2025-2026学年下学期黑龙江大庆高三数学4月三模试卷（含答案）

大庆市2026届高三年级第三次教学质量检测数学注意事项:1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号:非选择题答案使用0.5毫米黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。4.保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数z=5A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A={x∣−2A.−2,4B.−23.双曲线x24A.y=±2xB.y=±4.已知向量a=−2,4,b=A.13B.25C.355.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a1+A.-1B.0C.3D.56.已知函数fx=x2+2ax−3,x>1,ax,x≤1,其中A.−∞,1B.1,+∞C.[7.“cosα2=63”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知函数fx及其导函数f′x的定义域都是R,若函数fx是偶函数,函数gx=A.−∞,16B.16,二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.一组数据x1,x2,x3,⋯,xn的平均数为5,方差为2,极差为7,中位数为6,记2x1−1,2x2−1A.a=9B.b=810.已知函数fx=log2−x,−4≤x<0,4sinπA.t∈2C.x3x4∈0,11.棱长为1的正方体ABCD−AB1C1D1中，M，N，P分别为棱C1D1图1图2A.平面PMN截正方体所得截面的形状为六边形B.异面直线AD1与B1CC.若点Q为平面PMN上的动点，且直线QB1与DB1所成角为30∘，则动点D.若A1C1,B1D1交于点O1，正方形A1B1C1D1的四个顶点在其所在平面内绕着点三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.x+3x5的展开式中x13.数列an满足a1=4,an+1=2an−2，则14.在平面直角坐标系xOy中,圆O是以原点为圆心2为半径的圆,直线l与抛物线y2=2pxp>0和圆O分别相切于A，B两点，当AB四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a(1)求B；(2)若点D为AC边上靠近点C的三等分点，且∠ABD=∠CBD，求16.(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=12(1)证明:A1C⊥平面(2)求平面AB1C1与平面17.(本小题满分15分)随着deepseek等人工智能大模型的快速发展，某市文创体验馆推出了“AI创意手作”的线下体验项目.为优化运营策略,运营团队统计了过去100天的运营数据,以各客流量等级的日平均收入作为日收入，整理成如下表格:客流量等级小客流(A)中客流(B)大客流(C)天数305020日收入(元)40001000022000设备发生故障的概率0.10.20.4①设备发生的故障又分为“轻微故障”和“严重故障”，其中设备发生轻微故障的概率为23，发生严重故障的概率为13②若设备无故障，当日收入不变，无维修费用支出；若设备发生轻微故障，当日收入不变，但需支付维修费200元；若设备发生严重故障，当日收入减半，还需支付维修费1000元.已知每日客流量等级相互独立，故障类型与客流量等级相互独立，用频率估计每日的客流量等级的概率.(1)求该项目在将来某一日客流量等级为中客流且设备发生严重故障的概率；(2)设该项目在将来某一日的运营总损失为X元(运营总损失=维修费+收入损失)，求X的分布列和均值.18.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,动点K到点−3,0和点3(1)求动点K的轨迹方程；(2)设动点K的轨迹是曲线C，直线l与曲线C交于M，N两点，与圆O:x2+y2=4交于P,Q两点,不重合的两条直线(i)求证:k1k(ii)已知直线l1与曲线C交于E,G两点,l2与曲线C交于D,F两点,且OH19.(本小题满分17分)已知函数fx(1)若函数gx=f′x+(2)若函数fx有3个极值点x1,x2(i)求实数a的取值范围;(ii)证明:x2大庆市2026届高三年级第三次教学质量检测数学参考答案一、单选题12345678DBBCDCAB1.答案:D因为复数z=5−3i,所以复数z在复平面内对应的点为5,−3,所以2.答案:B化简集合B,对数函数y=ln4−x要求真数大于0,即4−x>0,解得x<43.答案:B因为双曲线的焦点在x轴上,所以ba=22,所以其渐近线方程为4.答案:C因为a//b,所以−2×x=4×1,解得x=−2,所以b5.答案:D设等差数列an的公差为d,则a1+a4又S6=6a1+15d=−6,则由a16.答案:C因为a>0且a≠1,函数fx=x2解得a≥2,综上所述,实数a的取值范围是[27.答案:A当cosα2=63可得sin3π2+α=−cosα=13利用半角公式可得cosα2所以“cosα2=63”是“sin8.答案:B由题意知fx=f−x,两边同时求导f′因为gx=f′x可得f′x=e−x−ex2,当x≥0时,因为函数fx是偶函数,所以f可知不等式fx<f5x−1等价于即x2>5x−12,可得24x二、多选题91011ABDBCACD9.答案:ABD由题意可得a=2×10.答案:BC将函数y=log2x0<x≤4的图象关于y轴对称过去,并将x轴下方部分的图象翻折到x轴上方,即可得到y故在0,6上有1个周期的图象,由此作出函数fgx=转化为函数fx的图象与直线y=由图象可知,当0<t≤2时,fx的图象与直线y=tt由图象可知x3,x4关于直线x=32对称,故当fx=4sinπ3x=2时,π3x=2kπ+π6k所以x3x4=x33−x3令log2−x=2,解得x由题意可知,−4≤x1<−1<x2即log2−x1+log2−x所以x1+x2=x1+1x1−4所以x1+x2的取值范围为−174,−11.答案:ACD对于A,过M作MM′⊥DC,因为AN//MM′,且AN=12MM′,所以延长MN与M′A交于点I,再连接QP并延长与DC的延长线交于I′,与AB交于T.因为△BTP≅△CI′P,设BT=CI′=x,则由AIIM′=ANMM′=12,可得ATMT′=AIIM′=1S,顺次连接P、R、M、S、N、T,可得平面预览对于B,由图可知AD1与B1C所成角为90∘对于C,由截面的作图过程可知,PT⊥平面B1BDD1,所以PT⊥DB1,同理NT⊥DB1,所以DB1⊥平面PMN.连接MT,与DB1交于点O,则O为正方体的中心,所以B1到平面PMN的距离为DB12=32,在RtΔOQB1对于D,如图所示,在平面A1B1C1D1内,分别过点E,G作FH设平行线依次相交于点A2,B2,C2,D2而ABCD−A2B2C2D2故VABCD因为VA所以V十面体=VABCD−A1三、填空题12.答案:15预览x+3x5当5−2k=3,即k=113.答案:2因为an+1=2an−2故an−2是以a1−2=2为首项，公比为2由5λan−2<an−6令y=1−42n,由于n∈N∗,显然y关于n所以5λ<−1.故答案为:14.答案:2因为圆和抛物线关于x轴对称,所以只需研究与抛物线切于第一象限的直线此时y=2px,所以设Ax0,y0,则k因为直线与圆O相切,则x0pp2+因为AB2=AB当且仅当x02−4=64x02−4,即x02四、解答题15.答案:1B(1)由正弦定理可得2sin则2sin在△ABC中，A+则sinB+C=sinπ因为A∈0,π,所以sinA又因为B∈0,π,所以(2)法一:由角分线定理，得ABBC=ADDC=2，又在△即2sinC=1sinC+π3因此A=π6,所以法二:因为∠ABC=π3,∠在△ABC中,BCsinA=AC在△BCD中，BCsin∠BDC=CDsin∠CBD，所以由①②，得sinA+π6sin所以34cosA+34sinA=316.答案:(1)证明见(2)27(1)在△CAA1中,由余弦定理可得A1所以A1C2+AC2=3又因为平面ABC⊥平面AA1C1C,平面A1C⊂平面AA1C1C,所以(2)因为△ABC为等腰直角三角形，且AC=BC，所以因为A1C⊥平面ABC，AC,BC⊂平面ABC，所以A以C为坐标原点，CA,CB,CA1所在直线分别为x预览下载则A1,0,0设平面AB1C1的一个法向量为m=x,y,z,则m⋅C1A=2x−又因为z轴上平面ABC,所以n=0,0,1设平面AB1C1与平面ABC的夹角为θ所以平面AB1C1与平面ABC的夹角的余弦值为17.答案:(1)130;(2)分布列如下表,EX02003000600012000P791007112(1)由频率估计概率,根据表中数据,客流量等级为中客流B的概率为:PB=50100=则其概率为PD=(2)该项目将来某一日的运营总损失X的可能取值为0,200,3000,6000,12000，当X=0时,当日设备没有发生故障,PX=0=30100×910+50100×810预览下载当X=6000时,当日为中客流且发生严重故障,当X=12000时,当日为大客流且发生严重故障,所以X的分布列为:X02003000600012000P79100750112所以EX=18.答案:(1)x24+y2(1)设F1−3,0,F23,0,KF1+KF2=4所以动点K的轨迹方程为x24(i)由题可知直线l的斜率不为0,设直线方程为l:如图1,由于直线l2:y=k2x平分线段PQ,所以直线l与图1设Mx1,y1,Nx2由于t=x1−x2y1−y2,k1(ii)由题可知OHOD=43,如图2,连接DG,预览下载图2易知S四边形EFGHf=23S四边形DEFG+则直线l1与椭圆的交线段长为EG同理可得直线l2与椭圆的一个交点坐标为−不妨记为点D,则D到直线l1的距离d所以S四边形DEFG=EGd=6k2所以四边形EFGH面积的最大值S四边形EFGH在k2=±11