数学交大附中三模-教师版

2024年交大附中三模一、单选题1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A、是整式的乘法，不符合题意；B、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意；C、是因式分解，符合题意；D、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意；故选C．2．下列关于的一元二次方程有实数根的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：A、，没有实数根，故此选项不合题意；B、，有实数根，故此选项符合题意；C、，没有实数根，故此选项不合题意；D、，没有有实数根，故此选项不合题意；故选：B．3．若，则的正切值h的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，，即故选：D．4．两圆的半径分别为和，且两圆的圆心距为，则这两圆的位置关系是（

）A．相交 B．外切 C．内切 D．相离【答案】B【解析】解：两圆的半径分别为和，且两圆的圆心距为，，由于两圆外切时，圆心距等于两圆半径的和，两圆外切．故选：B5．已知直线在x轴上的截距为1，则实数m的值为（

）A．2或 B．2或 C．或 D．或【答案】A【解析】解：由题意知，令，得在x轴上截距为，即，解得，或．经检验均为方程的根，且符合题意，故选：A．6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，，，，，，，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得，直线的解析式为．轴，N的横坐标为x，（1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，，，，该段图象为开口向上的抛物线；（2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为，，该段图象为直线；（3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为，由，可得直线的解析式为，，，，，该段图象为开口向下的抛物线；观察四个选项可知，只有选项A满足条件，故选A．二、填空题7．函数的取值范围为．【答案】/【解析】根据题意可知，解得．故答案为：．8．从1，2，中随机抽取一个数，是无理数的概率为．【答案】【解析】解：1，2，中，无理数有一个，∴从1，2，中随机抽取一个数，是无理数的概率为，故答案为：．9．数据组：28，37，32，37，35的中位数是．【答案】35【解析】解：把这组数据从小到大排列为：28，32，35，37，37，最中间的数是35，则中位数是35．故答案为：35．10．某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润（万元）．每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是万元．【答案】205【解析】解：∴当时，取最大值41，（万元），年所获利润的最大值205万元，故答案为：205．11．我国建设的世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥，全长55千米，比南京长江大桥的8倍还多千米，求南京长江大桥的长度是多少千米．若设南京长江大桥的长度是x千米，可列方程为．【答案】【解析】解：设南京长江大桥的长度是x千米，根据题意得：故答案为：．12．我国2024年六五环境日的主题是“全面推进美丽中国建设”，旨在提高人们保护生态环境意识，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容包含保护“自然环境”，“人类环境”，“生态环境”，“地球生物”四个项目，小红四项成绩（百分制）依次是95，90，85，100.若以上四个项目按的比确定综合成绩，则小红的综合成绩为分．【答案】【解析】解：小红的综合成绩为，故答案为：．13．如图，在中，点D是的中点，设，，那么可以用含、的式子表示为．【答案】【解析】解：∵，点D是的中点，∴，又∵，∴，故答案为：．14．当时，y与x的函数解析式为，则y的范围是．【答案】/【解析】解：当时，；当时，，当时，的范围是．故答案为：．15．在平面直角坐标系中，点的坐标为，称关于的方程为点的对应方程．若点，，则线段上任意点的对应方程的实数根有个．【答案】0【解析】解：设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，设直线上的任意一点为，∴这个点的对应方程为，∵∵，当有最小值，当有最大值，∴，即，∴线段上任意点的对应方程都没有实数根，故答案为：016．如果两个不全等的等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这两个等腰三角形称为一对合同三角形．设一对合同三角形的底角分别为和，那么．（用的代数式表示）【答案】/【解析】解：∵两个等腰三角形的腰长相等，面积也相等，∴腰上的高相等，可分两种情况讨论：①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，如下图，则有，，，，在和中，，∴，∴，，即有；此时两个等腰三角形全等，不符合题意；②当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，如下图，则有，，，，在和中，，∴，∴，∴，，∴，∴，此时两个等腰三角形不全等，符合题意．故答案为：．17．如图是一款上铺的收纳挂篮（如图1），其侧截面可看作直角梯形，现有一长方体形状的物体放置在该挂篮中，当物体如图2放置时，AB∥PQ，正方形DMEC为露出挂篮部分，此时，当物体如图3放置时，与Q重合，四边形为露出挂篮部分，此时，且，则到PQ的距离为．【答案】（＋40）cm【解析】解：∵S正方形DMEC=400cm2，∴CD=DM=AB=20cm，∴C′D′=CD=A′Q=20cm，∵S四边形D′C′NF=200cm2，D′F=C′N，∴×（D′F+C′N）×C′D′=200，即×C′N×20=200，∴C′N=8cm，∴D′F=12cm，∴MF=C′N=8cm，过点N作NG⊥A′D′于G，过点D′作D′H⊥PQ于H，交MN于T，过点A′作A′K⊥D′H于K，则D′G=C′N=8cm，FG=4cm，NG=20cm，∴，∵∠NFG=∠D′FT，∠D′TF=∠NGF=90°，∴△D′FT∽△NFG，∴，即，∴D′T=，∵∠NFG=∠A′FM，∠NGF=∠M=90°，∴△A′FM∽△NFG，∴，即，∴A′M=40，A′F=，∵∠M=∠P=∠FA′Q=90°，∴∠MA′F+∠QA′P=∠QA′P+∠A′QP=90°，∴∠MA′F=∠A′QP，∴△A′FM∽△QA′P，∴∴，∴A′P=，∵四边形A′PHK、A′KTM为矩形，∴TK=A′M=40，KH=A′P=，∴D′H=D′T+TK+KH=+40+=（+40）cm，故答案为：（+40）cm．18．如图，、、均为等边三角形，边在圆的直径上，点F恰好落在圆上，且，若、D、F三点恰好在同一条线上，则的值为．【答案】【解析】解；如图，连接，，则D在上．∵是直径，点F恰好落在圆上，∴，∵均为等边三角形，∴，．∴，∴，设的边长为x，则的边长为，∵、、均为等边三角形，∴，∴，．∵，∴．∵，∴，∴，∴，解得，（舍去），经检验，是原方程的解∴，∴，故答案为：．三、解答题19．先化简，再求值：，且为满足的整数．【答案】，当时，原式(答案不唯一)【解析】解：，∵且，，∴当时，原式(答案不唯一)．20．解方程组：【答案】，【解析】由①得，∴或将它们与方程②分别组成方程组分别为：，，求解得：，求解得：∴原方程组的解为：，．21．如图，在中，，点O在上，以O为圆心，为半径的交于点D．连接，．(1)求证：是的切线；(2)若，求的值．【答案】(1)见解析(2)【解析】（1）如图，连接，∵，∴，又∵，，，∴，即，∵是半径，∴是的切线；（2）解法一：在中，由于，可设，则，由勾股定理得，，在中，，．，∴，，在中，设，则，由勾股定理得，，即，解得，即，∴，∴．解法二：过点作于点，在中，由于，可设，则，由勾股定理得，，在中，，．，∴，，∴，∵，∴，∴．22．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）求出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．【解析】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b．把(22，36)与(24，32)代入，得解得，∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）．(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150．解得x1＝25，x2＝35(舍去)．答：每本纪念册的销售单价是25元．(3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200．∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大，∴当x＝28时，w最大＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)．答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．23．如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且．(1)求证：；(2)若，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）证明：∵，∴，∵，∴．∴．∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．24．定义：当（，为常数，）时，函数最大值与最小值之差恰好为，我们称函数是在上的“雅正函数”，“”的值叫做该“雅正函数”的“雅正值”．【初步理解】（1）试判断下列函数是在上的“雅正函数”为______．（填序号）①；②；③．【尝试应用】（2）若一次函数（，为常数，）和反比例函数（为常数，）都是在上的“雅正函数”，求的值．【拓展延伸】（3）若二次函数是在（，为常数，）上的“雅正函数”，雅正值是3．①求、的值；②若该二次函数图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．点为二次函数图象上一点，且点的横坐标为，点、点是线段上的两个动点（点在点的左侧），分别过点、点作轴的平行线交抛物线于点、点，如果，其中为常数．试探究：是否存在常数，使得为定值．如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．参考公式：【答案】（1）②③;（2）；（3）①，；②存在，【解析】解：（1）由题意得：，对于①当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，则最大值与最小值之差为，不符合题意；对于②当时，取得最大值为，当时，取得最小值为3，则最大值与最小值之差为，符合题意；对于③当时，取得最大值为，当时，取得最小值为2020，则最大值与最小值之差为，符合题意；故答案为：②③；（2），对于反比例函数，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，则，解得：；对于一次函数，同理可得：，解得：，；（3）①由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，当时，取得最大值为：，当时，取得最小值为：，则，解得：，；②在抛物线中，令，∴令，解得，∵点在点的左边，∴把代入得∴过点作轴于点，，在中，．过点作轴交的延长线于点，交轴于点，设，，则，，，，，，，则，即：，则，为常数，要使得为常数，则，．25．新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．(1)若是“近直角三角形”，，，则______度；(2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．(3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值．【答案】(1)20(2)存在，(3)的