河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期开学测评数学试卷

高一数学测评注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知某扇形的半径为，弧长为，若该扇形的圆心角为（），则（）A. B. C. D.【答案】A【详解】扇形的半径为，弧长为，扇形的圆心角为，，，，则选项A正确.2.（）A. B.C. D.【答案】C【详解】由余弦的差角公式，得：.3.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【详解】依题意可知函数定义域为，所以函数，即的值域为.4.已知函数的图象如图所示，则的图象为（）A. B.C. D.【答案】A【详解】由与图象关于y轴对称，得的图象为A选项.5.若集合，，，则取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【详解】由，则，解得，即，由，则，当时，，解得；当时，，解得；综上可得：的取值范围为.6.已知函数（），则“的最小正周期不小于4”是“在上单调递增”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】（）的最小正周期为，充分性分析：的最小正周期不小于4，，，，，，，，，，在上单调递增，故充分性成立；必要性分析：，，，在上单调递增，必须是的子集，，，，，故必要性成立.即“的最小正周期不小于4”是“在上单调递增”的充要条件.7.若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（）A. B. C. D.【答案】C【详解】根据题意，设，则，即，所以，解得，所以，由可得，作出函数与的图象如图所示：由图可知，函数与有且只有三个交点，故函数的零点个数为.8.若，，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【详解】，因为单调递增，且，所以在上有零点，则当时，，，且当时等号能同时成立，所以有最小值，因为，，所以只需，解得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】AD【详解】对于选项A：，，故

成立，故

A正确；对于选项B：，，

不成立，故

B错误；对于选项C：，，故不成立，故C错误；对于选项D：，，

成立，故D正确10.已知函数，，，则（）A.B.与的图象都关于直线对称C.将的图象向左平移个单位长度，得到的图象D.将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象【答案】BC【详解】因为，对于A选项，，，所以，A错；对于B选项，因为，，所以函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称，B对；对于C选项，将的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象，即为函数的图象，C对；对于D选项，将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数的图象，而不是函数的图象，D错.11.若函数的定义域为，且，，则（）A. B.，C.是偶函数 D.当时，【答案】BCD【详解】对于A，令，得，故A错误；对于B，令，得，因，所以，即，所以当时，成立，故，，故B正确；对于C，令，得，即，所以，故函数是定义在上的奇函数，令，因为，所以函数是偶函数，即是偶函数，故C正确；对于D，令，得，当时，有，当时，有，由C可知，函数是定义在上的奇函数，所以当时，有，所以，当时，由A可知，，，即，此时成立，当时，，同理，当时，成立，所以当时，成立，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则的最小值为_________，此时_________.【答案】①.②.【详解】由，得，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.13.已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________.【答案】【详解】由函数为定义在上的奇函数，在上单调递增函数，则函数在上也是单调递增函数，且，当时，因为，不等式，即为，可得当时，因为，满足；当时，因为，可得，则不等式，即为，可得，综上可得，不等式的解集为.14.若函数的图象关于点（）对称，则的最大值为_________.【答案】【详解】函数，由，得，解得，因此函数图象的对称中心为，依题意，，，而，则当时，，所以的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）若，，，化简；（2）若锐角满足，求的值.【答案】（1）；（2）7【详解】（1）；（2）由，得，解得或，因为为锐角，所以，所以.16.已知函数（）.（1）证明：图象过定点.（2）若，函数，求的最值.【答案】（1）证明见解析（2）最大值，无最小值【小问1详解】当时，有，故的图象过定点；【小问2详解】若，则，因为在上单调递增，在上单调递增所以在上单调递增，又，则，故有最大值，无最小值.17.为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处.（1）求A，，，b；（2）在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？【答案】（1）；（2）4s【小问1详解】根据意义可知，即，解得；因为每片叶片转一圈需要12秒，即周期为s，，所以；由点P的起始位置在最低点处，即可知时，，即，可得，又，所以.【小问2详解】由（1）可知；令，可得，即，因此可得由题意可得，所以，因此或，解得，所以；即在叶片转动的一圈内，有4s时间点P距离地面的高度不低于100米.18.已知函数.（1）求在上的值域；（2）求在上的单调递减区间；（3）若，（）是在上的两个零点，求的值.【答案】（1）.（2）（3）【小问1详解】化简得，当时，，当时，，取得最小值，，当时，，取得最大值，，故在上的值域为.【小问2详解】令，解得，当时，，满足，故在上的单调递减区间.【小问3详解】令，则，，，，，设，则且，，则，又，且，又，，，，.19.已知且，函数.（1）若，当时，恒成立，求a的取值范围；（2）当时，若在上有最大值，求m的取值范围；（3）当，时，若存在，使得对任意的及任意的，都有，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【小问1详解】解：由时，可得，即当时，恒成立，即函数在上单调递减函数，令，解得，则满足，解得，所以实数的取值范围为.【小问2详解】解：当时，函数，当时，即时，，此时单调递减；当且时，即时，，此时单调递增；当时，函数单调递增，所以在单调递减，在上单调递增，在单调递增，且，令，可得，画出函数的图像，如图所示，要使得上有最大