浙江台州市2026届高三下学期第二次教学质量评估数学试题 附解析

台州市2026届高三第二次教学质量评估试题本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分(共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.8B.12C.16【解析】所以a,=8.DBDB【解析】3.设一个随机事件的样本空间为Ω,事件A.B≤Ω,则下列结论中不一定成立的是()A.O≤P(A)≤1B.P(A)+P(A)=1C.若A≤B,则P(A)≤P(B)D.若AUB=Ω,则P(A)+P(B)=1【解析】【详解】对于A,任意事件A的概率都满足0≤P(A)对于B,因A是事件A的对立事件，则AUA=Ω·所以P(AUA)=P(A)+P(A)=1,故B成立：对于C,因为A≤B,则事件B包含事件A所有的样本点，所以P由概率的加法公式P(AUB)=P(Ω2)=P(A)+P(B)-P(AOB)=1,4.已知实数a>1.b>1,若log,b=2,则log₄(ab)=()【解析】5.已知一个圆维的底面半径为√3,高为1,则下列对该圆锥的表述正确的是()【解析】断CD的正误.【详解】对于A,圆锥的体积,故A错误； 对于B.圆锥的母线长为√3+1=2,故圆锥的表面积,故B错误；对于C.设圆锥轴截面顶角为α,则对于D,设两条母线的夹角为θ,则过顶点的截面面积而,故当Sm=2,,故D正确，6.已知点A(1,1),B(1,-1),点P是抛物线C:y²=x上的动点(异于A,B两点),记直线AP的斜率为k₁,直线BP的斜率为k₂,则下列结论正确的是()A.k₁-k₂为定值B.k₁+k₂为定值为定值D为定值【解析】【分析】设P(³,y。)(%≠±1),利用两点斜率公式求k,k₂,再分别求k₁-k₂,k₁+k₂,即可判断.【详解】因为点P是抛物线y²=x上异于A,B的动点，故设P(.y)(y%≠±1),则对于选项A,对于选项B,对于选项D,,不是定值，D错误.为Z₁.Z₂,0为坐标原点，若OZ·OZ₂=0,则下列结论正确的是()A.Z·Z₂=0B.z²+z²=0【解析】又z+z₂=-m,Z22=1,故2,+z₂为实数，故A.D错误，又△=m²-4,则方程的根为故z²+z²=(z+z₂)²-22,z₂=m²-2=0,故B正确.8.已知数列{a}共有5项，各项均为正整数，且对Vne{1,2,3,4},满足|数列{a}中的项，记满足题意的数列{a}的【解析】【分析】k=】时，分数列{a,}仅有一个1、仅有两个1、仅有三个1讨论求出A:同理求出A₂即可.【详解】解：k=1时，把数列{a}的5项依次排列，数列{a,}只有一个1时，a₁=1时，12345,12343.12323共3种，同理(l₃=1也有3种；a₂=1时，21234,21232共2种，同理a₄=1也有2种；a₃=1时，32123共1种：数列{a,}仅有两个1时，12123,21212,32121,12321共4种；数列{a}仅有三个1时，12121共1种，综上，A₁=3+3+2+2+1+4+1=16;数列{a}只有一个2时，a=2时，23456,23454,23434共3种，同理4=2也有3种：a₂=2时，12345,12343,32345,32343共4种，同理a₄=2也有4种：a₃=2时，43234一种：数列{a,}仅有两个2时，a=2.a₃=2时，21234,23234共2种，同理a₃=2,a,=2时也有2种：a₂=2,a₂=2时，12121,12123,32121,32123,12321,12323,32321,32323共8种；a=2,a₅=2时，23432共1种：数列{a。}仅有三个2时，21212,21232,23212,23232共4种，综上A₂=3×2+4×2+1+2×2+8+1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.的值域为[-2,4]【分析】由最小正周期的公式计算判断选项A;计算函数值判断选项B;计算正弦型函数的值域判断选项【详解】函数,最小正周期为,A选项错误；A.a₀=8C.u₂+a₄+a₆=108D.a+a₃+a,=108【详解】由(x²+3x+2)³=(x+1)'(x+2)³.a=C×2²C²+C'×2C,+C²×2C3=12+18+3=33,B令x=-1,则4,一u+a₂-t₃+a₄一a₃+a₆=(1-3+2)³=0,令x=1,则c+u₁+a₂+4₃+a₄+as+c₆=(1+3+2)³=216,所以2(a+a₂+a₂+a₆)=216→₀+a₂+a₄+a₆=108,则a₂+aą+a₆=100,C错，2(a₁+a₃+a₃)=216a₁+a₃+a₅=108,D对.11.已知正四面体A-BCD的棱长为4,顶点B.C.D在平面α的同侧，点A∈a,顶点B,C到平面α的距离分别为1,2,直线BC与平面α交于点E,则()A.直线AC与平面α所成角为B.平面ABC与平面α所成角为C.ACLAED.点D到平面α的距离为1+2√2【答案】ACD【解析】【分析】对于A,根据线面角的定义可求其正弦值，故可判断其正误，对于B,求出S△AGHS△ABc的面积，迸而求出面面角的余弦值判断其正误，对于C,利用空间垂直关系的转化可判断其正误，对于D,利用向量法可求点D到平面α的距离，从而可判断其正误.【详解】设C在平面α内的射影为G,B在平而α内的射影为H,连接AG,AH.HE,则CG=2,BH=1,对于A,因为CGLa,所以∠CAG为直线AC与平面α所成的角，对于B,因为BHLα,故CG//BH,故而BHLα,GHcα,故BH⊥GH,故四边形CGHB为直角梯形，对于C,由题设E∈平面CGHB,而E∈α,故E∈平连接AE,则AG⊥AE,而CGLα,AEcα,故CG⊥AE,而AGNCG=G,AG,CGc平而AGC,故AE⊥平面CGA,而ACc平而CGA,连接DE,则CD⊥DE,故DE=√64-16=4√3.则A(0,0,0),E(4√3,0,0),c(0,2√3,2),故B(2√3,√3.1),设D(x,y,z)(z>0),则故D正确.故z=1+2√2,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量a=(1,2),b=(x,y-1),x,y∈R,【答案】【解析】【分析】利用向量平行坐标表示可得x,y之间的关系，将问题转化为二次函数最小值的求解即可.13.已知双曲线C:I(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,点P在双曲线C上，0为坐标【答案】【解析】【分析】先根据双曲线的定义求出a,然后利用余弦定理分别表示出cos∠POF,及cos∠POF₂,再根据两【详解】在△POF,中，由余弦定理可因为∠POF₁+∠POF₂=π,所以cos∠POF₁+cos∠POF₂=0.【答案】【解析】【详解】由题设X可取0,2,4,又四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.(1)求角A的大小：(2)若a=2,,求VABC的周长.【解析】【小问1详解】【小问2详解】所以a+b+c=2+2√3,故VABC的周长为2+2√3.(2)求平面ABC₁与平面BDE夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【小问1详解】【小问2详解】所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,设平面ABC的一个法向量为7=(x,y,z),又AB=(2,0,0),AC=(1,1则即则令z,=-1,则x₁=0,y=2,则n=(0,2,-1),令x₂=1→y₂=1,Z₂=-1,则n2=(1,1,-1).元(y)(1)证明：【答案】(1)证明见解析(2)j=7.552x-15149.54:3.07(万亿元)【解析】【小问1详解】【小间2详解】将(x,5)代入回归方程可得105.5=7.552×2020+a,解得a=-15149.54,所以一元线性回归方程为ý=7.552x-15149.54.当x=2025时，求得j=143.26,即2025年的GDP预测值为143.26万亿元，而2025年GDP的实际值为140.19万亿元，故误差为|143.26-140.19|=3.07(万亿元),18.已知椭圆C:I(a>b>0))的离心率为,右焦点为F(1,0),点P(2.-1),点T是椭圆C(2)过点P作椭圆C的两条切线↓,L,过点T作椭圆C的切线1.1与↓,l₂的交点分别为M,N.【解析】【小问1详解】【小问2详解】消去y并整理得(1+2k²)x²-4k(2k+1)x+8k²+8k=0,由△=16k²(2k+1)²-4(1+2k²)(8k²+8k)=0,即k²+2k=0,解得k₁=0,k₂=-2.(ii)设T(x₀,y₀)且x₀>0>y%,则/:y-y=t(x-x₀)且t>0.联立x²+2y²=2.所以x²+2[y。+7(x-x₀)]=2,则(1+2r²)x²+4t(y₀-Lx₀)x+2(y₀-tx₀)²-2=0,