2025-2026学年下学期安徽淮南高三数学4月二模试卷（含答案）

高三第二次教学质量检测数学试题(考试时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数5i+2(i为虚数单位A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A=x∈Z 12A.5B.6C.7D.83.已知向量a=1,3,a-b=1,aA.4-3B.4.平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是:取第一个正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H作第二个正方形，再取正方形EFGH各边的四等分点M,N,P,Q作第三个正方形,以此方法一直循环下去,就可得到阴影部分图案,如图所示.设正方形ABCD边长为a1,后续各正方形边长依次为第4题图A.58B.2564C.255.已知双曲线x2a2-y2b2=1a>A.1B.2C.2D.26.已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2与4,其母线与下底面所成角的余弦值为55,A.80π3B.112π37.设m∈0,1,随机变量X0m1pm121则A.DX在0,1上单调递增B.DX在C.DX的最小值为18D.DX8.在平面上有等腰直角三角形MON,O为直角顶点,MN=22,OA=1,OB=2,OB⋅AB=1,若AA.22+5B.2+二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知一组大小不等的数据xii=1,2,⋯,n的平均数为x,方差为s2,标准差为s,极差为a,若A.平均数为-2x+3B.方差为4s2C.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,A.bB.cosC.cD.△ABC内切圆半径的大小为11.抛物线有如下光学性质:平行于抛物线的对称轴的光线,经过抛物线反射后通过它的焦点;从抛物线焦点发出的光线经抛物线反射后,沿平行于其对称轴的方向射出;入射光线与反射光线所成夹角的角平分线垂直于反射点处的切线.如图,O为坐标原点,一束光线从点A出发平行于x轴射入抛物线y2=4x,经过两次反射后经点B平行射出,AB⊥x轴,设反射点分别为P,Q,过点P,Q分别作第11题图A.当tan∠PQB=2时,AB=26B.直线POC.点M在线段AB的垂直平分线上D.ΔPQM面积的最小值为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知1-1xn的展开式中二项式系数之和为13.已知函数fx=sinωx-π4ω>0在区间π,214.已知定义在-∞,+∞上的函数y=fx,其导函数为f'x,对∀x∈-∞,+∞,满足f'x=2fx+e2x,f1四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)已知递增数列an满足a(1)证明:an为等差数列，并求a(2)记bn=nan2an+12，数列bn16.(本小题满分15分)第16题图已知椭圆W:x2a2+y2b(1)求椭圆W的方程；(2)记点A为椭圆W的左顶点，点B为椭圆W的下顶点，动点M是第一象限内椭圆W上的一点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D.证明:四边形ABCD的面积为定值.17.(本小题满分15分)在学校举行的科学教育知识竞赛中,甲、乙两位同学进入了决赛,决赛以抢答的形式回答问题,一共回答3道题,每道题均从题库中随机抽取,若每道题甲、乙抢到的概率均为12,每道题甲回答正确的概率均为p,每道题乙回答正确的概率均为q.比赛规定每道题由先抢到的同学回答,回答正确,该同学得1分,回答错误,对方得1分,得分高的同学获胜.甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立(1)若p=0.8,q=0.6，设比赛结束甲的得分为X(2)为增加比赛的趣味性，拟由3道题增加到5道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？请说明理由.18.(本小题满分17分)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1(1)证明:AB⊥平面BDD第18题图(2)动点E满足A1E=A1B+λA1D1λ∈(i)求R的取值范围;(ii)当R最大时,求平面ABE与平面OBE的夹角的余弦值.19.(本小题满分17分)已知函数fx(1)讨论函数fx(2)若对∀x>0,fx(3)证明:1+2026年高三模拟考试(二模)数学试题参考答案及评分标准一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.【答案】D.5i+2=5i-2i2.【答案】C.A=x∈Z∣12<3.【答案】D.a⋅a-b=aa-bcos60∘=1,所以a4.【答案】B.由题意知,an+12=an42+3an42=58an2,由于an>0,故5.【答案】A.由题知a=b,c=2,c2=2a2,a=6.【答案】B.由条件知圆台的高为4,所以该圆台体积为V=1347.【答案】C.EXDX=EX2-E8.【答案】A.建立平面直角坐标系xOy,不妨设M2,0,N0,2,则直线MN的方程为x+y-2=0,设Ax1,y1,Bx2,不妨设Acosα,sind==≤224二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.【答案】AB.由题意可知数据yii=1,2,⋯,n的平均数为-2x+3,方差为4s2,标准差为2s,极差为2a,10.【答案】ACD.由条件知a2根据余弦定理可得a2+c2-b2=2accos于是sinB=sin2A=2sinAcosA,根据正弦定理得b=2a解得cosA=34,cosB=2cos2Asin所以sinC根据正弦定理知c=asinCsinA因此S△ABC=12absinC=12×4×6×5716=1574，设△ABC内切圆半径的大小为r11.【答案】ABC.由抛物线标准方程可知,F1,0,设直线PQ方程为x=my+1,Px1PQAB当tan∠PQB=2时,直线m=22,直线PO的方程为y=y1x1x,直线所以y2所以直线PO与BQ的交点在定直线x=-1上,B过点M作ME⊥AP于点E,MH⊥BQ于点因为∠APQ,∠PQB的角平分线交于点M,所以ME=MG,MH=MG,又AP//BQ,所以点E,M,H三点共线,所以点M为EH中点，因为AB⊥x轴，所以四边形ABHE为矩形，所以MA=MB取PQ的中点R,则MR//AP//BQ,所以△PQMS=当m=0时,ΔPQM的面积有最小值4,D错误三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.【答案】-35.二项式系数和为2n=128,n=7,1-1x7展开式的通项为Tr13.【答案】34因为T2=12⋅2πω≥2π-π,所以0<ω≤1,因为函数图象关于5π3,0中心对称,所以5π3ω-π4=kπk∈Z,ω=320+35kk∈Z,所以ω=320或34.14.【答案】22由已知有f'x-2fxe2x=1,即fxe2x'=1,设fxe2x=x+m,则fx=x+me2x,由f1=e2,得m=0,故fx=xe四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)(1)由条件知an即an+所以a于是an+1-an由an为递增数列,得a故an所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列,.5故an=(2)由(1)知bn=nan216.(本小题满分15分)(1)由题意可知b=所以a2所以椭圆的方程为x24(2)由(1)可知点A-2,0,B0,-3，设点M坐标为则直线MA的方程为y=nm+2x+2,与直线MB的方程为y=n+3mx-3,与所以AC=BD=2所以四边形ABCD的面积为S.13分由①有S=所以四边形ABCD的面积为定值23..1517.(本小题满分15分)每一题甲抢到并回答正确的概率为p1=每一题乙抢到并回答错误的概率为p2=所以,每题甲得1分的概率均为r=p(1)当p=0.8,q又甲、乙回答每道题正确与否均相互独立,所以X∼B3,35(2)设回答3题时甲获胜的概率为P1，回答5题时甲获胜的概率为P2则P1=回答5题时甲获胜有三种可能:前3题甲均得分；前3题甲有2题得分，增加两道题甲至少有1题得分;前3题甲有1题得分,增加两道题甲都得分,则有P11分所以P=12分于是当p>q时,P2>当p=q时,P2=当p<q时,P2<综上,增加两题后,甲获胜的概率未必增大,而是答题能力强的同学获胜的概率增大..15分18.(本小题满分17分)(1)证明:因为在直四棱柱中,DD1⊥平面所以D1D因为DD所以BD=在△ABD中,AD所以AB⊥BD因为DD所以AB⊥平面BDD(2)因为在直四棱锥中，AB=CD,AD=BC，AB所以四边形ABCD为平行四边形,四边形ABB1A所以CD⊥平面BD所以DB,DC,DD1两两互相垂直,以点D为原点,分别以DB,DC,DD1所在直线为x轴,y.8分根据题意可得:D0,0(i)取A1D1中点O11,-1,2,AD中点O21,-1,0,因为球O经过点A设O1,-1AO点E在球O上,所以OA即1+故2λ2因为λ∈0,1,所以R2所以球的半径R的取值范围是3,11(ii)当球的半径R最大时,λ=1,m=-1,O1,-1,-1,E0,2,0,即点E与点C重合,此时取y=1,得平面OBE的一个法向量为m因为DD1⊥平面ABE,得到平面ABE的一个法向量cos所以平面ABE与平面OBE的夹角的余弦值为63..1719.(本小题满分17分)(1)定义域为0,+∞,求导得f'当a=0时,f'x=-1<0,所以函数fx当a≠0时,令f'x=0当a>0时,故函数fx在0,e1-aa上单调递减,在当a<0时,故函数fx在0,e1-aa上单调递增,在综上所述,当a=0时,函数fx在0当a>0时,函数fx在0