2024-2025学年北京市高三（上）开学数学试卷

2024-2025学年北京市清华大学附中高三（上）开学数学试卷

一、选择题共10小题，每小趣4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（其中第9题包含解题视频，可打指页眉二维码，点击

对应试题进行查行）

1.（4分）已知集合4={7,0,1},集合B=zWZ|x-2xS0,那么AuB等于()

A.(-1}B.10,I)C.{0,1,2)D.M,0,1,2}

2.（4分）设复数=满足（（2-i）z=2+i,则z在匆平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.14分）a,b,cGR,b>c,下列不等式恒成立的是（：

A.a+b2>a+CB.a'+b>a2-i-c

a,b,c€R,b>c,下列不等式恒成立的是（）

A.a+b2>a+c2

li.a2+b>a2+c

C.ab2>ac

D.a2b>a2c

4.（4分）下列函数中.在M间S.+3）卜一单调说增的曷（）

A.By=-C-y=--

5.（4分）若例*2+8万+/一6旷+„1=0与乂轴，丫轴均有公共点，则实数m的取值范围是（）

A.(-8,9]B.16JC.[9,25)D.[16,25]

6.（4分）已知抛物线x2=4的焦点为F,点A/抛物线上，|AF1=6.则线段AF的中点的纵坐标为（）

-A.C.3E.4

7.（4分）在ZSABO中,(a+c)(^sinA-sine)=，(sinA-sin8),则NC=()

A.n/6B.x/3

8.(4分)已知a,BWR,则“a=R+kn,kWZ"是"sin2a=sin2BVKj()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件I）.既不充分也不必要条件

第lilt/共22页

9.（4分）随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行

三x10”次运算，用它处理一段白然语言的翻译，需要进行2125次运算，那么处理这段门然语言的御译所需时间约为（参考数据：

4

Ig2:=0.301,10'+41=2698）（）

A.2.609x1024B.2.695x103kC.26995x1024^D.26%x1025,

10.（4分）一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大位是（）

A.5B.6C.7D.8

二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.（其中笫1题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看）

I.（5分）已知双曲线C的焦点为（-2,0）和（2,0）,离心率为0,则C的方程为

2.（5分）已知平面内四个不同的点A,B,C,。满足\A0=|丽|=\C0\,若而=；（而+AC）,则（48,AC）=

3.（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种

名为“刍壳[chUmMg]”的五面体（如图），四边形ABCD为矩形,棱EF|AB.若此

几何体中，AB-6,EF-2,Z\ADE和△BCI；都是边长为4的等边三角形，则此几

何体的体积为.

4.（5分）已知函数/（幻=|（31”工。

①当a=0时，f（x）的值域为:

②若关于x的方程f（-x）=f（x）恰有5个不同的实根，则a的取值范围是

5.（5分）已知数列｛an｝满足

①当a=T时，存在k£N：使得

②当a=l时，（a｝为递增数列,且a0<2恒成立:

③存在a£R,使得｛a｝中既有最大值，乂有最小值：

④对任意的aeR,存在为€N•，当n〉n时，|%-2|〈盛恒成立.

其中，所有正确结论的序号为

三、解答题共6道小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

第2贝/共22页

1.（13分）已知函数/（x）=4sin（23x+g）-2siM（cox-。，其中AeR,a>>0,

请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为己知，使函数Mx）存在旦唯一确定，并解簪卜列问迤.

条件①：/'（（））=3

条件②：f（x）最大值为V3-1;

条件③:f（x）在区间［a,b］上单调，且b-a域大值为・

2

（D求窿数Mx）的对称中心；

（1D若方程〃x）=：在区间（0,m）内有且仅有1个实根，求m的取值范围.

笫3贝/共22列

2.（14分）在四棱锥P-ABCD中,E、F分别为AC、PB的中点,PA，平

面ABCD,BC1FC.

(I)若DE|平面PBC,求证：AD=DC-,

（II）若HC=BC=2,直线BC与平面AFC所成的角为（5。,求PA的长.

在四棱锥P-ABCD中，

E、F分别为AC、PB的中

点，PA_L平面ABCD,

BC1FC.

⑴若DE||平面PBC,求

证：AD=DC;

（II）若AC=BC=2,^.

线BC与平面AFC所成的角

为45。,求PA的长.

A

3.（13分）某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分.

现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如表：

第4页/共22页

科普测试成绩X科普过程性积分人数

90WzW100320

75Wx<90210

60Wx<75115

0Wz<60015

用频率估计概率.

(D从该校全体学生中随机抽取•名学生，估讨这名学生科普过程性积分不低于2分的概率：

(II)从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率：

(HI)从该校科普过程性枳分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为P1.

这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低亍1的概率估计值记为出,试判断Pi的大小(结和力论不要求证明).

4.(15分)已知椭砥。:接+芸=1(帅＞0)的离心率为，，左、右顶点分别为4—下顶点分别为a,&,且A4&B2面

积为2.

(D求椭圆C的方程；

(H)点。是椭圆C上一点(不与顶点重合)，直线/P与x轴交于点M,直线&P1/P分别与直线儿外交于点N、D,求证：

第6页/共22列

△A\DNAB2DM^的面枳相等.

5.（15分）设函数/'（幻二^-。）%］为曲浅C：），=/（x）在z=-l处的切战。

⑴求I的方程;

（»）求£6）的极值;

（川）若曲线C除了切点之外都在直线1的上方,求实数a的取值范腺

第6页/共22页

IaUa12a10\

6.(15分)设m,•，且m,n都是奇数，m行1列的数表A=\nn..n满足对任意的iG{l,

l。21。22a2nI

\::2nt2"■^max/

2,.......n},jWH,2,........,n},都有a3€(—1-1),记S,=a1+a2+—+an,Ti=a,+a2j+—+amj

若5>0,则称第i行为“正行”。若T0<O,-1则称第j列为“负列”，记A中正行与负列的数目之和为G(A).

⑴设4直接写出G(4),G(M的值:

(H)求正：G(A)>1;

(HD求G(A)的蜃大值.

/共ZZ支

2024-2025学年北京市清华大学附中高三（上）开学数学试卷（答案&解析）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（其中第9题包含解题视频，可扫描页眉二

维阳，点击对应试题进行查看）

1.解:•••集合.A={T,0,l}.

集合l?={z€Z---iS0）={r€Z|Uszs2）={0,1.2）.

.,.AuB={-l,0,1,2L

故选：工

t解析】先分别求出集合A,B,再由并集定义佳求出AuB.

2.解:由（2-i）z=2+i,

1

得z，=T27T=-II=丁3-h=T3+/4,

则z在夏平面内所对应的点的坐标为（G，+j,位于第一象限.

故选：A.

【解析】把已知等式变形，再由更数代数形式的乘除运算化荷，求出x的坐标得答案.

3.解:对于A,若|同<卜|,则（/〈己透项不成立，故A错误：

对于B,a2=a2,b>c,

由不等式的可加性可知，a2+b>a2+c故B正确.

对于C、D,若a=0,则选项不成立,故C、D错误.

故选：3.

解:对于A,若|b|<|c|JM（〃<乙选项不成立,故A错误；

对于B,a2=a2,b>c,

由不等式的可加性可知，a2+b>a2+c故B正确.

对于C、D，若a=0,则选项不成立，故C、D错误.

故选:B

【解析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

沈8页/共22页

4.解：根据题意，依次分析选项：

对于A.y=-Inx.在区间(0.+8)上单调说她,不符仆㈱M:

对于B,y=：=G)二在区间(0,+8)上单调递减，不符合题意；

对于C,y=%是反比例函数，在区间S.-8)上单调递增,符合题意：

对于D,/=38=｛；］：：］；在区间(0.1)上是娥函数，不符合网意。

故选:C.

【解析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案.

5.解：国产+8x+必-6y+m=0,整理得(x+4)2+(y-3)z=25-m(?n<25),

由于圆与x轴和y轴均有公共点,

所以425-m>3,257n>4旦旦m<25：

解得mW9.

故实数n的取值范困为(-8,9］.

故选:A.

【解析】首先把圆的■-般式转换为顶点式.进一步求出实数m的取值范困.

6.解：设点A的坐标为(z°，y。)，

因为抛物线犬=4的焦点为尸(0,1),准线方程为y=-l,

由抛物线的定义得\AF\=y0+1=6,

解得为=5,

所以线段AF的中点的纵坐标为-=3.

2

故选：C.

【解析】设点A的坐标为G。，%),由抛物线的定义得\AF\=y。+1=6,可得如再由中点坐标公式求解即可.

7.解：由正弦定理—=—=—=2RR为三角形外接圆半径)可得：

。向八un&QnC

sin"=^,sinF=宗sinC=呆

所以(a+c)(sinA-sint)=—sin8)可化为(a+c)(a-c)=h(a-6),

即a2+b2-c2=ab.

由余弦定理可得：cosC=驾F=7T=；.

2a3lab2

又CG(an),/.c=n-

故选:B.

【解析】首先由正弦定理推论，将条件中的正弦值化为边，iff运用余弦定理，求得c的余弦值，即可得c的值.

69贞/共22页

8.解:①当。=口+1<11,1<£2时,则2a=2B+2kJi,k£Z,

sin2a=sin(2j+2k)=sin23,充分性成立.

②当sin2a=sin2/时，则2a=2B+2kn,kWZ或2a+2P=n+2kn,k€Z,

a=/+k或a+j=1+kn,k€Z,，必要性不成立,

故选：A.

【解析】利用正弦函数的性旗,结合充要条件的定义即可判断.

9.解：•.•计卯机每秒能进行三x10"次运克，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行2(28次运第,

4

设所需时同为4秒，则-X10,5c-2?8,

4

等式两边同时取对数得+IglO15+，/=128rq2,

BPlg5-21g2+15+lgt=12Slg2,

则Igt=130fg2_理5-15=131ig2-16=131x0,301-16=23.431,

产4'l-10，unxl0r-2.6USxl0::^

故选：R.

【解析】所需时间为l秒，根据题意建立方程，然后利用取对数法，利用对数的运算法则进行化简求值即可.

10.解：求学生人数的最大值先假设人数大于6,设7个人：ABCDEFG,

每相邻的3人取成一级则有ABC,BCD,CDE,DEF,EFG,共5组,

因为任意相邻的3人中都至少有2名男生,所以这5期的男生人数之和是大于等于10.

每相邻的5人取成一组，则有ABCDE、BCDEF,CDEFG,3组，

因为任意相邻的5人中都至多右3名男生，所以这3组的男生人数之和是小于等于9.

两者显然矛盾，故人数不可能大于6；

当人数为6时，用1表示男生,0友示女生，则可以.01101,符合题意.

故选:B.

【解析】根据题海，用反证法证明“人数不可能大于6”，再举出实例说明“人数为6”符合题就，即可得答案。

二、填空题共5道小题，每小跑5分，共25分.(其中第1题包含解题视频,可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看)

3no负!共22人

1.解：根据胭意可设所求方程为l,(a)O,b>0).

3\二="，解得a=41,C=2,b=2,

L2=c2-a\

•••所求方程为---=1.

22

故答案为：---=1,

22

【解析】根据题意,建立方程，即可求解.

解：根据题意，若AO=^(7B+AC),AO=^(AO+OB+AO+^.2.OC),

变形可得：OB+OC=Q则0为BC的中点，

乂由\AO\=\BO\=\CO\,则。为△ABC的外心，

故△〃!!：为直角三角形且AB_LAC,

故(AB>AC}=90°.

故答案为：90°.

【解析】根据题意，分析可得。为BC的中点，同时0是△/18C的外心，由此分析可得答案.

3.解:过F作F0_L平面ABCD，垂足为0,取BC的中点P,连结OP,PF,

过。作B0的平行线QH,交AB于Q,交CD于H,

•；△ADE和△BCF都是边长为4的等边三角形，

OP=QB=1(/1F-EF)=2,PF=E-2?=2\万；.

OQ=\BC=2.OF=y/PF2-OP2=2也

采用分割的方法,把该几何体分割成三部分.

如图，包含一个三棱柱EMN-FQH,两个全等的四枝推:E-AMND,F-QBCH,

这个几何体的体积V=V於翔阳而”+2匕“欧

SQFHxMQ+2x上S拽携第xCO=-x4x20x2+2x-x2x4x26-

323

故答案为：A662V

【解析】利用分割的方法，把几何体分割成三部分，可得一个三棱柱和两个四楂俳，其中两个四棱锥的体枳相等,再由已知求解得答窠.

»11%/共22支

4.解:①若*0,则/(X)=j(D-x-0-

当xWO时.f(x)=GV在(-8,0］上单调递减.可得f(x)>Q)°=1;

当x>0时，f(x)=2x,f(z)在(0,+8)上单调递增,f(x>>0,

根据1,+8)U(0,+8)=(0,48),可知f(x)的值域为(0,+8)；

②对于方程f(-x”f(x),显然x=0是该方程的1个根

若方程--z)=f(x)有5个不同的实根，则除z=0外，该方程的4个根构成互为相反数的2对.

由此可得：关于z的方程f(-z)=f(x)有2个正实数解，2个负实数解.

在同•坐标系内作出函数v=2z,y=C)',y=22的图像。函数y=2x与

v=2t的图像相交于点(1,2)和(2,4).

因此,方程f(r)=f(x)的2个正实数根分别为x=l和x=2,两个负实数根分别为x=-l与z=-2.

由/(x)=［(2)逐可知：

(2x,x>a

当a20时,在y=2x的图象上，点(a,2a)在点(1,2)的下方,可得0Wa〈l;

当a<0时，在y=2x的图象匕点(-。2。)在(1,2)的下方或重合,可用TWa<0.

综上所注,TWa<l,即实数a的取值范围为［T,I).

故答案为：

【解析】①当a=0时，分别求出f(x)在(-8,0］与(0.+8)上的值域，然后取并集，即可得到f(x)的值域:

②根据题意产0是方程f(-x)=f(z)的1个实数根，若方程M-z)=f(z)恰有5个不同的实根，则咳方程的另外，1个根恰好是2对互为相反数的根，因此将f(x)图象

位于y*l左边的部分翻折到y轴的右边，该曲线与右边的图像有2个交点，进而根据图像判断出实数a的取值范围.

第12贝/共22贝

5,解:Bl为4.]■Y-aj+2,所以心=，：+2,所以aBtl-4=~（an-4）,

所以数列（｛-4）是三+4以为首项,2为公比的等比数列；

2

一).02…(2.(>:

所以口a2-4■（J

对于①.当（好T时.

n的值不存在，即不存在kWN*,使得g=2命题①错误;

对于②，当a=l时《=",

因为是单调递诚的.（：）是球调递怆的，且

Q-3”'风厂。,

所以（HJ）为递增数列,且必V2恒成立.命咫②正确:

对于③，存在aWR,使得｛a｝中既有收大的，又有嫌小但;

对于④.对任意的aWR.存在%€N•，当n>n«时.|a!3-2|<1212JH成立.

其中，所有正脩结论的序号为②④,

故答案为：②④.

rz2

【解析】由41♦产V+2，4.「4=/a：-4）利｛0/一|抉而数列是以小一4为苴顶，2为公比的

2

等比数列，进《=4+（J-4）•，而由此判断各选项能求出结果.

三、解答JS共6道小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

I.解：I】)函数f(x)=2sin(2<A)X+：)—Zsin2(3*-：)=Aco$2o>x|1—cos(2aix—g)]

XCOS22-X+COS(zwx-0-1

・G♦1)cos2cx+ysinZivr-1,

若选②，/(x)2=J(A+1)2+；-1=>/3-1.

解得'=1或卜=-2,

当X=1H.f(x)■VJsin(2®x+g)-1，

当X=-2时，/(x)=V5sin(2wx-3-l,

因此选②，可以求得两个不同函数,不符合题意，

即条件②不可选:

于超选条件①③,由①知./(0)=>1-1=2

解得z=l./(x)=V3sin(2<MX+=1;

由③知，函数f(x)的公小正周期为n.

即，广K•解汨w=l,/(x)-V3sin(2x+|J-1.

函数Nx：唯一确定.

由2x+：HreZ,

褥x=-t+1,kGZ,

(।J1)QcZ)；

所以由iirG〉的对称中心为

第13贞/共22页

（I【）由⑴知,/（x）=V3sin（2x+1）-lr

由/（x）=g得sin（2x+1）=y.

当xGSm）时，2x+1€（1.2m+1）,

依题总sm（2x+：）=浮在（0,m）内有且仅有1个实根，

,Zu97T

则H1-<2m+-<1-

333

解得+6<m<

所以m的取值范困是（（-，”].

【解析】（1）利用二倍角的余弦公式化简函数Mx）,选②求得两个人（ft.对应两个不同函数,不符合题意：由条件①③求出函数解析式,再借助正弦函数

性质求出对称中心；

（II）确定函数f（x）相位的范围，由零点情况列式，即可求出m范园.

2.解：（D证明：因为PA_L平面ABCD,BCu平面ABCD,

所以PAJ_BC,

乂BC_LPC,且ACnPC=C,

所以BCJ_平面PAC,

乂ACu平面PAC.

所以BCLAC

因为DE|平面PB&DEc平面ABCD,且平面ABCDn平面PBC=BC,

所以DEI|BC,

所以DE1AC,

又因为E为AC的中点.

所以AD=DC-,

（2）因为PAJ■平面ABCD,BCc平面ABCD,所以，PA1BC,

又因为BC_LPC,且AcnR=C,所以BCJ_平面PAC,

又因为Ku平面PAC,所以BC_LAC,

所以以二为坐标原点,CA,CB所在直线为X,y轴.过。作PA的平行线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示，

第Mm/M22W

R

设AP=a：a>0）,则（：（0,0,0）,4（2,0,0）,8（0,2,0））出0"），尸（1,1,4）,所以CB=（0*2f0）,CA=（2>0»0）,CF

（"再

设平面AFO的法向量为n=（x，y，z）.

[n.CA=2x=0

所以I-左上J〃解得x=0,取z=2,尸-a,所以n=（0»-a»2）,

[n,CF=x+y+7=0

因为直线BC与平面AFC所成的角为45°,

所以«n45=|8f=—*=辛解得a=2,

荷筒ME丁

所以PA的长为2.

解：（1）正明：因为PA_L平面ABCD,BCu平面ABCD,

所以PA_BC.

又BC_LPC,且ACnPC-C,

所以BC一平面PAC,

又ACu平面PAC,

所以BC_AC,

因为DE|平面PBC,DEu平面ABCD,且平面ABCDn平面PBC=BC,

所以DElBC,

所以DE_AC,

又因为E为AC的中点.

所以AD=DC：

（2）因为PA_L平面ABCD,BCu平面ABCD，所以PA_LEC,

乂因为BC_LPC.JULACnPC=C,所以BC_L平面PAC,

又因为Mu平面PAC,所以BC_LAC,

所以以C为坐标原点，CA,CB所在直线为x,y轴，过C作PA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

»15S/共22页

R

设AP=a(a>0),则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2»0),P(2,0,a),F(1,1,%),所以CB-(0,2,0),CA=(2,0,0)rCT=

(1,1'D

设平面AFC的法向量为n-(x'yz),

In+CA—2x-0，/、

所以1n*CF乂+丫+7=O'解得取z=2，y=-a，所以n-(0»-a>2),

<2

因为直戏BC与平面AFC所成的角为45°,

所以sin45'一|85＜。瓦元＞|一鬻潟-?解得8=2,

所以PR的长为2.

【解析】(1)根据条件得出DE|BC,再利用线面平行的性质定理即可求解：

⑵设AP=a(a＞0),建立空间直向坐标系，求出且线BC的方向向量与平面AFC的法向量，由向量夹角公式建立方程，求解即可.

(1)根据条件得出DEIBC,再利川线面平行的性质定理即可求解；

(2)设AP=a(a〉O),建立空间直角坐标系，求出直线BC的方向向量与平面AFC的法向量，由向量夹角公式建立方程，求解即可.

3.解：(D由图表可知从样本空间中随机抽取一名学生。

科普过理性枳分不低于2分的人数的频率为—=1,

602

，估计全校学生中随机抽取一人，该生科普过程性积分不低于2分的概率为

(II)随双抽取三人,得分为6分的可能情况有：

①1人0分、2人3分：

②1人I分，1人2分，1人3分；

③3人郴2分.

第16页/共22页

•ngif•

P=2£=1P=21=1P=22=1p，=*=L

6(41fp4‘606’603’

；•随机取3人得6分的概率为：$入：xG)+,；*：xGx：x：+G)

(III)根据题意从样本中科普过程性积分不低『1分的学生中抽取1人,得1分、2分、3分的频里依次为二二；则任意取21中同

399

学，其积分之差的绝对值不超过1的可能有(1分，1分},{1分，2分},{2分，2分),{2分，3分},{{3分,3分},5种可能，

任意取2名学生，其积分之差的绝对值不低于I的可能有…分，2分},U分'3分),12分'3分)三种可能，匕=2-"2一3：+

-Pl>P2-

【解析】(1)利用图表及古典概率计算公式求解：

(II)分类讨论,结合相互独立事件的乘法公式计件即可:

(IH)依火分类讨论计算PI，P2,并比较大小即可.

a2=b2+c2

eg

4.解:(D由题就可得；=7解得a=2,b=l,c=Q,故椭圆方程为

-a+2b=2

-2

一+J=1；

tlD证即：由曲意A1(-2,0)M2(2,0),84Q，l),82(0，一D，因为点P不与椭圆顶点田合，所以直线BF

斜率存在且不为0,且不等于土:,所以设/P：y="r+1(k#0，kzx

y=kx+1

联立2=>(1+4〃2)J+8kx=0,

~+y=1

4

显然△=61k'>0,由韦达定理可知x+0=孙=---

P1+4&Z

8k3I，

从而7p=kxp+l=—+l=—,

所以p岛,盖)

在丫=kx+1中，令产0,得x=_y.所以M(-^0),

卜--1

易知AB：y=-x-1,联立

22lyU女工+1

注意到直线A1P的斜率为14?(l-2fc)(l-2^)142k

2!2!(1-1口-4女工)2a2广2(l-2fcf

所以A.P:y=----T(x+2),

12(1-2A)

fy-1/一+

・所以

l?=3国(工+2)U=-左一

记点Ai到DN的距离、点B2到DY的距离依次为dArDN>dB2-0M

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则SAlDN=-d,「一心，

同理;*3・|则=；*T=-47词匕+：।=I】言।

综上所述,△A/N与A%。”的面积相等，命题得证。

【解析】(D由题意列出关于a,b,c的方程组.求出a・b即可得解：

(11)由题意引入参数k表示/P的斜率，进一步表示出M,D,P,N的坐标(含参)，结合弦长公式、点到直线的距离公式表示两个三角形的面积即可得证。

5.解:(1)易知f(x)=(x-a+1)/,所以f(-1)=

〃T；=■詈，又

所以的方程为y=-久x+1)-¥=-：》一¥，:

即为ax+cy+l+2a=0.

(l)/(x)=(x-a+De?,令f(x)-0,得x=aT,

当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表:

X(-8,a-1)a-l(a-l,+8：

f(x)—0+

f(x)单调递减-e2T单调递增

所以当x=al时，函数Nx)有极小值，极小值；c，r,为无极大值；

(IH)若曲线C除了切点之外都在直纹的上方，

即'(七)一(一—-1•)=(工一a)e*+3*+上乎24当且仅当X=-1时取得等号。

令()(22

.9X=X-a)e+7V^+,T,g(x)-(x-a+l)e+C

M幻=(x-a+l)e?.令MO/'(x)=(x-a+2)e2,

“幻=0,令有产a-2,当

x变化时,h(x)与h(x)的变化情况如卜表：

X(一co,a-2)a-2(a-2,+8)

h'(x)二0+

h(x)单调递减-e3-2单调递增

所以当x=O,2时，函数h(x)有极小值，极小值为c")也是最小值.

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显然当x<a-2时，h(x)〈O,且zf8时，h(z)无限趋向于零,-3x又h(a-

1)-0,作山其大致图象如下：

若aWO,则g'(z)可由h(x)向下平移-a三个单位得至%又g'(T)=0,此时在(-«>，-1)上g(x)单调递减，(-

8

1,+8)上g(z)单调递增,所以g(x)2晨-1)=0,符合题意;

若a>0,则g'(x)可由h(x)向上平移个单位得到，

此时令m(x)-c2-x-IRghdxgom'M-c*-1,

不难得出x〉0时,m'(x)>0,即m(x)单调递增，

x<0时,m'(x)<0,即m(x)单调递减，

即m(x)》m(O)=O,所以c?2x+l恒成立，

贝I]a-1>a=；>^(Rightarowg\x)min=g'(a-2)=一:+J<0

由于Uxf8时，h(x)无限趋向于零，所以当h(x)向上平移时，在(-8,a-2)之间必有一个零点，而x>a-l

时,h(x)》O.所以(a-2,a-D之间也必有一个零点，

不妨设两个零点依次为X1，X2(X1V必),故在(±8，刈),(m，+8)上g(x)》o,即g(x)单调递增，在(X/X2)

上,g(x)<0,即g(x)单调递减，

x--8时，(x+QiV0,，+=2(%-2)+1V0即此时有g(x)<0,不符题意:

C3TC

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综上aWO,所以实数a的取值范围为(-8,0].

【解析】。)求导得/(幻=。-。+1)式结合导数的几何意义得切线斜率，利用点斜式写出切线方程即可：

(H)利用导数研究极值的方法计算即可：

(川)将问题转化为f(x)与切线方程的差函数恒大于等于零,根据*=-1处的相应函数值及零点存在性定理含参分类讨论即可.

-1-11

6.解：⑴数表4=1-1-1由题意可得Si=-1,S2=-LS3=1.

11-1

故只有第3行是“正行”。

T1=1,7*2=-1/3=-1，

.•.第2,3列是“负列”，第1列不是“负列”，

故GGM=1+2=3,

11-1-1-1

数表%=11-1-11,

-1-11-11

由题意可得St=-1,52=-l,St=1,

二只有第2行是“正行”，

7\=1,7*2=1万3=-1,T4=-3,Ts=1,

.•.第3/列都是“负列”，第1,2,5列不是“负列”.

G«2)=1+2=3,

综上，G5i)=3,G(/h)=3.

(ID证明:用反证法证明G(A)》L

由数目之和G(A)WN,假设G(A)=O.

即数表A没有“正行”.也没仃“负列”。

m

即任意lSlSm,s$0,则数列中所有数和£匕|&$0,

且任意1则数表中所有数的和£^7)>0,

...数表中所有数的和为0，

由题意任意的iW{1.2,jW(1,2,n),n(€{-1,1),

第2OJ(/共22列

即数列中1的个数与T的个数相同，

.♦•数表中必有偶个数，

但由于inn均为奇数，数列中共有的个数，m为奇数，

这与数表中必在偶数个数矛盾，

故假设半误，G(A)=O不成立，

成立.

(HI)当n=l时,数表为m行1列数，

若则和行都为I,则这1行列数之和m>0,不可熊为“负列”，

1

1

由数表.|..

■

■

1

.•.当n=l时,G(A)最大为m,

同理可知当m=l时,