2025-2026学年山西省晋中市高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山西省晋中市高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={1,2,3,4,6}，B={0,1,3,5,6}，则A∩B=(

)A.{1,3} B.{1,3,6} C.{1,3,5,6} D.{0,1,2,3,4,5,6}2.已知复数z满足zi=1−2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是(

)A.y=x−1x B.y=ex+e4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=4，b=5，c=7，则△ABC的面积为(

)A.46 B.26 C.5.已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F的直线l与C在第一象限的交点为P，且|PF|=5，则l的方程为(

)A.4x+3y−4=0 B.4x−3y−4=0 C.3x+4y−3=0 D.3x−4y−3=06.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是(

)A.若α//β，m//α，n//β，则m，n是异面直线B.若α⊥β，m//α，n//β，则m⊥n

C.若α//β，m⊥α，n⊥β，则m//nD.若α⊥β，m⊥n，m⊥α，则n⊥β7.已知sinα+2sinβ=cosα+2cosβ=62，则cosA.12 B.32 C.−8.已知函数f(x)=−x2+ax,x≤1,aex−1−1,x>1,若f(x)A.(−∞,1) B.(0,1) C.(0,2] D.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某校高一年级共有1000人，随机抽取200名学生作为样本，调查了每天体育运动时长(单位：分)，将统计数据分成6组：[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]，绘制了如图所示的频率分布直方图，则(

)A.频率分布直方图中a=0.015

B.样本数据的极差不大于60

C.样本中位数为55

D.高一年级运动时长低于60分钟的大约有600人10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是A.ω=2

B.将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=2sin2x的图象

C.f(x)图象的对称中心都是函数y=sin(4x+π3)图象的对称中心

11.已知圆F1：(x+2)2+y2=4，圆F2：(x−2)2+y2=16，动圆P与圆FA.曲线C的方程为x29+y25=1(x≠−3) B.|PF1|−2|PF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a，b满足|b|=2，a⊥(a+b)13.已知函数f(x)=ex的图象在x=−1处的切线也是函数g(x)=lnx+a的图象的切线，则a=

．14.已知正三棱锥P−ABC与正三棱锥Q−ABC的底面重合，且P，Q分别在底面ABC的两侧，AB=2，两个三棱锥的体积之比为3：1，若点A，B，C，P，Q都在球O的球面上，则球O的表面积为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}满足a1=12，n−1an=nan−1+n(n−1)(n≥2)．

(1)设bn16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ACD为正三角形，AB⊥AD，BC⊥CD，E为棱PD的中点．

(1)求证：AE//平面PBC；

(2)若AB=AP=2，求平面EAD与平面EBC夹角的余弦值．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=alnx−x+1x，a∈R．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若存在正实数k，使得f(x)>0成立当且仅当x∈(0,k)，求a18.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2，右焦点为F(23,0)．

(1)求C的方程．

(2)过x轴上一点T(不与C的顶点重合)作斜率为k(k≠0)的直线l1与C交于M，N两点，过原点O作直线l2与C交于P，Q两点，已知MN/​/PQ19.(本小题17分)

甲、乙两人进行一局羽毛球比赛，约定比赛规则如下：比赛中两人轮流发球(每次只发一球)，由甲先发球，每赢一球得1分，输球不得分，达到15分且至少领先2分者获胜(当打成14：14后，先多得2分的一方获胜).甲发球时甲得分的概率为12，乙发球时乙得分的概率为23，各球的结果相互独立，已知比赛目前激战至14：14．

(1)若已知比赛结果为16：14，求这局比赛是乙获胜的概率；

(2)求这局比赛甲获胜的概率；

(3)记X为这局比赛结束时甲的总发球个数，求X的数学期望E(X)．

参考答案1.B

2.C

3.A

4.A

5.B

6.C

7.D

8.B

9.ABD

10.ACD

11.BD

12.2

13.2e14.64π915.解：(1)证明：由数列{an}满足a1=12，n−1an=nan−1+n(n−1)(n≥2)，

两边同时除以n(n−1)，得1nan=1(n−1)an−1+1，

设bn=1n⋅an，可得bn−bn−1=1(n≥2)．

由a1=12，得b1=11×a1=2，

所以{bn}是以2为首项，1为公差的等差数列．

所以bn=2+(n−1)=n+1，可得an=1n(n+1)．

(2)由(1)可得an=1n(n+1)=1n−1n+1，bn=n+1．

所以Sn=(a1+2b1)+(a2+2b2)+⋯+(an+2bn)

=(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)+22(1−2n)1−2

=nn+1+2n+2−4．

16.(1)证明：设F为CD的中点，连接AF，EF，

因为E为棱PD的中点，所以EF//PC，

又EF⊄平面PBC，故EF//平面PBC，

因为△ACD为正三角形，所以AF⊥DC，

又BC⊥CD，AF⊂平面ABCD，

所以AF//BC，

又AF⊄平面PBC，故AF//平面PBC，

因为AF∩EF=F，

所以平面AEF//平面PBC，

又AE⊂平面AEF，

所以AE//平面PBC；

(2)解：连接BD，设BD与AC交于点O，

由题意，AB⊥AD，BC⊥CD，AD=CD，

所以17.解：(1)已知函数f(x)=alnx−x+1x，

因此f′(x)=ax−1−1x2=−x2+ax−1x2(x>0)．

令g(x)=−x2+ax−1，则Δ=a2−4=(a+2)(a−2)，

当−2≤a≤2时，Δ≤0，此时g(x)≤0，f′(x)≤0，故f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a<−2时，Δ>0，记两根为x1=a−a2−42，x2=a+a2−42，

此时x1+x2=a<0，x1⋅x2=1>0，则两根均为负，得f′(x)<0，

故f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>2时，Δ>0，此时x1+x2=a>0，x1⋅x2=1>0，则两根均为正，且x1<x2，

故x∈(0,x1)或x∈(x2,+∞)时，f′(x)<0，f(x)在(0,x1)、(x2,+∞)上单调递减，

x∈(x1,x2)时，f′(x)>0，f(x)在(x1,x2)上单调递增，

综上所述，当a≤2时，f(x)=alnx−x+1x，在(0,+∞)上单调递减；

当a>2时，f(x)=alnx−x+1x，在(0,a−a2−42)，(a+a2−42,+∞)上单调递减，

在(a−a2−42,a+a2−42)上单调递增；

(2)注意到f(1)=0．

若a≤2，则f(x)在(0,+∞)上单调递减，

当0<x<1时，f(x)>0，当x>1时，f(x)<0，

因此f(x)>0成立当且仅当x∈(0,1)，结论成立；

若a>2，x1<1<x2，f(1)=0，f(x)在(x1,x2)上单调递增，从而有f(x1)<0，f(x2)>0，

x→0时，f(x)→+∞，由零点存在定理，知∃m∈(0,x1)，使得f(m)=0，

当x∈(0,m)时，f(x)>0，当x∈(m,1)时，f(x)<0，当x∈(1,x2)时，f(x)>0，

故不存在满足条件的区间(0,k)．19.解：(1)由题意知，再打两球这局比赛结束，所以只有可能是甲连赢两球或乙连赢两球，

记事件A：甲发球甲赢，事件B：乙发球乙赢，事件C：比赛结果为16：14，事件D：乙这局比赛获胜．

所求为P(D|C)=P(CD)P(C)=P(CD)P(CD)+P(CD−)，

P(CD)=P(乙连赢两球)=P(A−B)=P(A−)P(B)=13，

P(CD−)=P(甲连赢两球)=P(AB−)=P(A)P(B−)=16，

所以P(D|C)=1313+16=23．

所以在已知比赛结果为16：14的条件下，这局比赛是乙获胜的概率为23．

(2)方法一(全概率公式)：由(1)知，14：14之后，有3种情况：

①甲连赢两球，甲胜，比赛结束，记作事件E1，则P(E1)=16；

②乙连赢两球，乙胜，比赛结束，记作事件E2，则P(E