2025-2026学年下学期浙江余姚中学高一数学4月质检试卷（含答案）

余姚中学2025学年第二学期4月质量检测高一数学学科试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足1+2iz=A.2−iB.2+i2.已知向量a=1,2,b=−2,A.−2,−4B.−33.已知m,n表示两条不同直线，αA.若m//α,n//α,则m//nC.若m⊥α,m⊥n,则n//α4.在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、A.2B.22C.6D.5.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O′A′B′CA.12B.122C.6D.第5题图为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若MA⊥平面ABC，NB⊥平面ABC,AC=60m第6题图A.7510mB.757.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖膈.已知四面体A−BCD是鳖臑,BC=CD=4,AB⊥平面A.22B.3C.228.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折.A.33B.12C.2二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知复数z满足z+4A.z的虚部为-2B.zC.z在复平面内对应的点位于第一象限D.若z与复数a2+3a+10.已知△ABC的内角A,B,CA.若sinA>sinBB.若a2+b2−cC.若acosB+bcosAD.若asinA=bcosB11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1A.直线BD1⊥B.三棱锥P−AC.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是D.直线C1P与平面A1C三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1748年,数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,得到公式eix=cosx+isinx,这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”13.已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2r2−r1，3r14.如图,直三棱柱ABC−A1B1C1,∠ABC=60∘,AC=2，侧棱长为3，点P是侧面AC四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知复数z1=3+4i,z2(1)若z1⋅z2是纯虚数，求(2)若z2是实系数一元二次方程x2−px+3=0p∈16.(15分)如图,已知A1,1,B5,4,C(1)求单位向量a的坐标；(2)求向量AC在单位向量a上的投影向量的模；(3)求△ABC17.(15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a(1)求角B的大小；(2)若△ABC为锐角三角形,且b=5,求18.(17分)(本题用向量法(坐标法)一律不给分)如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F(1)证明:EF//平面ABCD(2)求异面直线EF与BC1(3)求直线BD与平面D1AC19.(17分)(本题用向量法(坐标法)一律不给分)如图，已知三棱台ABC−A1B1C1的体积为7312，平面ABB1A1⊥平面(1)证明:BC⊥平面ABB(2)求点B到面ACC1(3)在线段CC1上是否存在点F，使得二面角F−AB−C的大小为π余姚中学2025学年第二学期4月质量检测高一数学参考答案及评分标准一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.12345678ACBABDCB二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.91011ACACDABD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.013.64四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(1)因为z1=3+4i,z2=1−ai,所以z1⋅z2=3+4a+4(2)依题意,1−ai2−p1−ai+3=0,即4−a2−p+ap−216.(15分)(1)设a=x,y,依题意有AB=4,3,-1分由a=1，且a⊥AB，即a⋅AB=0，得:4x(2)设向量AC与单位向量a的夹角为θ,AC在单位向量a上的投影向量为hh=AC又因为AC=1,4所以向量AC在单位向量a上的投影向量的模为135.-11(3)S△ABC17.(15分)(1)由题意知a+由正弦定理可得,a+ba−b=ca−c又B∈0,π,所以(2)由正弦定理得asinA=csinC∵A∴a+又△ABC为锐角三角形,则0<A<π20<C=2π3−所以53<a+即△ABC周长的取值范围是(518.(17分)(1)证明:连接AC交BD于点O,∵E,F分别为AD1,CD1的中点,∵AC⊂平面ABCD,且EF⊄平面ABCD∴EF//平面ABCD.-4分(2)∵EF//AC且∴∠D1AC或其补角为EF与BC1∵AC=AD∴∠D1AC=60∘,即EF与BC1(3)连接D1O,过D作DG⊥D1∵DD1⊥平面ABCD,且AC⊂平面∴DD1⊥AC,又BD⊥AC且DD1∩BD=D,DD1∴AC⊥平面D∵DG⊂平面D1又DG⊥D1O,且AC∩∴DG⊥平面ACD1∴直线BD与平面D1EF所成角的大小等于∠平正方体的边长为1,∴∴tan∠DOD119.(17分)(1)连接AB1，在三棱台ABC−A1B∵AB=2AA1=2A1设AB=2x,则由余弦定理得:AB∴AB∵平面ABB1 A1⊥平面BCC1 B1,平面ABB1 A∴AB1⊥平面又BC⊂平面BCC∵△ABC是以B∴BC⊥∵AB∩AB1∴BC⊥平面ABB1(2)由棱台的性质知:延长AA1,BB1∵A∴V∵BC⊥平面ABB1 A1,即BC⊥平面∴BC即为三棱锥P−ABC中,点C到平面PAB的距离,由(1)中所设:AB=BC∴△PAB为等边三角形,∴∴V∴AB=BC=PA=PB=2∴S设点B到平面ACC1A1的距离为d,即为点B到面∵VP−ABC=V即点B到平面ACC1A1的距离为(3)∵BC⊥平面ABB1A1,BC⊂平面ABC，∴取AB中点N，连接PN，CN，在正△PAB中，PN⊥∵平面ABC∩平面PAB=AB,PN⊂平面又PNC平面PNC,∴平面PNC⊥平面ABC,作FE⊥CN于E,因为平面PNC∩平面ABC=CN,FE⊂平面PNC,所以FE⊥平面作ED⊥AB,连接FD,∵FE⊥平面 ABC, AB⊂平面∵DE∩FE=E,DE,FE∵FD⊂平面∴∠FDE为二面角