平面向量的数量积及应用

PAGE14平面向量的数量积及应用复习一、知识要点：1．向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。2．平面向量的数量积：定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量||||cosθ叫作与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即·＝0.3．向量的数量积的性质：①设两个非零向量，，其夹角为，则：；②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；③非零向量，夹角的计算公式：；④。⑤·=·=︱︱cos(为单位向量);4．平面向量数量积的坐标表示：设向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，θ为向量，的夹角．(1)数量积：·＝||||cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：||＝＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(3)夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).(4)两非零向量⊥的充要条件：·＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|·|≤||||(当且仅当∥时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)).5．平面向量数量积的运算律：(1)·＝·(交换律)．(2)λ·＝λ(b)＝·(λ)(结合律)．(3)(＋)·＝·＋·(分配律)．6．重要结论:①向量垂直的充要条件：.特别地。②为的垂心；二、题型：(一)向量的数量积的概念:对于向量，，和实数，下列命题中真命题是（B）A．若，则或 B．若，则或C．若，则或 D．若，则（二）求平面向量数量积：1.已知圆是的外接圆，其半径为1，且，，则（B）A.B.C.D.2.在中，，，则的值为（D）A．3 B．﹣3 C． D．3.已知是边长为2的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值是（B）A.B.C.D.4．在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是（）A． B． C． D．（三）求向量的夹角：1.已知,为单位向量，且，若，则______.2.已知非零向量，，满足，且，的夹角为，，则，的夹角为（）A.B.C.D.3.已知向量，则___________.详解：．4．已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是（D）ABCD5.已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若与的夹角为60°，则实数λ的值是.（四）求向量的模：1．平面向量与的夹角为，且，，则(C)A. B. C. 2 D.2．已知向量的夹角为，；3．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解：(1)若a⊥b，则a·b＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，故x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，∴|a－b|＝eq\r(－22＋