北京市海淀区2026届高三下学期四月一模数学试题 含解析

第1页/共24页海淀区2025—2026学年第二学期期中练习本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.A.{x|-2<x<2}B.|x|2≤x<4}c.{x|-I<x≤4【详解】由k-|<3得-3<x-1<3,得-2<x<4,则U={x|-2<x<4}.A.13B.15C.17中点的横坐标为()A.2BC.3D第2页/共24页A.c<a<bB.b<a<cC.c²+b²<a²第3页/共24页则a³+c³>b.故ABD错.C对.A.-10B.10因为(2-3x³=a₀+3a,x-3'a.r²+3'a所以-3²a₂=720,解得0:=-80.7.在某密码系统中，生成密码需要从含有94个符号的字符集中随机选择字符.密码熵H(单位：比特)的计算公式为H=log₂(94'),其中/为密码长度.根据密码熵估计表，当1=8时，H=52.4比特.若某用户将密码长度从/=6增加到/=18,则密码熵的增加量约为()第4页/共24页当密码长度1=6时，密码熵H,=6log,94;当密码长度1=18时，密码熵H₂=18log₂94.已知当1=8时，H=52.4.即8log₂94≈52.4.由此可得将log₂94≈6.55代人△H=12log,94.解得△H=12×6.55=78.6.8.已知函则“ab<0”是“f(x)在R上为单调函数”的()第5页/共24页A.(-3,-1)B.[1,3]c.[24]又由点M(-1,1).P(r,-t),可得MP|=√t第6页/共24页由|MP≥4√2.可得1+1|≥4,解得1S-5或123,又由Q在圆内，可得,整理得(1-1)²<16,解得-3<1<5,所以3≤t<5,所以实数的取值范围为(35).第7页/共24页44·A₂A,=A₂A₃·AA=AAa·A4.则下列等式中一定不成立的是()A.AA=A₂AB.C.AA,=14:4【解析】则44|14:4,|cos(x-L4,4:4,)=|4:44,A,|cos(π-LA.4,4.)=|4,44|(x-cosL4,4A,). 设44|=|4,4|=2a,44|=|4π,|=2b,A(2a,0).A.(0,0).A,(-b.√3b),若4(a-b.√3(a+b).4,(a+b,√3(a+b).可得A,A,=(b-a,√3(a+b)).4A=(a-b,J3(a+bì).AA,=(26,0).若4,(a-b,√3{a+bi).A;(a-2b,√3(a+2b)). 可得4,4,=(-a-2b,√3(a+2b).A,π₄=(a-b,√5(a+b).A,4,=(-b,√3b).若b=2a.则.故D可能成立；若4,(-2a-b,√5b).4,(- 可得4,A,=(-4a-2b,2√3b).A:A=(-2a-b,√3b).AA,=(-b.√3b). 则AA,=14:A,故C可能成立；若4.(-2a-b.√36).A,(-2a-26.0).可得AA=(-4a-26,0),A4=(-2a-b,√3b).AA,=(-b,-√3b).综上所述：不可能成立的是B.第8页/共24页二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.13.设等比数列(a}的前n项和为S.,若S2-S【分析】根据前n项和定义可得“2=4(a,-aa),结合等比数列的定义运算求解即可.【详解】因为S.2-S„=4(a..-a.),所以a=4(a..-a.).显然“≠0」即q²=4(q-1),解得?2.14.将函数f(x)=2'+a||(a≠0)的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得图象第9页/共24页【答案】①.2(答案不唯一)②.2即2"+a|x+1|+2>2*+a|k|.若xS-1,则h(x)=a(|x+1-|kx|)+2'+2=a(-x-I+x)+2'+2=2'+2-a>0.若r≥0,则b(x)=a(|x+1-|x|)+2²+2=a(x+1-x)+2'+2=2'+2+a>0.因为2⁴+2∈[3,+o],所以a>-3,故-3<a≤2,则h(x)=a(|x+1|-k]+2'+2=a(x+1+x)+2'+2=a(2x+1令令第10页/共24页所以!=2-In?-21n?·x>!-In2>0.15.如图，正方体ABCD-A'B'℃'D'的棱长为2,以底面ABCD的中心0为原点建立空间直角坐标系第11页/共24页时时三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明.演算步骤或证明过程.第12页/共24页(1)求A、“的值；(2)设g(x)=f(x)-2√3cos²x.求g(x)的单调递增区间.【小问1详解】【小问2详解】可k∈Z).17.如图.在直四棱柱ABCD-AB₁CD中，AB/ICD,48=2.4D=CD=1、∠DAB=60°.且第13页/共24页条件①:A,D₁18D;第14页/共24页【小问2详解】因为AB/ICD,AB=2.AD=CD=1,∠DAB=60.第15页/共24页设平面D₁EF的一个法向量为=(x,y.z),若选择条件③:EF与平面ABCD所成角为45.第16页/共24页学区甲乙性别男女男女达到预期260人200人240人190人未达到预期190人150人110人第17页/共24页(i)从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望；(ii)记甲学区样本赋分的方差为²,乙学区样本赋分的方差为S,两学区所有样本赋分的方差为sj.比较s,另，sj的大小.(结论不要求证明)【解析】【分析】(1)根据题设表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解；(2)0)由表格中的数据得，分别求得男、女教师达到预期的概率为得到变量X的取值为0,5,10.15.求得相应的概率，列出分布列.结合期望的公式，即可求解；(ii)分别求得甲、乙学区赋分为5的概率为和以及所有样本赋分为5的概率为结合二点分布的方差公式，求得的值，即可求解.【小问1详解】由表格中的数据，甲学区教师的总人数为260+190+200+150=800人，其中评价为“达到预期”的人数为260+200=460人，所以即估计甲学区教师评价为“达到预期”的概率为【小问2详解】解：(i)由表格中的数据得。男教师达到预期的概率为女教师达到预期的概率为根据题意，随机变量X的可能取值为0.5,10.15第18页/共24页X05P因为0.244375>0.2315816>0.2030556.可得s"²>s">s².19.已知椭圆[a>b>0(1)求椭圆E的方程；(2)设0为坐标原点.M(x₀,%)为第一象限内E上的动点，点N在直线!=-2上，且0M10N过第19页/共24页值.【小问1详解】【小问2详解】因为0M10N.所以直线0N的方程为因为点N在直线=-2上，所以点第20页/共24页20.设函数ʃ(x)=x²-In{ax+1〕+ax(a≠0).(1)当a=1时，求证：直线y=◆是曲线=f(x)的切线；第21页/共24页(3)求导.分a>0和a<0两种情况，结合(2)中f(x)的单调性以及厂(x)的符号分析g'(x)的符号若a=1,则f(x)=x²-In(x+1)+x的定义域为(-1,+∞).且f(0)=0.则=f(x)在x=0处的切线方程为=0.所以直线=0是曲线!y=f(x)的切线第22页/共24页【小问3详解】因为8'(x)=xf'(x)+f(x),且f(0)=f'(0且函数f(x)的单调递减区间,单调递增区间为(0,+∞),则f(x)≥f(0)=0.时，f'(x)>0;当x<0时，f'(x)<0;第23页/共24页(2)分i<m,j<n、i=m,j<ni<m,j=以及1=m,j=#讨论即可；(3)讨论存在x,=3和x,S2恒成立的情况即可.【小问1详解】【小问2详解】A的”同形点”的个数为-m一".证明如下：若(Y.y)为A的'同形点",应有(,r)6T,且(x,y)eA.此时(x,y)为A的“同形点”,共有(-1)(n-1)-1=mn-M-1个；其余元素都是A的"同形点",共有部数一刑一丑个第24页/共24页其余元素都是A的“同形点“,共有nn-m一Ⅱ个④当i=m,j=时，同理可得T中除(m-1,n-1)外，其余元素都是A的"同形点",共有n-m-#个.【小问3详解】用1的最小值为21.首先当粤=3,n=7时，mn=21.由对称性不妨设A中元素个数不少于1I,对于j=1,2,….7,设6i.j)(i,j0eM|n1若存在x:=3,因为11-3>6.所以存在/≠k.有1≥2,不妨设/<k,则(1,1),(2,1)中至少一个是A的“同形点“;2