 (二)

2024年青海高考数学（理）试题及答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.设z=5+i,则«z+z）=（）

A10iB.2iC.10D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】结合共匏复数与复数的基本运算直接求解.

【详解】由z=5+i=5=5—i,z+彳=10,则i（N+z）=10i.

故选：A

2.集合A={1,2,3,4,5,9},B=N«£A},则G（ACB）=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C{1,2,3}D,{2,3,5}

【答案】D

【解析】

【分析】由集合〃的定义求出乩结合交集与补集运算即可求解.

【详解】因为4={1,2,3,4,5,9},8=卜|«£4卜所以8={1,4,9,16,25,81},

则;T8={1,4,9},6（4叫={2,3,5}

故选：D

4x-3y-3>0

3.若实数爸y满足约束条件-x-2y-2W（）,则z=x-5.y的最小值为（）

2x+6y-9<0

7

A.5B.iC.-2D.--

22

【答案】D

【解析】

【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

4x-3y-3>0

【详解】实数为>满足r-2y-2V0,作出可行域如图：

2x+6y-9<0

即工的几何意义为y=^x-^z的截距的—，,

则该直线截距取最大值时，Z有最小值，

此时直线＞=3%—32过点人，

4x-3y-3=0..<3)

联立《c/c八，解得《2,即A—1,

2x+6y-9=01X/

)，二1

37

则Zmin=-o--5X1=--0-

故选：D.

4.等差数列｛4｝的前〃项和为S”若S=工。，%=1，则%=()

7

A.-2B.一C.1D,2

3

【答案】B

【解析】

【分析】由Ss=Wo结合等差中项的性质可得6=0,即可计算出公差，即可得修的值.

【详解】由Sn)-&=&+%+%+/+40=5%=0,则4=0,

则等差数列｛〃”｝的公差d=矢生=-1,故q=%_4d=l_4x

故选：B.

5.已知双曲线的两个焦点分别为10,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()

A.4B.3C.2D.y[2

【答案】C

【解析】

【分析】由焦点坐标可得焦距2a结合双曲线定义计算可得2〃，即可得离心率.

【详解】设£（0,-4）、鸟（0,4）、P（-6,4）.

则内闾=2c=8,|尸用=将+（4+4『=10,|叫周二,62十（4一4）2=6,

2c8

则2a==6=4,贝ije==2.

2^-4

故选：C.

6.设函数/（x）=e'+2s；nx,贝！曲线.二/（月在（°,0处的叱线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

A.-B.-C.1D.-

6323

【答案】A

【解析】

【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点（0,1）处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其

面积.

(e'+2cosx)(l+x2)-(eA+2sinx)-2x

/3=

【详解】("Y

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin())x0

则:(0)==3.

即该切线方程为y-l=3x,即），=3x+l,

令x=0,则y—1,令y-。，则％,

故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积5=^-xlx-i=l

故选：A.

7.函数=卜加在区间［-2.8,2.8］的大致图像为（）

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入x=1可得可排除D.

【详解】f(-x)=-x2+(e-'-e')sin(-x)=-x2+(ev-e')sinx=f(x),

又函数定义域为[-2.8,2.8],故该函数为偶函数，可排除A、C,

171e111c

又/⑴=-1+——>------>0,

e)e622e42e

故可排除D.

故选：B.

8,已知-a=6则tan71

a+—

4j)

cosez-sincr

A.2百+1B.2^-1C.D.1-73

2

【答案】B

【解析】

cosa

【分析】先将--------------弦化切求得tana,再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

因为c°sa=6

【详解】

cosa-sina

1

所以=G,tana=1--

1-tana3

所以tana+(J=%叶1=2石-1,

1-tana

故选：B.

9.已知向量a=(x+l,x),〃=(x,2),贝IJ()

A."x=-3"是的必要条件B."x=—3"是ua//bn的必要条件

C."x=0"是ZJ.//的充分条件D.1”一1+6”是“aUb”的充分条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当々J.〃时，则〃力=0，

所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当工=0时，〃=(1,0)为二(0,2),故4力=0，

所以〃_!_/?，即充分性成立，故c正确；

对B,当〃//〃时，则2。+1)=/，解得工二1士百，即必要性不成立，故B错误；

对D,当犬=-1+6时，不满足2a+1)=/，所以〉//〃不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

10.设。、力是两个平面，团、〃是两条直线，且。「力二加.下列四个命题：

①若小〃小则〃〃。或〃〃夕②若根_!_〃，则〃_La,〃_L/7

③若〃〃a,且〃//〃，则〃④若〃与a和£所成的角相等，则相_!_〃

其中所有真命题的编号是()

A.®®B.②④C.®@③D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

【详解】对①，当〃ua,因为〃"/〃，mu0,则〃//4，

当〃u£,因为相〃〃，mu。，则〃//a,

当〃既不在a也不在月内，因为〃〃/〃，mua,mu0、则〃//a且〃///，故①正确；

对②，若小JLm则〃与夕不一定垂直，故②错误；

对③，过直线n分别作两平面与a,P分别相交于直线$和直线t.

因为〃//a,过直线〃的平面与平面。的交线为直线$,则根据线面平行的性质定理知〃//s,

同理可得〃/〃，则S/〃，因为sa平面，u平面贝ijs//平面

因为su平面a,a(3=mt则$//〃?，又因为〃//s,则加〃〃，故③正确；

对④，若=与a和£所成的角相等，如果〃///〃///,贝故④错误；

综上只有①③正确，

故选：A.

9

11.在“BC中内角AB,C所对边分别为4,/?,c,若8=彳，b2=—ac,则sinA+sinC=:)

34

A.-B.V2C.立D.B

2722

【答案】C

【解析】

i13

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=—，再利用余弦定理有/+。2=一。。，再利用正弦定理得到

34

si/A+sin2c的值，最后代入计算即可.

7rq4I

【详解】因为B=—,/二二伏：，则由正弦定理得sinAsinC二一41?8=—.

3493

、、、9

由余弦定理可得:=«■+€---ac=-ac,

4

,。13,,1313

即:/+<?=—ac,根据正弦定理得sin24+sin2C=—sinAsinC=—,

4412

7

所以(sinA+sinC)?=sin2A+sin2C+2sinAsinC=—,

因为4c为三角形内角，MsinA+sinOO.MsinA+sinC=--

故选：c.

12.已知6是的等差中项，直线如+刀+c=0与圆f+52+4)，_1=0交于A8两点，则的最小

值为()

A.2B.3C.4D.25/5

【答案】C

【解析】

【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为成等差数列，所以2〃=a+c,c=2b-a.代入直线方程eve+by+c=0得

x—\二0fx=1

ax-i-by+2b-a=0,即a(x-l)+Z?(y+2)=0,令.?()得4-，

[y=-2

故直线恒过(1,一2),设网1,一2),圆化为标准方程得：C:x2+(),+2)2=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，由图可知，当PC_LA8时,质用最小，

\PC\=i\AC\=\r]=45,此时|八同=2|/^=2)402_尸。2=275-1=4.

cf

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

(\V0

13.11+的展开式中，各项系数的最大值是.

【答案】5

【解析】

f

国工嘲广

(

1,',进而求出「即

【分析】先设展开式中第r+1项系数最大，则根据通项公式有V0

叫”唱

(

可求解.

10-r

【详解】由题展开式通项公式为C；。(g)

Z.0工厂410且，e2,

10-r<］丫_r

Cr/I

Jo5;

设展开式中第，，+1项系数最大，则10-r11-r

cr1

Jo©

2-9

r>4

故

即2T9-<r-<3_3Gr=8

4xrz.

3_3

r<

4

所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C：°(g)=5.

故答案为：5.

14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为弓和弓，母线长分别为2(G一4)和3(4—4),则两个圆台

的体积之比含=.

y乙

【答案】用

4

【解析】

【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高,再根据圆台的体积公式直接代入计算即可

得解.

【详解】由题可得两个圆台的高分别为偏=编了一上一炉=6(/—4)，

心=拒(「切2-(4一力=26(r「讣

所以％[(邑+斗同)4G«r)=3

y乙小2十号+展引屹屹2正心-2)4

故答案为：见.

4

115

15.已知々>1,-----:----7=--,则。=

log/log42

【答案】64

【解析】

【分析】将logs凡log”4利用换底公式转化成log2a来表示即可求解.

,.1131.5

【详解】由题；整理得（z〃）

"----------------=----------log26Z=--,vlog7-51og^/-6=0,

logilog.4log2a22.

nlogza^T或log2〃=6,又

所以Iog2〃=6=log226,故々=26=64

故答案为：64.

16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球•记加

为前两次取出的球上数字的平均值，〃为取出的三个球上数字的平均值，则〃7与〃差的绝对值不超过g的

概率是_____.

7

【答案】记

【解析】

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为。力，第三个球的号码为c,则

a-^b-3<2c<a+b+3,就。的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120种，

设前两个球的号码为第三个球的号码为J则丝经

故|2（?-（。+例43,^-3<2c-（a+b）<3,

^a+b-3<2c<a+b+3,

若c=L则a+b>5,则（。⑼为：（2,3）,（3,2）,故有2种，

若c=2,则13^7,则（。⑼为：（1,3）,（1,41（1,5）,（1,6）,（3,4）,

（3』）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,3）,故有10种，

当c=3,则3W〃+〃W9,则（。/）为：

（1,2）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（4,5）,

（2,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（4,2）,（5,2）,（6,2）,（5,4）,

故有16种,

当c=4,则5<a+Z?<U,同理有16种，

当c=5,则7<。+8<13,同理有10种，

当c=6,则94。+〃415,同理有2种，

共加与〃的差的绝对值不超过;时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,

故所求概率为需=5.

7

故答案为：—

JLJ

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考

题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进

行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

(1)填写如下列联表：

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异？

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率〃=0.5,设万为升级改造后抽取的/?件产品的优级品率.如果

万>〃+1.65秒;亘，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为

生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(同起12.247)

附:f悬J

P（K2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510,828

【答案】(1)答案见详解

(2)答案见详解

【解析】

【分析】(1)根据题中数据完善列联表，计算K?，并与临界值对比分析；

(2)用频率估计概率可得万=0.64,根据题意计算”+1.65结合题意分析判断

【小问1详解】

根据题意可得列联表：

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

可得犬」5。畋3。二2也。亡差"6875

50x100x96x5416

因为3.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的

优级品率存在差异.

【小问2详解】

96

由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为——=0.64.

150

用频率估计概率可得万=0.64,

又因为升级改造前该工厂产品的优级品率P=0.5,

则〃+L65、严^=。.5+1.65、尸西

0.5+1.65x()-5

«0.568-

VnV15012.247

可知/〉〃+1.65小〃(：；〃),

所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了

18.记S”为数列也｝的前〃项和，且4S〃=3a〃+4.

(1)求｛%｝的通项公式，

(2)设，=(-1严叫,求数列｛2｝的前〃项和为。.

【答案】⑴%=4・(-3严

(2)7；=(2〃-1)3+1

【解析】

【分析】(1)利用退位法可求｛%｝的通项公式.

(2)利用错位相减法可求7；.

【小问1详解】

当〃=1时，45)=4a,=3a,-b4,解得a,=4.

当2时，4S“_i=3q_1+4,所以4S”-4S,i=4atl=3an-3an_xg[

而4=4工0,故《尸0,故且_=-3,

an-\

•・・数列｛2｝是以4为首项，-3为公比的等比数列，

所以。“=4・(-3广1

【小问2详解】

bn=(一I)”7•小4•(一3产=4〃-3"，

所以刀,=々+%+仇+•,•+〃=4・3°+8・3+12・32++4小3'1

故3方=4・3+8・32+12・33+.・+4〃・3”

所以一27；=4+43+4・32+・・・+4,3"T_4〃・3”

=4+4.3（1_3'"）_4〃.3“=4I23（3”T_1）_423”

1-3

=（2-4〃>3”-2,

]=（2〃-l>3"+l.

19.如图，在以4B,C,D、E尸为顶点的五面体中，四边形力比。与四边形4?炉均为等腰梯形,

BC//AD.EF//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=®FB=26M为AO的中点.

(1)证明：6M//平面CDE；

(2)求二面角/一翻;一后的正弦值.

【答案】(1)证明见详解；

⑵拽

13

【解析】

【分析】(1)结合已知易证四边形ACZW为平行四边形，可证技0〃C。，进而得证；

(2)作8O_LAO交AD于。，连接OF,易证。氏O。,。尸三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公

式即可求解.

【小问1详解】

因为BCHAD,EF=2,AD=4,M为AD的中点，所以BC//MD,BC=MD,

四边形3CZW平行四边形，所以BM//CD,又因为冏0a平面COE,

CDu平面CDE,所以BMH平面CDE；

【小问2详解】

如图所示，作80_LA£＞交AO于。，连接OF,

因为四边形A5CO为等腰梯形，BC〃AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,

结合(1)8CDW为平行四边形，可得8W=CD=2,又AM=2,

所以.•.A5M为等边三角形，。为AM中点，所以。8=6，

又因为四边形A0ER为等腰梯形，M为AO中点，所以EF=MD,EF〃MD,

四边形为平行四边形，FM=ED=AF'

所以△AFM为等腰三角形，.A5M与△AFM底边上中点。重合，O/LAM.OF=＞JAF2-AO2=3.

因为0^2+0/2=3/2,所以。8_L0F,所以。氏02。尸互相垂直，

以。8方向为人轴，or＞方向为＞轴，方向为z轴，建立。一冷，z空间直角坐标系,

尸(0,0,3),B(V3,0,0),M(0,l,0),E(0,2,3),BM=(-73,1,0),BF=,0,3),

BE=(-V3,2,3),设平面BFM的法向量为m=(%,y,zJ,

平面的法向量为〃=（W，%，Z2），

\niBM=0.比;Mt令—,4"即而=阳3』）,

则.，即《

\mBF=0

n-BM=0-V3x0+y7=0

则,即L，令苍=G,得％=3/2=T

Ln-BE=0-y/3x2+2y2+3z2=0

m-ri1111,4J3

即〃=(COStn,n=11[1=—f=7==——则qinmn-"

6阿•同713.713]3,*sm/几〃-]3

故二面角产一必7—£的正弦值为逑.

13

在。上，且用/_Lx轴.

（1）求。的方程；

（2）过点d（4,0）的直线与。交于43两点，N为线段FP的中点，直线N8交直线何产于点Q,证明：

A。，)，轴.

【答案】⑴土+工=1

43

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)设/(c,0),根据”的坐标及胸大轴可求基本量，故可求椭圆方程.

⑵设A8:)，=«r-4),网和％)，联立直线方程和椭圆方程，用A8的坐标表示y-,

结合韦达定理化简前者可得＞1-^=0,故可证AQ1)，轴.

【小问1详解】

设F（c,0）,由题设有c=l且工=3,故土1=3,故〃=2,故b=£,

a2a2

故椭圆方程为三+X=i.

43

【小问2详解】

直线A5的斜率必定存在，设AB：y=Z(x-4),A(X],yJ,B(w，%)，

由；3"+4y=12可得（3+4左2）工2—32女2%+^^—]2=o

[y=k（x-4）'J

A=1024A:4-4（3+4A:2）（64^-12）＞0,故

。32k264公一12

又…=不可"节式

3

而N（,0）,故直线3N：）,=亡卜一£|,故"=芸=在

所以，/％=,+守V生竽警

2^2~52%2-5

Mx-4）x（2w-5）+3Z:（X2-4）

2X2-5

964公-12.32公

2大径-5（芯+%）+8X3+4Z「一、3十4出

2X2-52X2-5

128公一24-160S+24+32^2

故.K=)b，即AQ_Ly轴.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为(百,)1),(工2，)’2)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X(或＞)的一元二次方程，注意△的判断；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为番+々、XZ(或%+%、,为)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

21.已知函数/(x)=(l-at)ln(l+x)—x.

(1)当。=一2时，求〃力的极值；

(2)当为NO时./(*)之0恒成立，求〃的取值范围.

【答案】(1)极小值0,无极大值.

⑵a＜--

2

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.

(2)求出函数的二阶导数，就一!＜。＜0、。之0分类讨论后可得参数的取值范围.

22

小问1详解】

当〃=一2时，/(X)=(1+2x)In(l+x)-x,

故f\x)=2ln(l+x)+-1=2ln(1+x)一一—+1,

l+xl+x

因为y=2皿(1+1),)，二一上+1在(-1,+8)上为增函数，

故f(x)在(一1,+8)上为增函数，而r(o)=o,

故当一1<戈<0时，f(x)<0,当X>()时，f(x)>0,

故f(x)在x=0处取极小值且极小值为/(0)=0,无极大值.

【小问2详解】

(6Z+1)X

尸(x)=-a\n(1+x)+；依-l=-«ln(l+x)x>0.

l+x

(rz+l)x

设s(x)=-aln(l+x),x>0,

1+x

(4+1)_4(X+l)+4+l_QX+24+1

则’(式)==2

22

人I1(l+x)"(l+x1-(1+x)

当〃工一；时，/(x)>0,故s(x)在(0,y)上增函数,

故s(x)>s(u)=。，即/'(x)〉0,

所以外力在［0,+8)上为增函数，故/(力之吊(0)=0.

当一gva<0时，当0vxv-2",।时,s'(五)<0,

故5(x)在(0,-受小)上为减函数，故在0,-2Tl上s(x)<s(O),

即在配*!■

上，(力<0即/(力为减函数,

故在jo,一2U

上/(x)</(0)=0,不合题意，舍

Ia

当心0,此时““<0在(0,+⑹上恒成立，

同理可得在(0,+8)上〃x)v〃o)=o恒成立，不合题意，舍;

综上，aV—.

2

【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导

数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.

(-)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、

错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.

加油！有志者事竟成

答卷时应注意事项

1、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

2、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有

几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；3、审题

,每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到

暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱

的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；

4、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有

被自己的手臂挡住而遗漏的题：试卷第1页和第2页上下衔接的地方一定要注

意，仔细看看有没有遗漏的小题；

5、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再

来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌

了手脚，影响下面的答题；

6、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；

7、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否

有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，

所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果

与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋