2024年天津高考数学真题（附答案）

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学

本试卷分为第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟,第

I卷1至3页，第n卷4至6页.

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘

贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，

将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题）

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号.

2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

•如果事件AB互斥,那么尸（A-B）=P（A）+P（B）

・如果事件A，8相互独立，那么尸（码=尸⑷尸（8）.

4

V=-nRi

•球的体积公式3,其中A表示球的半径.

V=-Sh

•圆锥的体积公式3,其中S表示圆锥的底面面积，人表示圆锥的高.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1集合”={123,4},，={2,3,4,5},则AB=（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{1}

2.设。力£R,则“/=〃，，是"3"=3〃”（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.下列图中，相关性系数最大的是（）

4

A.B.••••.

>

Ox

D.

ox

)

AeTcosx+x'e-xsinx+4x

AB.=C.=D.，=

-y=^-7y、~~~y">~—

X+1r+1x+1

5.若a=4.2一°七/?=4.20\《'=—•2»则ab,。的大小关系为（)

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

6.若相，〃为两条不同的直线，。为一个平面，则下列结论中正确的是（)

A若〃〃/a,〃ua,则m//nB.mHa,nila,则加〃〃

C.若加〃a,〃_La,则m_L〃D.若D〃a,n.La,则tn与n相交

已知函数/（犬）=sin31公v+gj®>。）的最小正周期为兀.则函数在兀n

7.的最小值是（）

12,6

A.C.OD

2-1

y~

8.双曲线］=1（67>0,b>0）的左、右焦点分别为《、A.P是双曲线右支上一点，且直线夕居的斜

a~

率为2.鸟是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）

AC.-JiD

-28+K

9.一个五面体ABC-DEF.已知AD//BE//CF，旦两两之间距离为1.并已知

AD=\,BE=2,Cb=3.则该五面体的体积为（）

A.3B.述+_LC.正D.迈」

642242

第H卷

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2,本卷共11小题，共105分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给

3分，全部答对的给5分.

10.已知i是虚数单位，复数+.

（3x3丫

H.在4+—展开式中，常数项为_______.

53J

12.（工一1）2+），2=25的圆心与抛物线），2=2/“（〃>0）的焦点/重合，A为两曲线的交点，则原点到直线

AF的距离为.

13.五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A的概率为；已知乙选了A

活动，他再选择笈活动的概率为.

1uurULTuuu

14.在边长为1的正方形4BCO中，点E为线段C7）的三等分点，CE.DE.BECBA+juBC,则

〃=；若/为线段破上的动点，G为A尸中点，则A/.OG的最小值为.

15.若函数/（x）=2\jx2-cix-|ar-2|+1有唯一零点，则a取值范围为

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

9a2

16.在中，cosB=—，h—5,—=—.

16c3

(1)求。；

(2)求sinA；

(3)求cos(3—2A).

17.已知四棱柱ABCO-A/iG。中，底面ABC。为梯形，AB//CD,4小，平面ABC力，ADJ.AB,

其中A3=AA=2,AO=OC=1.N是8c的中点，M是。2的中点.

(1)求证RN〃平面。与加；

(2)求平面CgM与平面BBCG的夹角余弦值;

(3)求点8到平面的距离.

r221

18.已知椭圆T+v方=1(4>方>0)椭圆的离心率e=5.左顶点为A,下顶点为AC是线段08的中点,

其中趾=乎・

(1)求椭圆方程.

(2)过点(0,-的动直线与椭圆有两个交点P'Q，在)'轴上是否存在点了使得恒成

立.若存在求出这个丁点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由.

19.己知数列｛4｝是公比大于0的等比数列.其前〃项和为S”.若卬=162=%-1.

(1)求数列｛4｝前〃项和s〃；

(2)设2二，卜〃-?，々=1,其中人是大于1的正整数.

[bn_i+2k,ak<n<ak+]

(i)当〃=4+i时，求证：b,i>ak-bH；

<ii）求

r=l

20.设函数/（x）=xlnx.

（1）求/（x）图象上点（1,7（l））处的切线方程；

（2）若-五）在x«0,+8）时恒成立，求。取值范围;

⑶若%,%«0,1）,证明归|再-司上

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学

本试卷分为第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟,第

I卷1至3页，第n卷4至6页.

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘

贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，

将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利！

第I卷（选择题）

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号.

2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

•如果事件AB互斥,那么尸（A-B）=P（A）+P（B）

・如果事件A，8相互独立，那么尸（码=尸⑷尸（8）.

4

V=-nRi

•球的体积公式3,其中A表示球的半径.

V=-Sh

•圆锥的体积公式3,其中S表示圆锥的底面面积，人表示圆锥的高.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1集合”={123,4},，={2,3,4,5},则AB=（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{1}

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.

【详解】因为集合A={123,4},B={2,3,4,5）,

所以8={2,3,4},

故选：B

2.设a,〃wR,则“必=尸”是"3“=3"’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.

【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和3"=3'都当且仅当。=人，所以二者互为充要条件.

故选：C.

3.下列图中，相关性系数最大的是（）

%

••

••

OX

6x

【答案】A

【解析】

【分析】由点的分布特征可直接判断

【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较

好，呈现明显的正相关，m值相比于其他3图更接近1.

故选：A

4.下列函数是偶函数的是（）

ex-x2「cosx+x2-ex-xsinx+4,r

A.y=---------B.v=--------------C.y=--------D・y=­—

x2+\x2+\x+1

【答案】B

【解析】

【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.

【详解】对A,设/(力=号±,函数定义域为R,但〃一1)二屋」,〃1)二三，则〃一1"1)，

故A错误：

对B,设g3=co：j；’,函数定义域为R,

且g(-X)=8S,+(x)=COSj+X=g(x),则g(x)为偶函数,

故B正确；

(-X)+1尸+1

对C,设〃(刈=三；，函数定义域为{xlxw-l},不关于原点对称，则〃(力不是偶函数，故C错误;

L、r,/、sin戈+4x-£“一、，-、，E、I/八sin14-4/\-sin1-4

对D,设°(x)=----——，函数定义域为R,因为8(1)=------,°(Tt)=--------,

eee

则9。)工*(—1),则0(x)不是偶函数，故D错误.

故选:B.

()

5.若〃=4.2Tb=4.2\c=log4.2().2,则〃，b,。的大小关系为)

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.

【详解】因为y=4.2、在R上递增,且-0.3<0<0.3,

所以0v4.2-03<4,2°<4,203，

所以0V4.243viv4.2°3,即0VQ<1</?,

因为丁=log42x在(0,+0。)上递增，且0<0.2<1,

Wlog420.2<log421=0,即C<0，

所以Z?>4>C,

故选：B

6.若〃7,〃为两条不同的直线，。为一个平面，则下列结论中正确的是()

A.若根//a,〃ua,则6//〃B.若mHa,n/la,则〃“/〃

C.若加〃a,〃_La,则6_L〃D.若m//a,nla,则切与〃相交

【答案】C

【脩析】

【分析】根据线面平行的性质可判断AB的正误，根据线面垂直的性质可判断CD的正误.

【详解】对于A,若相〃。，〃ua,贝口几〃平行或异面，故A错误.

对于B,若〃则私〃平行或异面或相交，故B错误.

对于C,mHa,nla,过〃z作平面夕，使得=

因为mu/7,故m//S,而sua,故〃故加_!_〃，故C正确.

对于D,若相〃a,〃_La,则〃?与〃相交或异面，故D错误.

故选：C.

I711jr7T

7.已知函数/(x)=sin3x+(口>0)的最小正周期为兀.则函数在一五,5的最小值是()

63

A.qB.——C.OD

22

【答案】A

【解析】

【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出①，得/(x)=—sin2x,再整体求出工£培,2时，2x

的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.

(兀、2兀2

【详解】/(x)=sin3a)x+—=sin(3<wx+n)=-sin3cox,由T=——=兀得。=—,

k3J3G3

7in

即f(x)=-sin2x,当xw一展5时，2XE

6,3

画出/(x)=-sin2x图象，如下图，

兀71

由图可知，/(%)=-sin2x在一正，7上递减，

所以，当x=当时，f(x).=-sin-=-^

6/、‘min32

2

rv2

8.双曲线二—2T=1（〃>0,b>0）的左、右焦点分别为月、K.P是双曲线右支上一点，且直线PK的斜

CTb~

率为2.△PG5是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）

A,工上=|B.r_r=Ic.工-匕=iD.s_r=i

82842848

【答案】C

【解析】

【分析】可利用用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设|Pg|二m,由面积公式求出"，，

由勾股定理得出c,结合第一定义再求出

【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，/4尸鸟=90。，设|尸周二加，

2

NP56=a，NP"B=2，由&”=tan”=2,求得$抽4=7，

因为/月尸鸟二90。，所以心6•攵%二一1,求得％%二—：,KPtan6>2=l

2-

sin"=上,由正弦定理可得：|尸用：归周:忻图=sina：sina：sin9（）o=2:l:j，

则由归闾=相得归国=2〃7,忻修=2（7=后77,

由％"2=』P"HP周=g"2，〃=8得，〃=2及，

则忸用=2后,|P£|=4及，阳用=2c=2c=,

由双曲线第一定义可得：|尸制一|”|=2。=2&，。=血，人J?二7=布,

22

所以双曲线的方程为—-^-=1.

28

故选:C

9.一个五面体ABC-DEF.已知AD//BE//CF，且两两之间距离为1.并已知

AD=LBE=2,CF=3.则该五面体的体积为（）

B

3>A,13y/31

422~4__2

【答案】C

【解析】

【分析】采用补形法，补成•个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.

【详解】用一个完全相同的五面体—LMN（顶点与五面体A3C-O,一一对应）与该五面体相嵌,

使得D,N；E,M；£L重合,

因为AD〃8E〃b,且两两之间距离为1.AD=1.BE=ZCF=3,

则形成的新组合体为一个三棱柱,

该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,

“_1)_11一百一百

^ABC-DEF-^ARC-HU=~XX~X=~

B

第n卷

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2.本卷共11小题，共105分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给

3分，全部答对的给5分.

10.已知i是虚数单位，复数（、污+i）•（逐一2i）=.

【答案】7-6i

【解析】

【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.

【详解】（石+i）•（右—2i）=5+&i—26+2=7-6.

故答案为：7-占.

（3/丫

11.在二+二的展开式中，常数项为_____.

U-33J

【答案】20

【解析】

【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.

，q3、6（2、6-r/3V

【详解】因为1•+二的展开式的通项为却|=G弓—=36-2rC；x6（r-3）,r=0,l,...,6,

kA）\A7\>

令6（-3）=0,可得r=3,

所以常数项为3°或=20.

故答案为：20.

12.（X-+）/=25的圆心与抛物线），2=2内（〃〉0）的焦点/重合，A为两曲线的交点，则原点到直线

AF的距离为.

4

【答案】-##0.8

5

【解析】

【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A及AF的方程，从而可求原点

到直线AF的距离.

【详解】圆（X—1y+丁=25的圆心为尸（1,0）,故］=1即〃=2,

由！（：-1）+"=25可得12+2—24=0,故x=4或户-6（舍），

［旷=以

4

故A（4,±4）,故宜线4b：），=±3（工_1）即4X_3），_4=0或41+3），―4=0,

故原点到直线AF的距离为d=出=±,

55

4

故答案为：y

13.A民CO,E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A的概率为；已知乙选了A

活动，他再选择8活动的概率为.

【答案】①.|②.g

【解析】

【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选

了A活动，他再选择4活动的概丞.

【详解】解法一：列举法

从五个活动中选三个的情况有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况，

其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

则甲选到A得概率为：P=—=-:

105

乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再选则8有3种可能性：ABC,ABD,ABE,

故乙选了A活动，他再选择A活动的概率为3=1.

62

解法二：

设甲、乙选到A为事件M,乙选到B为事件N,

C；5

1

乙选了A活动,他再选择B活动的概率为P(N|M=言

2

故答案为：—；g

1iiuruiruun

14.在边长为1的正方形ABC。中，点E为线段C。的三等分点，CE=QDE,BE=ABA+〃BC则

2+〃=；若/为线段的上的动点，G为A/中点，则的最小值为

45

【答案】①.一②.一一

318

【解析】

【分析】解法一：以｛84,8。｝为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得％+〃，设BF=kBE，

IIIMImiu

求4兄力G，结合数量积的运算律求4b・OG的最小值：解法二：建系标点,根据向量的坐标运算求BE，

Iuutluuu

即可得2+",设/（，,-3a）,4G--,0,求A〃,DG，结合数量积的坐标运算求A厂.OG的最小值.

1UUT7UWUUTUIUUUT1UlTUIH

【详解】解法一：因为CE=—。E，即CE=—B4,则BE=BC+CE=—84+BC,

233

14

可得2=3,〃=1，所以2+〃=3；

由题意可知：BC=BA=1,84BC=0,

因为尸为线段座上的动点，设Bb二ZBE=gkB4+〃BCMw[0,l],

则A尸=A3+8/=+=左-l）3A+k8C,

又因为G为4尸中点,

IM

可得AFDG=ikBCk\BA\k\BC

（卜2132J

1©I5f,6?3

=+kk-5-W

2139<

又因为Zw[0,l],可知：当&=1时，A户.OG取到最小值一亮

1o

解法二：以8为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

则A(TO),8(O,O),C(O,I),O(TI),E(TI)

可得8A=(-l,O),8C=(O,l),8E二.13'1『1

-A=—4

因为=+=则《3,所以几十〃=一；

.〃=1

因为点尸在线段8E:y=—3x,xw-1,0上，设尸（白,一3。）.1

30'，

67-13

且G为A尸中点，则G---,一a

22

fd+13八

可得AF=(〃+1,-3〃)，OG=

I22)

\2

3)(223

则A/・OG=^——Lf——a-\=5a+—

225J10

且一：,0,所以当时，A户.OG取到最小值为_5_

318

45

故答案为：-；——

318

15.若函数〃x)=24y=0¥-同一2|+1有唯一零点，则。的取值范围为

【答案】(-6,-1)=(1,6)

【解析】

2

ax-3,x>

【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数g(x)=2—at与力(x)二•2，则

\-cix,x<7

两函数图象有唯一交点，分。=0、。〉0与。<0进行讨论，当。〉0时，计算函数定义域可得工之。或XKO,

计算可得〃£(0,2］时，两函数在V轴左侧有•交点，则只需找到当ae(0,2］时，在)，轴右侧无交点的情况

即可得；当。<0时，按同一方式讨论即可得.

【详解】令)(»=(),即一以二上优一2|—1,

由题可得V一水20,

当〃=0时，xeR,有二卜2|-1=1,则x=±半，不符合要求，舍去;

c2

ax-3,x>—

当〃>0时，则2心_ar=向_2]_]=<

,2

\-ax,x<—

a

_____ax-3,x>—

即函数g(x)=2j7=与函数力(％)=,:有唯一交点,

[-ax,x<—

由F一奴之。，可得工之。或xWO,

当x40时，则ar-2<0,则2一依二辰_2|-1=1一ar,

即4/一4依二(1一ar)2,整理得(4一片卜?-2厩一［=［(2+0)%+1］［(2-。)工-1］=0,

当。=2时，即4x+l=0,即,

当〃«0,2),x=--L或戈=」—>0(正值舍去)，

当〃c(2,+oo)时，x=--!-〈()或］=」-<(),有两解，舍去，

2+a2-a

即当aw(0.2］时•26-ax一向一2|+1=0在xw0时有唯一解.

则当a«0,2]时，zJjp-ar-M-Z+JO在xNa时需无解，

当〃£（0,2],且时，

,2

ar-3,x>—

由函数〃（"=f关于工=2对称，令〃（力=0,可得犬=2■或工=3,

[,2aaa

\-ax,x<—

a

且函数力（力在（髯）上单倜递减,（23、

在一，二上单调递增,

\cia）

令g（x）=y=2>jx2-ax»即——*——=1»

CT才

a

（X）2）,2

故C〃时，g（x）图象为双曲线下-一万=1右支的X轴上方部分向右平移多所得,

Z一

5）2y；、,-+—=+*

由方_/一[的渐近线方程为y__g,

-42

即g（x）部分的渐近线方程为>=21-3）,其斜率为2,

,、2

at-3,X>—

又〃40,2],即力3，；在工？2时的斜率。£（0,2],

.乙a

\-axx<—

ya

令《）=2&_农=（）,可得工或x=0（舍去），

且函数g（x）在®+oo）上单调递僧，

I

—<a

故有，;，解得故1<。<6符合要求；

—>a

ax-3,x<-

当时，则一火=|"―2|-1=，

I

.2

or-3,x<—

即函数gCE)=2jf一以与函数/7(X)=,，有唯一交点,

\-ax,x>—

由.一一arN0，可得x20或xWa,

当工NO时，则冰一2<0,则一双二卬一2|-1=1一ar，

即4/-4⑪=(1一如『，整理得(4—/卜2一2打一1=[(2+°卜+1][(2-〃)]-1]=0,

当〃=一2时，即41一1=0,即1=,，

4

当〃£(-2,0).丫=------<0(负值舍去)或、=—!—0.

2+a2-a

当〃W(TO,2)时，x=----5—>0或1=——>0,有两解，舍去，

'72+a2-a

即当aw|-2,0)时，24r二一/江一2|+1=0在xNO时有唯一解，

则当aw[-2,0)时，2J7二一/优一2|+1=0在xWa时需无解，

当〃£|-2,0),且时，

ar-3,x<—

213

由函数力(4)=,；关于x=一对称,令〃(x)=0,可得x=—或％=一,

a

\-ax,x>—

a

且函数〃(x)在上单调递减，在去：)上单调递增，

(jt)2y2

同理可得：xWa时，g(x)图象为双曲线力-一部二1左支的x轴上方部分向左平移且所得,

4

g(x)部分渐近线方程为y=-2(x+g],其斜率为-2,

VL)

r、2

ax-^^x>—

，在x<2时的斜率〃£|-2,0),

X«e[-2,0),即％(%)=♦

12a

a

令g(x)二242一依二(),可得.1=。或m=0(舍去),

且函数g(x)在(-co,。)上单调递减,

1

-

0>a

3，解得一6<4<—1，故一6<4<—1符合要求;

-

4<a

综上所述，〃£(—6,—

故答案：(-6,-1)7(1,石).

【点.睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数了(工)的零点问题转化为函数g(x)=2j7^Z与函数

r2

ax-\x>—

/小)=•*的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.

1-6LV,X<—

三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

9a2

16.在“8C中，cosB=—,b=5,—=一.

16c3

(1)求〃；

(2)求sinA；

(3)求cos(8-2A).

【答案】(1)4

⑵旦

4

⑶“

64

【解析】

【分析】(1)a=Z,c=3t,利用余弦定理即可得到方程，解出即可:

(2)法一：求出sinB,再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cosA,则得到sinA；

(3)法一：根据大边对大角确定A为锐角，则得到cosA,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可;

法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.

【小问1详解】

设。=2，,c=3f,r>0,则根据余弦定理得b2="+c2_2accos3.

o

即25=4/+9/-2x2fx3zx—,解得，=2（负舍）;

16

则〃=4,c=6.

【小问2详解】

法一：因为B为三角形内角，所以sin8=J1—cos?B=5手

16

45

b

再根据正弦定理得一",即sinA5\fl,解得sinA二立,

sinAsinB丁

16

法二：由余弦定理得COSA="+L-"-=’+6--4-二工

2bc2x5x64

因为Aw（0,兀），则sinA=

14J4

小问3详解】

法一：因为cosB=2>o,且3£（o,兀），所以

16\2J

CB

由（2）法一知sin8=--

16

3

因为。<〃，则A<3，所以cosA二

4

则sin2A=2sinAcosA=2x^x3=",

cos2A=2cos2A-l=2x

4488

1（9,八5近，3/57

cos（B-2A）=cosBcos2A+sinBsin2A=—x—+^-^-x

81616864

法二：sin2A=2sinAcosA=2x—x-=—,

448

-1，

贝hos2A=2cos2AT=2x-

8

因为8为三角形内角，所以sin8=Ji—cos?B=5疗

IF

「二I”//-»4\rt/-».n.r4915y/13>/757

所以cos（8—2A）=cos8cos2A+sinBsin2A=—x-+----x----=—

'）16816864

17.已知四棱柱ABCO-A耳中，底面ABC。为梯形，AB//CD,平面ABC。，AD±AB^

其中A3=AA=2,AO=OC=1.N是4G的中点，M是。R的中点.

（1）求证。N〃平面。片加；

（2）求平面CgM与平面BBCG的夹角余弦值;

（3）求点4到平面CgM的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑶"I

11

【解析】

【分析】（1）取中点产，连接NF,M尸，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得RN〃"尸，

结合线面平行判定定理即可得证；

（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；

（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.

【小问1详解】

取C片中点尸，连接NP,MP,

由N是8c的中点，故NP〃CG，且NP.CQ,

(DDi=；CC\,且RM//CC,

由M是。。I的中点，故=

则有RM〃NP、D、M=NP,

故四边形D、MPN是平行四边形，故D\NHMP,

又MPu平面ONu平面CAM,

故RN〃平面；

【小问2详解】

以A为原点建立如图所示空间直角坐标系,

有A(0,0,0)、3(2,0,0)、4(20,2)、”(0,1,1)、C(l』,0)、C,(1,1,2),

则有。鸟=(L—1,2)、CM=(—1,0,1)、=(0,0,2),

设平面与平面34CG的法向量分别为而=(5，x，zj、"=(W，%，Z2)，

m-CB=x-y4-2z=0n-CB)=x-y+2z=0

则有《i1t222

m-CM=-x,+Z)=0n-BB[=2z2=0

分别取内=X2=1，则有)'|=3、4=1、＞2=1，Z2=0,

即切=(1,3,1)、"=(1,1,0),

,m-n1+32>/22

则cosm,n=||,|=,f==——,

|WJ|-|H|VI+9+1-Vi+i11

故平面。片M与平面38CG的夹角余弦值为2叵；

11

【小问3详解】

由B4=（0,0,2）,平面的法向量为m=（1,3,1）,

I明­"47?\/17

则有」=包,

\m\Vl+9+i11

即点3到平面C8IM的距离为名叵.

11

221

18.已知椭圆乌+与=1（。＞人〉0）椭圆的离心率e=A左顶点为A,下顶点为B,C是线段OB的中点,

〃~h~2

其中%*.=除

（I）求椭圆方程.

（2）过点（o,一|）的动直线与椭圆有两个交点P，Q.在y轴上是否存在点/使得TP-TQW0恒成

立.若存在求出这个丁点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由.

【答案】（1）工+工=1

129

（2）存在7（0"）（-3W14|）,使得TP.TQW0恒成立.

【解析】

【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.

⑵设该直线方程为：y=Ax-1,尸（方方）,。伍,先）,丁（0/），联立直线方程和椭圆方程并消元，结

合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用k,i表示77），再根据TPTQWU可求，的范围.

【小问1详解】

因为椭圆的离心率为©=；,故。=2c,〃=6c，其中c为半焦距，

所以A（-2c,0）,0,_,故S“BC=3x2cxc=3T,

故c=J5，所以a=2\/J，b=3,故椭圆方程为：―+―=1.

129

【小问2详解】

31