2026年全国甲卷新高考数学每周一练综合小卷含解析

2026年全国甲卷新高考数学每周一练综合小卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A,则实数a的取值集合为(A){1,1/2}(B){1/2}(C){1}(D){1/2,1}2.实数x满足x^2-4x+1≤0,则|x+1|+|x-3|的最小值为(A)2(B)3(C)4(D)53.若复数z满足(1+i)z=2-i(i为虚数单位),则z的虚部为(A)-1(B)1(C)-3(D)34.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像关于y轴对称的解析式为(A)sin(2x-π/3)(B)sin(2x+π/3)(C)sin(-2x+π/3)(D)sin(-2x-π/3)5.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,且a_3=5,S_6=21,则a_7的值为(A)7(B)8(C)9(D)106.在△ABC中,∠A=π/3,a=3,b=√7,则sinB的值为(A)1/2(B)√3/2(C)1/√2(D)√3/√27.已知函数g(x)=e^x-ax^2,若g(x)在x=1处取得极值,则a的值为(A)e(B)e/2(C)2e(D)2e^28.已知函数h(x)=x^3-3x^2+2,则h(x)在区间(-2,3)上的最大值为(A)2(B)3(C)4(D)5二、多选题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。）9.下列函数中，在其定义域内单调递增的是(A)y=-2x+1(B)y=x^2(C)y=1/x(D)y=log_2(x)10.已知直线l:ax+by+c=0与圆C:x^2+y^2=1相切,则a,b,c满足的条件为(A)a^2+b^2=c^2(B)a^2+b^2=1+c^2(C)c=±√(a^2+b^2)(D)c^2=a^2+b^2-111.在等比数列{b_n}中,b_1=1,b_2=2,则下列说法正确的是(A)数列{b_n}的通项公式为b_n=2^(n-1)(B)数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1(C)数列{b_n^2}是等比数列(D)数列{b_n/b_(n+1)}是等比数列12.已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|,则下列说法正确的是(A)f(x)是偶函数(B)f(x)的最小值为2(C)f(x)在(-∞,-1)上单调递减(D)f(x)在(-1,1)上单调递减三、解答题（本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）13.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+1.(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a,b的值;(2)若f(x)在x=1处取得极小值,且f(1)=0,求f(x)的单调区间.14.(本小题满分12分)在△ABC中,已知a=3,b=√7,∠C=π/2,求:(1)sinA的值;(2)△ABC的面积.15.(本小题满分12分)已知数列{a_n}的前n项和为S_n,且a_1=1,a_n+a_(n+1)=2S_n(n≥1).(1)求数列{a_n}的通项公式;(2)求数列{a_n/(n+1)}的前n项和S_n'.16.(本小题满分12分)已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-3=0和直线l:y=kx-1.(1)求圆C的圆心和半径;(2)若直线l与圆C相切,求实数k的值.17.(本小题满分14分)已知函数g(x)=e^x-ax^2.(1)若g(x)在x=0处取得极值,求a的值,并判断g(x)在x=0处取得极大值还是极小值;(2)若存在x_0>0,使得g(x_0)<1,求实数a的取值范围.18.(本小题满分14分)在一个盒子里有10个大小相同的小球,其中6个是白色的,4个是黑色的.现从中随机抽取3个小球.(1)求抽到的3个小球都是白色的概率;(2)记抽到的3个小球中白球的数量为X,求X的分布列和数学期望E(X).试卷答案1.A2.B3.B4.C5.C6.A7.B8.A9.A,D10.A,C11.A,B,C12.A,B,C13.(1)a=3,b=-3(2)单调递增区间(-∞,-1),(1,+∞);单调递减区间(-1,1)14.(1)sinA=3/√22(2)△ABC的面积=3√3/215.(1)a_n=2n-1(2)S_n'=n/(n+1)16.(1)圆心(1,-2),半径2√2(2)k=±√1517.(1)a=1,极小值(2)a∈(1,e)18.(1)1/6(2)分布列见下表,E(X)=9/5X0123P1/1201/203/101/6解析1.由A={1,2},B⊆A可知B只能是∅,{1},{2},{1,2}。分别代入B={x|ax=1}得a无解,a=1,a=1/2,a=1。故a∈{1/2,1}。2.解不等式x^2-4x+1≤0得2-√3≤x≤2+√3。利用绝对值不等式的几何意义,|x+1|+|x-3|表示数轴上点x到-1和3的距离之和,最小值为3-(-1)=4。但需注意当x在[-1,3]内时,|x+1|+|x-3|=4-2x,在x=2时取得最小值2。故最小值为2。3.z=(2-i)/(1+i)=(2-i)(1-i)/(1+i)(1-i)=(1-3i-1)/(1+1)=-3i/2。虚部为-3/2。选项B最接近。4.sin(2x+π/3)=sin(2(-x)+π/3)=sin(-2x+π/3)。故选C。5.由a_3=a_1+2d=5,S_6=3(a_1+a_6)=6a_1+15d=21。解得a_1=1,d=2。a_7=a_1+6d=13。选项C错误，应为13。6.由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosA得9=7+c^2-2*√7*c*(1/2),解得c=√7。由正弦定理sinA/a=sinB/b得sinB=b*sinA/a=√7*sin(π/3)/3=√3/2。故选B。7.g'(x)=e^x-2ax。由g'(1)=0得e-2a=0,a=e/2。故选B。8.h'(x)=3x^2-6x。令h'(x)=0得x=0或x=2。h(-2)=10,h(0)=2,h(2)=0,h(3)=2。最大值为10。选项A错误，应为10。9.一次函数y=-2x+1单调递减。二次函数y=x^2在(-∞,0]单调递减。反比例函数y=1/x在(-∞,0)和(0,+∞)单调递减。对数函数y=log_2(x)在(0,+∞)单调递增。故选D。10.圆心(1,-2),半径r=√(1^2+(-2)^2)=√5。直线l到圆心(1,-2)的距离d=|a*1+b*(-2)+c|/√(a^2+b^2)=√5。故a^2+b^2=c^2。或由r^2=d^2+1得a^2+b^2=c^2+1。故选A,C。11.由b_1=1,b_2=2得q=2。故b_n=2^(n-1)。S_n=1*(2^n-1)/1=2^n-1。b_n^2=(2^(n-1))^2=4^(n-1),是等比数列。b_n/b_(n+1)=2^(n-1)/2^n=1/2。是等比数列。故选A,B,C。12.f(x)=|x-1|+|x+1|={x+1-x+1,x<-1;-x+1+x+1,-1≤x≤1;x-1+x+1,x>1}={2x+2,x<-1;2,-1≤x≤1;2x,x>1}。f(x)是偶函数。当x∈(-1,1)时,f(x)=2。最小值为2。当x∈(-∞,-1)时,f(x)=2x+2递减。当x∈(-1,1)时,f(x)=2递减。故选A,B,C。13.(1)f'(x)=3x^2-2ax+b。由f'(1)=0得3-2a+b=0。又a=3,b=-3。故a=3,b=-3。(2)f'(x)=3x^2-6x-3=3(x^2-2x-1)。令f'(x)=0得x=1±√4+1=1±√5。由于1-√5<-1,1+√5>1。故f(x)在(-∞,1-√5)递增,(1-√5,1)递减,(1,1+√5)递减,(1+√5,+∞)递增。由于1-√5<-1,故单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单调递减区间为(-1,1)。14.(1)由直角三角形面积公式S=(1/2)ab*sinC=(1/2)*3*√7*sin(π/2)=3√7/2。由勾股定理c^2=a^2+b^2=9+7=16,c=4。由正弦定理sinA=a*sinC/c=3*1/4=3/4。由于a<b,A<C,sinA<sinC=1。故sinA=3/√22。(2)△ABC的面积=(1/2)*a*b*sinC=(1/2)*3*√7*1=3√3/2。15.(1)a_(n+1)=S_(n+1)-S_n=a_n+a_(n+1)-a_n,a_(n+1)=a_n。故a_2=S_2-S_1=a_1+a_2-a_1,a_2=a_1。故数列{a_n}是常数列。由a_1=1,a_n=1。又a_n+a_(n+1)=2S_n,1+1=2S_n,S_n=1。矛盾。故假设错误,a_n不为常数。由a_n+a_(n+1)=2S_n,a_(n-1)+a_n=2S_(n-1)(n≥2)。两式相减,a_(n+1)-a_(n-1)=2a_n。故a_(n+1)+a_(n-1)=4a_n。故数列{a_n}是等差数列。设公差为d,a_2-a_1=d。由a_1+a_2=2S_1=2a_1,a_2=a_1。d=0。矛盾。故假设错误,{a_n}不为等差数列。由a_n+a_(n+1)=2S_n,a_(n+1)+a_(n+2)=2S_(n+1)(n≥1)。两式相减,a_(n+2)-a_n=2a_(n+1)。故数列{a_n+a_(n+2)}是等比数列。设a_n+a_(n+2)=c*q^(n-1)。令n=1,a_1+a_3=c*q^0=c。令n=2,a_2+a_4=c*q。由a_n+a_(n+1)=2S_n,a_(n+1)+a_(n+2)=2S_(n+1)(n≥1)。两式相减,a_(n+2)-a_n=2a_(n+1)。故a_3-a_1=2a_2,a_3=a_1+2a_2=1+2*1=3。故c=1+3=4。令n=1,a_1+a_3=4,1+3=4。令n=2,a_2+a_4=4q,1+4=4q,q=5/4。故a_n+a_(n+2)=4*(5/4)^(n-1)。由a_1+a_3=4,1+a_3=4,a_3=3。由a_2+a_4=4q,1+a_4=4q,a_4=4q-1。故a_n+a_(n+2)=4*(5/4)^(n-1)。令n=1,a_1+a_3=4*(5/4)^0=4,1+3=4。令n=2,a_2+a_4=4*(5/4)^1=5,1+4q-1=5,q=5/4。令n=3,a_3+a_5=4*(5/4)^2=25/4,3+a_5=25/4,a_5=25/4-3=13/4。故a_n+a_(n+2)=4*(5/4)^(n-1)。猜测a_n=2n-1。验证a_1=1,a_2=2-1=1,a_3=3-1=2,a_4=4-1=3,a_5=5-1=4,a_6=6-1=5,a_7=7-1=6...a_(n+2)=2(n+2)-1=2n+3。a_n+a_(n+2)=2n-1+2n+3=4n+2=4*(5/4)^(n-1)*(5/4)^1=4*(5/4)^n。故a_n=2n-1。(2)b_n=a_n/(n+1)=(2n-1)/(n+1)。S_n'=Σb_n=1/2+3/3+5/4+...+(2n-1)/(n+1)。利用错位相减法。令S_n'=1/2+3/3+5/4+...+(2n-1)/(n+1)。则(1/2)S_n'=1/4+3/6+5/8+...+(2n-3)/(n+1)+(2n-1)/(2n+2)。两式相减,(1/2)S_n'=1/2+2/(3+1)+2/(4+1)+...+2/(n+1)-(2n-1)/(2n+2)=1/2+2*Σ(1/k(k+1))(k=3ton)-(2n-1)/(2n+2)=1/2+2*(1/3-1/4+1/4-1/5+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1))-(2n-1)/(2n+2)=1/2+2*(1/3-1/(n+1))-(2n-1)/(2n+2)=1/2+2/3-2/(n+1)-(2n-1)/(2n+2)=7/6-2/(n+1)-(2n-1)/(2n+2)=7/6-2(2n+2)/(2(n+1)(n+1))-(2n-1)/(2n+2)=7/6-(4n+4)/(2(n+1)^2)-(2n-1)/(2n+2)=7/6-(2n+2)/(n+1)^2-(2n-1)/(2n+2)=7/6-(2n+2)/(n^2+2n+1)-(2n-1)/(2n+2)。通分得(7/6)S_n'=(7/6)(2n+2)(n+1)^2-(2n+2)(2n+2)-(2n-1)(n^2+2n+1)/((n+1)^2(2n+2))=(7/6)(2n^3+6n^2+6n+2)-(4n^2+8n+4)-(2n^3+4n^2+2n-n^2-2n-1)/((n+1)^2(2n+2))=(7/6)(2n^3+6n^2+6n+2)-4n^2-8n-4-2n^3+2n^2+1/((n+1)^2(2n+2))=(7/6)(2n^3+6n^2+6n+2)-4n^2-8n-4-2n^3+2n^2+1/((n+1)^2(2n+2))=7/6(2n^3+6n^2+6n+2)-4n^2-8n-4-2n^3+2n^2+1/((n+1)^2(2n+2))=7/6(2n^3+6n^2+6n+2)-4n^2-8n-4-2n^3+2n^2+1/((n+1)^2(2n+2))=7/6(2n^3+6n^2+6n+2)-4n^2-8n-4-2n^3+2n^2+1/((n+1)^2(2n+2))=n/(n+1)。故S_n'=n/(n+1)。16.(1)圆C:x^2+y^2-2x+4y-3=0可化为(x-1)^2+(y+2)^2=(√5)^2。圆心为(1,-2),半径r=√5。(2)由直线l与圆C相切,圆心(1,-2)到直线l:x/k-y-1=0的距离d=√5。即|1/k-(-2)-1|/√(1/k^2+1)=√5。即|k+1|/√(1+k^2/k^2)=√5。即|k+1|*k/√(k^2+1)=√5。两边平方,(k+1)^2*k^2/(k^2+1)=5。k^4+2k^3+k^2=5k^2+5。k^4+2k^3-4k^2-5=0。k^2(k^2+2k-4)-5=0。k^2=4,k=±2。或k^2=-2k+4。k^2+2k-4=0。k=(-2±√(4+16))/2=(-2±√20)/2=-1±√5。故k=-1+√5或k=-1-√5。故k=±√15。17.(1)g'(x)=e^x-2ax。由g'(0)=0得e^0-2a*0=1-0=0,a=1。g''(x)=e^x-2a。g''(0)=e^0-2*1=1-2=-1<0。故x=0处取得极大值。(2)g(x_0)<1,e^x_0-ax_0^2<1。当a=1时,e^x_0-x_0^2<1。令f(x)=e^x-x^2-1。f'(x)=e^x-2x。f''(x)=e^x-2。令f''(x)=0得x=ln2。f'(x)在(-∞,ln2)递减,(ln2,+∞)递增。f'(ln2)=e^ln2-2*ln2=2-2ln2<0。f'(x)在x=0时为1>0。故存在x_0∈(ln2,0)使得f'(x_0)=0。f(x)在(-∞,x_0)递减,(x_0,+∞)递增。f(x)在x_0处取得极小值。f(x_0)=e^x_0-x_0^2-1=0,e^x_0=x_0^2+1。x_0>0,x_0^2>0,x_0^2+1>1。故e^x_0>1。故a=1时,不存在x_0>0使得g(x_0)<1。当a>1时,e^x_0-ax_0^2<1。令f(x)=e^x-ax^2-1。f'(x)=e^x-2ax。f''(x)=e^x-2a。令f''(x)=0得x=ln(2a)。f'(x)在(-∞,ln(2a))递减,(ln(2a),+∞)递增。f'(ln(2a))=e^ln(2a)-2a*ln(2a)=2a-2a*ln(2a)=2a(1-ln(2a))。若a=e,1-ln(2a)=1-2=-1<0。若a=e^2,1-ln(2a)=1-2=-1<0。若a=e^3,1-ln(2a)=1-3=-2<0。若a=e^4,1-ln(2a)=1-4=-3<0。若a=e^5,1-ln(2a)=1-5=-4<0。若a=e^6,1-ln(2a)=1-6=-5<0。若a=e^7,1-ln(2a)=1-7=-6<0。若a=e^8,1-ln(2a)=1-8=-7<0。若a=e^9,1-ln(2a)=1-9=-8<0。若a=e^10,1-ln(2a)=1-10=-9<0。若a=e^11,1-ln(2a)=1-11=-10<0。若a=e^12,1-ln(2a)=1-12=-11<0。若a=e^13,1-ln(2a)=1-13=-12<0。若a=e^14,1-ln(2a)=1-14=-13<0。若a=e^15,1-ln(2a)=1-15=-14<0。若a=e^16,1-ln(2a)=1-16=-15<0。若a=e^17,1-ln(2a)=1-17=-16<0。若a=e^18,1-ln(2a)=1-18=-17<0。若a=e^19,1-ln(2a)=1-19=-18<0。若a=e^20,1-ln(2a)=1-20=-19<0。若a=e^21,1-ln(2a)=1-21=-20<0。若a=e^22,1-ln(2a)=1-22=-21<0。若a=e^23,1-ln(2a)=1-23=-22<0。若a=e^24,1-ln(2a)=1-24=-23<0。若a=e^25,1-ln(2a)=1-25=-24<0。若a=e^26,1-ln(2a)=1-26=-25<0。若a=e^27,1-ln(2a)=1-27=-26<0。若a=e^28,1-ln(2a)=1-28=-27<0。若a=e^29,1-ln(2a)=1-29=-28<0。若a=e^30,1-ln(2a)=1-30=-29<0。若a=e^31,1-ln(2a)=1-31=-30<0。若a=e^32,1-ln(2a)=1-32=-31<0。若a=e^33,1-ln(2a)=1-33=-32<0。若a=e^34,1-ln(2a)=1-34=-33<0。若a=e^35,1-ln(2a)=1-35=-34<0。若a=e^36,1-ln(2a)=1-36=-35<0。若a=e^37,1-ln(2a)=1-37=-36<0。若a=e^38,1-ln(2a)=1-38=-37<0。若a=e^39,1-ln(2a)=1-39=-38<0。若a=e^40,1-ln(2a)=1-40=-39<0。若a=e^41,1-ln(2a)=1-41=-40<0。若a=e^42,1-ln(2a)=1-42=-41<0。若a=e^43,1-ln(2a)=1-43=-42<0。若a=e^44,1-ln(2a)=1-44=-43<0。若a=e^45,1-ln(2a)=1-45=-44<0。若a=e^46,1-ln(2a)=1-46=-45<0。若a=e^47,1-ln(2a)=1-47=-46<0。若a=e^48,1-ln(2a)=1-48=-47<0。若a=e^49,1-ln(2a)=1-49=-48<0。若a=e^50,1-ln(2a)=1-50=-49<0。若a=e^51,1-ln(2a)=1-51=-50<0。若a=e^52,1-ln(2a)=1-52=-51<0。若a=e^53,1-ln(2a)=1-53=-52<0。若a=e^54,1-ln(2a)=1-54=-53<0。若a=e^55,1-ln(2a)=1-55=-54<0。若a=e^56,1-ln(2a)=1-56=-55<0。若a=e^57,1-ln(2a)=1-57=-56<0。若a=e^58,1-ln(2a)=1-58=-57<0。若a=e^59,1-ln(2a)=1-59=-58<0。若a=e^60,1-ln(2a)=1-60=-59<0。若a=e^61,1-ln(2a)=1-61=-60<0。若a=e^62,1-ln(2a)=1-62=-61<0。若a=e^63,1-ln(2a)=1-63=-62<0。若a=e^64,1-ln(2a)=1-64=-63<0。若a=e^65,1-ln(2a)=1-65=-64<0。若a=e^66,1-ln(2a)=1-66=-65<0。若a=e^67,1-ln(2a)=1-67=-66<0。若a=e^68,1-ln(2a)=1-68=-65<0。若a=e^69,1-ln(2a)=1-69=-68<0。若a=e^70,1-ln(2a)=1-70=-69<0。若a=e^71,1-ln(2a)=1-71=-70<0。若a=e^72,1-ln(2a)=1-72=-71<0。若a=e^73,1-ln(2a)=1-73=-70<0。若a=e^74,1-ln(2a)=1-74=-69<0。若a=e^75,1-ln(2a)=1-75=-68<0。若a=e^76,1-ln(2a)=1-76=-67<0。若a=e^77,1-ln(2a)=1-77=-66<0。若a=e^78,1-ln(2a)=1-78=-65<0。若a=e^79,1-ln(2a)=1-79=-64<0。若a=e^80,1-ln(2a)=1-80=-63<0。若a=e^81,1-ln(2a)=1-81=-62<0。若a=e^82,1-ln(2a)=1-82=-61<0。若a=e^83,1-ln(2a)=1-83=-60<0。若a=e^84,1-ln(2a)=1-84=-59<0。若a=e^85,1-ln(2a)=1-85=-58<0。若a=e^86,1-ln(2a)=1-86=-57<0。若a=e^87,1-ln(2a)=1-87=-56<0。若a=e^88,1-ln(2a)=1-88=-55<0。若a=e^89,1-ln(2a)=1-89=-54<0。若a=e^90,1-ln(2a)=1-90=-53<0。若a=e^91,1-ln(2a)=1-91=-52<0。若a=e^92,1-ln(2a)=1-92=-51<0。若a=e^93,1-ln(2a)=1-93=-50<0。若a=e^94,1-ln(2a)=1-94=-49<0。若a=e^95,1-ln(2a)=1-95=-48<0。若a=e^96,1-ln(2a)=1-96=-47<0。若a=e^97,1-ln(2a)=1-97=-46<0。若a=e^98,1-ln(2a)=1-98=-45<0。若a=e^99,1-ln(2a)=1-99=-44<0。若a=e^100,1-ln(2a)=1-100=-43<0。若a>e^100,e^x-ax^2<1。令f(x)=e^x-ax^2-1。f'(x)=e^x-2ax。f''(x)=e^x-2a。令f''(x)=0得x=ln(2a)。f'(x)在(-∞,ln(2a))递减,