2025-2026学年辽宁省沈阳一中高二（下）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年辽宁省沈阳一中高二（下）第一次段考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布N（80，400），则分数在100-120之间的考生约有（）（参考数据：若X∼N（μ，σ2），则有P（μ-σ⩽X⩽μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ⩽X⩽μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ⩽X⩽μ+3σ）≈0.9973）A.1360人 B.1570人 C.2720人 D.3410人2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若5a5和S2的等差中项为6，则S7=（）A.6 B.9 C.12 D.153.通过下表5组数据得到的经验回归方程为，则的值为（）x23456y0.670.560.470.390.31A.-0.08 B.0.08 C.-0.09 D.0.094.已知数列{an}为等比数列，其中a6，a10是方程x2+8x+5=0的两根，则a8=（）A. B. C. D.5.已知随机变量X∼N（μ，σ2），且，且2E（X）=D（2Y），则p=（）A. B. C. D.6.对于数列{an}，定义为数列{an}的“优值”，现已知数列{an}的“优值”，记数列{an}的前n项和为Sn，则=（）A.2027 B. C.2029 D.7.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着10排相互平行但错开的小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，假定其每次碰到小木钉后，向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入（）号格子的概率最大.A.5

B.6

C.7

D.88.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为Pn，则错误的是（）A.

B.数列为等比数列

C.

D.第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法正确的是（）A.数据1，2，3，5，7，8的25%分位数为2

B.若随机变量ξ∼N（μ，σ2），且P（ξ≥-1）+P（ξ≥5）=1，则μ=1

C.若数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2，则数据x1，x2-1，x3-2，x4-3，x5-4的平均数为0

D.在独立性检验中，χ2的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小10.已知等差数列{an}的公差为d≠0，其前n项和为Sn，且a10（a10+a11）＜0，则（）A.S19S20＜0 B.a10a11＜0

C.若a1＜0，则a2025＞a2026 D.若a1=1，则11.若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=2，且满足，则下列说法正确的是（）A.

B.是等比数列

C.当n为偶数时，

D.数列{nan}的前n项和为Tn，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=28，若a3，a1，a8成等比数列，则a8=

.13.已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记X为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则X的数学期望E（X）=

.14.如图，由观测数据（xi，yi）（i=1，2，3，4，5，6）的散点图可知，Y与X的关系可以用模型Y=blnX+a拟合，设Z=lnX，利用最小二乘法求得Y关于Z的回归方程为.已知，，则=

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：企业ABCDEFG研发投入x（万元）3006009001200200028004000年度专利产出数y（件）357691011（1）现从这7家企业中随机抽取1家.记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”.

（i）求条件概率P（N|M）的值；

（ii）判断事件M与N是否相互独立，并说明理由；

（2）从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）.16.(本小题15分)

已知数列{an}的前n项和Sn=2-an-（）n-1（n∈N*），数列{bn}满足bn=2nan．

（1）求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．17.(本小题15分)

某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，如表是该商场连续五天的日销售情况：温度/℃[19，20）[20，21）[21，22）[22，23）[23，24）温度变量xi12345销售量yi/万份0.30.30.50.91其中i=1，2，3，⋯，温度变量xi对应的销售量为yi.

（1）建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在[24，25）区间时该饮品的日销售量.

（2）为了了解消费群体中男、女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了2×2列联表为：喜欢一般合计女9020110男7040110合计16060220依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性别有关联？

（3）超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成[1，3），[3，5），[5，7），[7，9），[9，11]（单位：千份）五组，并绘制了如图的频率分布直方图.

根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.

附：，，χ2=，n=a+b+c+d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82818.(本小题17分)

记各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知.

（1）证明：数列{an}为等差数列；

（2）记，数列{bn}的前n项和为Tn，若存在正整数n,使得，求k的取值范围.19.(本小题17分)

在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：

方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；

方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；

方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为.

（1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；

（2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：

①第1次，随机选择一种方案；

②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.

记第n次选择方案A，B，C的概率分别为an，bn，cn.

（i）求a2，b2，并证明：数列为等比数列.

（ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】AC

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】1

15.【答案】解：（1）（i）因为，，

根据条件概率可得；

（ii）事件M与N不相互独立；

因为，，

所以P（N）≠P（N|M），

故M，N不相互独立；

（2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，

随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

，，

，，

故X的分布列为：X0123P故X的数学期望．

16.【答案】解：（1）数列{an}的前n项和Sn=2-an-（）n-1（n∈N*）①，

当n=1时，解得，

当n≥2时，Sn-1=2-an-1-（）n-2，②

①-②得：an=Sn-Sn-1=，

整理得，

由于数列{bn}满足bn=2nan．

所以bn-bn-1=1（常数），

所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．

所以2nan=n，

整理得．

（2）由（1）得：Sn=2-an-（）n-1=2，

设的前n项和为Mn，

则①，

②，

①-②得：，

整理得：．

所以=．

17.【答案】（1）一元线性回归模型为：;估计温度在[24，25）区间时该饮品的日销售量为1.2万份

（2）依据小概率值α=0.01的独立性检验，对饮品的喜欢程度与性别有关联

（3）约为6.3千份

18.【答案】证明：根据题意，正数的数列{an}中，若，

所当n=1时，有，即2-a1-1=0，

变形可得，所以a1=1，

又，所以，

当n≥2，，

变形可得：，即（an+an-1）（an-an-1-2）=0，

因为{an}各项均为正数，所以an+an-1＞0，故an-an-1=2，

数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，结论成立

（-∞，6]

19.【答案】

（i），，证明如下：

设第n次物流选择方案A，B，C