【《浅析用射线定义角的教学》2100字（论文）】

浅析用射线定义角的教学摘要：在小学阶段该不该用射线来定义角在教学上存在争议，有学者指出，在小学阶段不宜用射线来定义角，因为这样会显得突兀，不自然[1]。本文以人教版小学数学教材为例，结合《数学课程标准》、《教师教学用书》及《角的认识与度量教学研究》等书籍，谈用射线定义角在数学研究中的必要性。关键词：角；用射线定义角；必要性角，既是数学名词又是生活名词。在生活中，主要指牛角、羊角、人民币中的“角”等。在数学中，“角”具有高度的抽象性，包含静态角和动态角两类。其中，静态角是指从一点引出两条射线所组成的图形；动态角是指由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形[2]。无论是静态角还是动态角，都指出角是由射线组成，说明射线在定义角的过程中是必要的。本文将从数学概念的抽象性、角的本质属性、角与位置的确定方面阐述射线定义角的必要性。用射线定义角，体现了数学概念的高度抽象性在生活中，我们可以见到许多与“角”相关的例子，如剪刀上的角、五角星上的角、墙角、桌角、书本的四个角等。在这些角中，无论是哪种类型的角都能看到有一个公共的点和两条长短不一的边，这些边的长看起来明明都是有限的，可是在数学上却都没有将其定义为线段，而是定义为射线。这是为什么呢？首先，数学中的角都是由现实生活中的模型抽象出来的，我们依据这些模型，归纳出这些角的共同特征：有一个公共的地方，从这个公共的地方出发向两个不同的方向延伸出两条不同的“边”[3]。这里强调的从同一地方引出的不同方向的两条边，就是角概念的本质属性；而从同一地方引出的长短不一的两条边，则是角概念的非本质属性。在数学中，采用射线定义角的边，实质上就是把角的边的长度看作成“无限长”，把呈现出来的“线段”看作是射线的一部分，用这样的方式，就可以将所有的角的边的长都用射线统一表示了。如果用线段定义角的边，无论给出的线段(边)有多长，在现实生活中，总能找到一些例子，使得角的边的长比给定的线段（边）的长度还要长。基于现实的考虑，用射线定义角的抽象性会比用线段定义角更合理。用射线定义角，更能突显角的本质属性角的核心是研究角两边张开的程度，即角的大小，用射线定义角的边，更能突出数学研究的重点。当把边的长度定义为无限长后，实质上就不用再比较这些边的长了，再去研究边的长短也没有多大意义[3]。如果用线段定义角的边，则会关注到非本质属性中的线段长度对角的影响。数学中的角，展现的形式也是多样的，如图1。有单独一个角的，有多个角合并在一起的，也有多边形中的角等。每种类型的角的边呈现出来的特点也不一样，有的看起来是射线，有的看起来像“线段”。在多边形中，那些角的边是射线还是线段呢？下面就以三角形中的角为例，对角所对应的边的属性进行研究。在图2中，标记的角可以有3种形式的表示，分别是∠A、∠CAB和∠1，无论是哪种记法，都能表示为同一个角张开的大小，也就有∠A=∠CAB=∠1。对角A而言，边AB和边AC是线段还是射线呢？为了探究这一问题，我们不妨作个假设，假设边AB和边AC是两条射线，探究当两边无限延伸时，角A的大小是否会发生改变。通过实验可知，当把边AB和边AC继续延伸时（图2右），角两边张开的大小并没有发生改变，说明角的本质属性没有发生改变。因此，边AB和边AC可以看作是角A的两条射线，而这两条射线就是由线段AB和线段AC无限延伸得到的。由此可见，无论是哪种多边形的角的边，都可以用射线定义角，都能更好地凸出角的本质属性。用射线定义角，能更好地确定物体的位置在解决问题中，我们经常会碰到两个角的大小比较，如图3。要比较这两个角的大小并且是大多少的问题，这就关系到角的精确度量了。角的度量，其实就是对动态角的研究，研究一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置，计量这两条射线张开的大小。用射线定义角，在确定位置中体现得尤为重要。如图4，要想确定小刚家的具体位置，首先要确定参照物。在描述一个物体的确切位置时，必须要包含两个基本要素——方向与距离。在方向和距离的确定中，先确定哪个要素可以使物体的位置描述地更清晰、准确呢？毋庸置疑是先有方向再有距离。在这里，我们可以选定学校为参照点，在学校的位置先明确“东、西、南、北”四个方向，这里的四个方向其实就是角概念中的四条不同方向的射线。接下来，再以正东方向或正北方向为起始方向，经过向北或向东方向旋转，将旋转后的射线经过小刚家时，再确定小刚家离学校的距离，从而确定小刚家的位置。试想下，如果用线段的方式去表示“东、西、南、北”四个方向，结果会怎样？在度量的时候会很难把握到这里所需的线段有多长，只要线段的长度小于学校到小刚家的标量距离，都是不能度量出小刚家位于学校的确切方向。所以，将角的定义与物体方向的确定结合起来，能够把复杂的空间问题更直观地表示出来。图4总之，用射线定义角，能够更全面地凸显角的本质属性，能更全面的解释角的大小比较、角的度量和物体位置的确定等知识。参考文献[1]张奠宙，巩子坤，任敏龙等著.小学数学教材中的大道理[M].上海：上海教育出版社，2018.3：291-219.[2]义务教育教科书教师教学用书[M].数学四年级.上册/人