2026届山东省乐陵市第一中学重点名校十校联考最后数学试题含解析

2026届山东省乐陵市第一中学重点名校十校联考最后数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为()A．8 B．10 C．13 D．142．如图，中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的A． B． C． D．3．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围（）A．m＞3 B．m＜3 C．m≤3 D．m≥34．下列运算正确的是（）A．a•a2＝a2 B．（ab）2＝ab C．3﹣1＝ D．5．在2016年泉州市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158，160，154，158，170，则由这组数据得到的结论错误的是（）A．平均数为160 B．中位数为158 C．众数为158 D．方差为20.36．如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB＞1，AG平分∠BAD，分别过点B，C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG于点F，则AE－GF的值为（）A．1 B．2 C．32 D．7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，AD=7，BF=6，则四边形ABEF的面积为（）A．48 B．35 C．30 D．248．下列命题是真命题的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形9．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.1．其中合理的是（）A．① B．② C．①② D．①③10．若分式有意义，则的取值范围是（）A．； B．； C．； D．.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=．12．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，EC=2，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，则PC的长为_____．13．如果关于x的方程x2+kx+34k2-3k+14．已知抛物线y=，那么抛物线在y轴右侧部分是_________（填“上升的”或“下降的”）．15．在一次数学测试中，同年级人数相同的甲、乙两个班的成绩统计如下表：班级平均分中位数方差甲班乙班数学老师让同学们针对统计的结果进行一下评估，学生的评估结果如下：这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；甲班学生中数学成绩95分及以上的人数少；乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小．上述评估中，正确的是______填序号16．分解因式：4a3b﹣ab＝_____．17．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：1．求的值．19．（5分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；（2）画出△ABC绕原点O旋转180°后得到的图形△A2B2C2，并写出B2点的坐标；（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．20．（8分）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，AE=AF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠EAF=60°，CF=2，求AF的长．21．（10分）计算：﹣﹣|4sin30°﹣|+（﹣）﹣122．（10分）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图1中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．特例探索（1）如图1，当∠ABE＝45°，c＝时，a＝，b＝；如图2，当∠ABE＝10°，c＝4时，a＝，b＝；归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图1证明你发现的关系式；拓展应用（1）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝1．求AF的长．23．（12分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．24．（14分）解不等式组：，并求出该不等式组所有整数解的和．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解析】

根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案．【详解】连接PE、PF、PG，AP，由题意可知：∠PEC＝∠PFA＝PGA＝90°，∴S△PBC＝BC•PE＝×4×2＝4，∴由切线长定理可知：S△PFC+S△PBG＝S△PBC＝4，∴S四边形AFPG＝S△ABC+S△PFC+S△PBG+S△PBC＝5+4+4＝13，∴由切线长定理可知：S△APG＝S四边形AFPG＝，∴＝×AG•PG，∴AG＝，由切线长定理可知：CE＝CF，BE＝BG，∴△ABC的周长为AC+AB+CE+BE＝AC+AB+CF+BG＝AF+AG＝2AG＝13，故选C．【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是画出辅助线，熟练运用切线长定理，本题属于中等题型．2、D【解析】

Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；故选D．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．3、C【解析】

根据“大大小小找不着”可得不等式2+m≥2m-1，即可得出m的取值范围．【详解】，由①得：x＞2+m，由②得：x＜2m﹣1，∵不等式组无解，∴2+m≥2m﹣1，∴m≤3，故选C．【点睛】考查了解不等式组，根据求不等式的无解，遵循“大大小小解不了”原则得出是解题关键．4、C【解析】

根据同底数幂的乘法法则对A进行判断；根据积的乘方对B进行判断；根据负整数指数幂的意义对C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．【详解】解：A、原式＝a3，所以A选项错误；B、原式＝a2b2，所以B选项错误；C、原式＝，所以C选项正确；D、原式＝2，所以D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．也考查了整式的运算．5、D【解析】解：A．平均数为（158+160+154+158+170）÷5=160，正确，故本选项不符合题意；B．按照从小到大的顺序排列为154，158，158，160，170，位于中间位置的数为158，故中位数为158，正确，故本选项不符合题意；C．数据158出现了2次，次数最多，故众数为158，正确，故本选项不符合题意；D．这组数据的方差是S2=[（154﹣160）2+2×（158﹣160）2+（160﹣160）2+（170﹣160）2]=28.8，错误，故本选项符合题意．故选D．点睛：本题考查了众数、平均数、中位数及方差，解题的关键是掌握它们的定义，难度不大．6、D【解析】

设AE=x,则AB=2x,由矩形的性质得出∠BAD=∠D=90°,CD=AB,证明△ADG是等腰直角三角形,得出AG=2AD=2,同理得出CD=AB=2x,CG=CD-DG=2x-1,CG=2GF,得出GF,即可得出结果.【详解】设AE=x,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠BAD=∠D=90°,CD=AB,∵AG平分∠BAD，∴∠DAG=45°,∴△ADG是等腰直角三角形,∴DG=AD=1,∴AG=2AD=2,同理:BE=AE=x,CD=AB=2x,∴CG=CD-DG=2x-1,同理:CG=2GF,∴FG=22∴AE-GF=x-(x-22)=2故选D.【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质,勾股定理;熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.7、D【解析】分析：首先证明四边形ABEF为菱形，根据勾股定理求出对角线AE的长度，从而得出四边形的面积．详解：∵AB∥EF，AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形，∵BF平分∠ABC，∴四边形ABEF为菱形，连接AE交BF于点O，∵BF=6，BE=5，∴BO=3，EO=4，∴AE=8，则四边形ABEF的面积=6×8÷2=24，故选D．点睛：本题主要考查的是菱形的性质以及判定定理，属于中等难度的题型．解决本题的关键就是根据题意得出四边形为菱形．8、C【解析】

根据平行四边形的五种判定定理（平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③两组对边分别相等的四边形；④一组对边平行且相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形）和平行四边形的性质进行判断．【详解】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形；故本选项错误；B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．故本选项错误；C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形．故本选项正确；D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；故选：C．【点睛】考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．9、B【解析】①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；②由图可知频数稳定在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；③.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.1.错误,故选B.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键.10、B【解析】

分式的分母不为零，即x-2≠1．【详解】∵分式有意义，∴x-2≠1,∴.故选：B.【点睛】考查了分式有意义的条件，（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1+【解析】试题分析：连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知了OA=，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长．解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，∴OB=OA=×=．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB=45°，则OD=BD=OB=．Rt△BCD中，∠OCB=60°，则CD=BD=1．∴OC=CD+OD=1+．故答案为1+．点评：此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．12、【解析】

在AB上取BN=BE，连接EN，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△ANE≌△ECP，从而得到NE=CP，在等腰直角三角形BNE中，由勾股定理即可解决问题．【详解】在AB上取BN=BE，连接EN，作PM⊥BC于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠DCB=∠DCM=90°．∵BE=BN，∠B=90°，∴∠BNE=45°，∠ANE=135°．∵PC平分∠DCM，∴∠PCM=45°，∴∠ECP=135°．∵AB=BC，BN=BE，∴AN=EC．∵∠AEP=90°，∴∠AEB+∠PEC=90°．∵∠AEB+∠NAE=90°，∴∠NAE=∠PEC，∴△ANE≌△ECP（ASA），∴NE=CP．∵BC=3，EC=2，∴NB=BE=1，∴NE==，∴PC=．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．13、-【解析】

由方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，利用非负数的性质得到k的值，确定出方程，求出方程的解，代入所求式子中计算即可求出值．【详解】∵方程x2+kx+34∴b2-4ac=k2-4（34k2-3k+92）=-2k2+12k-18=-2（k-3）∴k=3，代入方程得：x2+3x+94=（x+32）解得：x1=x2=-32则x12017x故答案为-23【点睛】此题考查了根的判别式，非负数的性质，以及配方法的应用，求出k的值是本题的突破点．14、上升的【解析】

∵抛物线y=x2-1开口向上，对称轴为x=0(y轴)，

∴在y轴右侧部分抛物线呈上升趋势．故答案为：上升的．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.15、【解析】

根据平均数、中位数和方差的意义分别对每一项进行解答，即可得出答案．【详解】解：∵甲班的平均成绩是92.5分，乙班的平均成绩是92.5分，∴这次数学测试成绩中，甲、乙两个班的平均水平相同；故正确；∵甲班的中位数是95.5分，乙班的中位数是90.5分，甲班学生中数学成绩95分及以上的人数多，故错误；∵甲班的方差是41.25分，乙班的方差是36.06分，甲班的方差大于乙班的方差，乙班学生的数学成绩比较整齐，分化较小；故正确；上述评估中，正确的是；故答案为：．【点睛】本题考查平均数、中位数和方差，平均数表示一组数据的平均程度中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．16、ab(2a+1)(2a-1)【解析】

先提取公因式再用公式法进行因式分解即可.【详解】4a3b-ab=ab(4a2-1)=ab(2a+1)(2a-1)【点睛】此题主要考查因式分解单项式，解题的关键是熟知因式分解的方法.17、①③⑤【解析】

①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；

②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；

③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；

④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可；

⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积．【详解】①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，

∴∠EAB=∠PAD，

又∵AE=AP，AB=AD，

∵在△APD和△AEB中，

，

∴△APD≌△AEB（SAS）；

故此选项成立；

③∵△APD≌△AEB，

∴∠APD=∠AEB，

∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，

∴∠BEP=∠PAE=90°，

∴EB⊥ED；

故此选项成立；

②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，

∵AE=AP，∠EAP=90°，

∴∠AEP=∠APE=45°，

又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，

∴∠FEB=∠FBE=45°，

又∵BE=

=

=

，

∴BF=EF=

，

故此选项不正确；

④如图，连接BD，在Rt△AEP中，

∵AE=AP=1，

∴EP=

，

又∵PB=

，

∴BE=

，

∵△APD≌△AEB，

∴PD=BE=

，

∴S

△ABP+S

△ADP=S

△ABD-S

△BDP=

S

正方形ABCD-

×DP×BE=

×（4+

）-

×

×

=

+

．

故此选项不正确．

⑤∵EF=BF=

，AE=1，

∴在Rt△ABF中，AB

2=（AE+EF）

2+BF

2=4+

，

∴S

正方形ABCD=AB

2=4+

，

故此选项正确．

故答案为①③⑤．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．三、解答题（共7小题，满分69分）18、【解析】

先根据平行线的性质证明△ADE∽△FGH，再由线段DF=BG、FE=HC及BG︰GH︰HC=2︰4︰1，可求得的值.【详解】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B,∵FG∥AB，∴∠FGH=∠B,∴∠ADE=∠FGH,同理：∠AED=∠FHG,∴△ADE∽△FGH,∴,∵DE∥BC，FG∥AB，∴DF=BG,同理：FE=HC,∵BG︰GH︰HC=2︰4︰1，∴设BG=2k，GH=4k，HC=1k,∴DF=2k，FE=1k，∴DE=5k,∴.【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形相似的判定和相似比.19、（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析.【解析】

试题分析：(1)、根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；(2)、根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；(3)、找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．试题解析：(1)、△A1B1C1如图所示；B1点的坐标（-4,2）(2)、△A2B2C2如图所示；B2点的坐标:（-4，-2）(3)、△PAB如图所示，P（2，0）．考点：(1)、作图-旋转变换；(2)、轴对称-最短路线问题；(3)、作图-平移变换．20、(1)见解析；（2）2【解析】

(1)方法一:连接AC,利用角平分线判定定理,证明DA=DC即可;方法二:只要证明△AEB≌△AFD.可得AB=AD即可解决问题；(2)在Rt△ACF,根据AF=CF·tan∠ACF计算即可.【详解】（1）证法一：连接AC，如图．∵AE⊥BC，AF⊥DC，AE=AF，∴∠ACF=∠ACE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAC=∠ACB．∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴四边形ABCD是菱形．证法二：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB=∠AFD=90°，又∵AE=AF，∴△AEB≌△AFD．∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）连接AC，如图．∵AE⊥BC，AF⊥DC，∠EAF=60°，∴∠ECF=120°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACF=60°，在Rt△CFA中，AF=CF•tan∠ACF=2．【点睛】本题主要考查三角形的性质及三角函数的相关知识，充分利用已知条件灵活运用各种方法求解可得到答案。21、﹣4﹣1．【解析】

先逐项化简，再合并同类项或同类二次根式即可.【详解】解：原式＝﹣3﹣（﹣2）﹣12＝﹣3﹣+2﹣12＝﹣4﹣1．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根式的性质以及负整数指数幂的意义是解答本题的关键.22、（1）2，2；2，2；（2）+=5；（1）AF=2．【解析】试题分析：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=25°，∴AP=BP=AB=2，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF=AB=，∴∠PFE=∠PEF=25°，∴PE=PF=1，在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE=BF==，∴AC=BC=2，∴a=b=2，如图2，连接EF，同理可得：EF=×2=2，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，∴，在Rt△ABP中，AB=2，∠ABP=10°，∴AP=2，PB=2，∴PF=1，PE=，在Rt△APE和Rt△BPF中，AE=，BF=，∴a=2，b=2，故答案为2，2，2，2；（2）猜想：a2+b2=5c2，如图1，连接EF，设∠ABP=α，∴AP=csinα，PB=ccosα，由（1）同理可得，PF=PA=，PE==，AE2=AP2+PE2=c2sin2α+，BF2=PB2+PF2=+c2cos2α，∴=c2sin2α+，=+c2cos2α，∴+=+c2cos2α+c2s