2025-2026学年下学期江苏南京五校高三数学2026年4月联合调研考试（含答案）

2025-2026学年第二学期五校联盟4月联合调研高三数学注意事项:1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分150分,考试形式闭卷,2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分。3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=y∣y=2x3,−A.4B.2C.2D.12.已知复数z满足z+z−1i=3A.1B.1C.2D.53.直线x=2与抛物线C:y2=2pxp>0交于D、E两点,若OD⋅A.x=−14B.x=−4.某班5位同学参加3项比赛,要求每人报名1项或2项,且每个项目恰有2人报名,则不同的报名方法有()种.A.120B.180C.240D.3605.氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体.假设500g氡气经过t天后，氡气的剩余量(单位:g)为At=k⋅at，其中a，A.320gB.300gC.250gD.200g6.无穷数列an为各项均为正数的等差数列,k、l、s、t为正整数,则“kA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知平面直角坐标系xOy中,OA⋅OB=0,AB=A.15,35C.16,368.若gx=bx−1与fx=ex有且仅有一对对称的点关于函数A.1,+∞B.(−∞,1]C.二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知随机变量X:N3,σ2A.EX=C.P2≤10.已知函数fx的定义域为0,+∞,f′x为fx的导函数,满足2fA.fB.过原点且与fx相切的直线方程为C.不等式x−12fD.若k<fx恰有两个整数解,则k11.若正方体ABCD−A1B1C1A.有无数个点P,使得AP⊥平面B.有无数个点P,使得AP//平面C.若点P∈平面BCC1B1,则D.若点P∈平面BCC1B1,则四棱锥三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.x−2y5的展开式中x213.已知α,β∈0,π2,且满足sinαtan14.抛物线y=x2上有A,B,C三个点,满足AB⊥BC,且直线AC的倾斜角为0,若△四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知g(1)给定区间x∈0,e，试求出fx(2)求证:不存在n>0,使y=gx在x=n处的切线恰平行于16.(本小题满分15分)已知在△ABC中，其内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且(2)若△ABC中任意一个角都小于90°，且c2=417.(本小题满分15分)已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为4的正方形，点P在底面ABCD(不含边界)上的射影为点P0，且PP0=3，设直线PA与平面ABCD所成角为α，直线PB与平面(1)已知α=(i)证明:△PAD(ii)若平面PAB⊥平面PCD,求四棱锥P−ABCD外接球的表面积;(2)若α+β=π2，判断是否存在点P018.(本小题满分17分)甲社区有n个女生和n个男生,且每个女生都认识所有男生;乙社区有n个女生g1,g2,…,gn和2n−1个男生b1,b2,…,b2n−1,其中女生(1)若n=3(2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的m队的不同的选法种数为Anm和(i)求Anm,并证明:当2≤m≤(ii)若从乙社区中随机选出m个女生和m个男生,并将他们随机组成m个男、女搭配的队,求组队结果满足参赛要求的概率.19.(本小题满分17分)已知圆C2:x2+y2=4+b2与双曲线C1:x24−y2b2(1)若XA​2=6(2)若F1，F2是C2与x轴的交点，点P在C1上，且PF1=8，已知b(3)若过点0,2+b22且斜率为−b2的直线l交曲线Γ于点南京五校联盟2025-2026学年第二学期4月联合调研数学试题一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个选项符合要求1.已知集合A=yy=2x3,−1A.4B.2C.2D.1【答案】A2.已知复数z满足z+z−1i=A.1B.3C.2D.5【答案】Dz=3+i1+i,所以z3.直线x=2与抛物线C:y2=2pxp>0交于D、E两点，若A.x=−14B.x=−【答案】B不妨设点D在第一象限，则点E在第四象限，联立x=2y2=2px可得所以,OD⋅OE=4−4p=0,解得p=4.某班5位同学参加3项比赛，要求每人报名1项或2项，且每个项目恰有2人报名，则不同的报名方法有()种A.120B.180C.240D.360【答案】B设报1项的同学有x人，报2项的同学有y人，由题意有:5位同学每人报名1项或2项,3个项目每个项目恰有2人报名,总报名名额为3×2=6,所以x+y=5x+第一步:先选报2项的同学有C51第二步:选该同学报的2个项目有C32=3种选法,假设选的项目是A则项目A,B各已有1人，还需各1人，项目C还需要第三步:分配剩余4人，从4人中选1人去项目A有C41=4种选法，选1人去项目B有剩余的2人去项目C有1种选法,其有4×3根据分步乘法计数原理有:5×35.氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体.假设500g氡气经过1天后，氡气的剩余量(单位:g)为At=k⋅at，其中a,k为常数.在此条件下，已知A.320gB.300gC.250gD.200g【答案】A由题意可得A0=k=500,A1=6.无穷数列an为各项均为正数的等差数列，k、l、s、t为正整数，则“A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B设正项等差数列an的首项为a1,公差为则ak两式作差得ak充分性:若k+l>s+若d=0,则k+l−s必要性:若ak+al>因为d≥0,所以k+l−s因此,"k+l>s+t7.已知平面直角坐标系xOy中，OA⋅OB=0，AB=2，CA.15,35B.−15,【答案】A如图所示，由OA⋅OB=0得OA⊥OB,△OAB是直角三角形，斜边根据直角三角形斜边中线性质，可得OM=1即M在以原点O为圆心、半径r=1根据向量极化恒等式，对任意∨ABC,M为有CA=CM2−AB22,代入因为OC=32+42=5所以CM的范围是:OC−即16≤CM2≤368.已知函数fx=ex与gx=bx−1A.[1,+∞)B.(−∞,1]【答案】C根据指对数函数的图象可知,fx=ex与hx=ln所以函数fx=ex与gx=等价于函数hx=lnx与令lnx=ax−1所以直线y=a与y设Fx=lnx+在0,1上,F′x>0,Fx而F1e=0,F1=1所以当x→0时,Fx→−∞,当x→+∞则函数Fx=lnx+1xx>0所以实数a的取值范围是−∞,0二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知随机变量X∼N3,σ2A.EX=3B.PX【答案】AB由正态分布的定义知EX=由PX≤3=PX≥3=1P2≤PX≥10.已知函数fx的定义域为0,+∞,f′x为fx的导函数,满足A.fB.过原点且与fx相切的直线方程为C.不等式x−12fD.若k<fx恰有两个整数解，则k【答案】ABDA选项,由2fx可得2xfx+x2f故x2fx=lnx+c,c故fx=lnxB选项，设切点为x0,y0，y0=lnx0x所以切线方程为y−y0=1因为切线过原点,所以0−解得3lnx0=1,x0=3e，所以C选项,f′故当x∈0,e时,f′x>0所以fx在0,e上单调递增,在故fx的极大值为f又f1=0,0<x<1且x→0时,fx→−∞,x当x>12时,x−12>0∴x−12fx>0的解集是D选项，因为f2>f3>f4>则整数解为2和3，所以f4≤k<f3，即ln故实数k的取值范围是ln28,ln3911.已知正方体ABCD−A1B1C1D1A.有无数个点P，使得AP//平面B.有无数个点P，使得AP⊥平面C.若点P∈平面BCC1B1，则D.若点P∈平面BCC1B1,则四棱锥【答案】ACD令正方体ABCD−A1B1C1D1连接AB1,AD1,B1D即有AD1//BC1,而BC1⊂平面BDC1,A同理AB1//平面BDC1,又A因此平面AB1D1//平面BDC1，令平面对圆M上任意一点(除点A外)均有AP//平面BDC1对于B，过A与平面BDC1垂直的直线AP仅有一条，这样的P点至多一个，B对于C,显然AB⊥平面BCC1B1令点P22cosθ,2因此AP=PC1=22AP+PC1=2此时22sinθ+cosθ=−12,即sinθ+对于D，平面BCC1B1截球面为圆R，圆R的半径为22，则圆R上的点到底面ABCD的距离的最大值为2+12，因此四棱锥P三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分12.x−2y5的展开式中【答案】-80x−2ys的展开式的通项公式为令r=3可得−23C53x2y313.已知a,β∈0,π2，且满足sinatan【答案】4因为a,β∈0由sinatanβ=2即cosa+β=−cosβ所以tana+β=−tanβ所以sin2β14.抛物线y=x′上有A,B,C三个点，满足AB⊥BC，且直线AC的倾斜角为0，若△【答案】12设Aa,a2,C−a,a2,Bb,b2.由AB⊥BC得a2−b2=1。取a>0，则三角形面积S=a，内切圆半径r=6−化简得t2−4t+1=0,解得t+1所以OB四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.已知g(1)给定区间x∈(0,e]，试求出fx(2)求证:不存在n>0，使y=gx在x=n(1)∵f①若a≤0，则f′x>0②若0<a<e，当x∈0,a时，f′x<当x∈(a,e]时，f′x>0，函数③若a≥e，则f′x≤0，函数fx综上，当a≤0时，fx在当a≥e时，fx在((2)令n=x由(1)易知,当a=1时，fx在0,1∴fx在0,+∞上的最小值为即∀x0∈0,+∞∴g∵曲线y=gx在点x=x0处的切线与x轴平行等价于方程g′x0=0故不存在实数x0∈0,+∞,使曲线y=gx在点16.已知在△ABC中，其内角A,B,C的对边分别为(1)求证:△ABC中存在一个内角等于另一个内角的2(2)若△ABC中任意一个角都小于90∘，且c2=4证明:因为sinA+sinBc=sinCa又由余弦定理得c2=a2+由正弦定理得sinA因为sinB可得sinA因为A,C为三角形的内角,所以A=C−所以△ABC中存在一个内角等于另一个内角的2(2)由(1)知，△ABC为二倍角三角形，即C=2A，则B因为△ABC为锐角三角形,则满足0解得π6<A<又由正弦定理得bsinB=csinC且可得b=4因为函数y=4x−1所以,当x=22时,4cosA当x=32时,4cosA故实数b的取值范围为2所以b既不存在最大值也不存在最小值17.已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为4的正方形，点P在底面ABCD(不含边界)上的射影为点P0，且PP0=3，设直线PA与平面ABCD所成角为a，直线PB与平面(1)已知a=(i)证明:⑦PAD的面积为定值;(ii)若平面PAB⊥平面PCD,求四棱锥P−(2)若a+β=π2，判断是否存在点P0，使得(1)(i)如图:连接AP0,BP0,可知直线PA,PB与平面ABCD由a=β，知P故点P0在线段AB过点P0作P0H垂直AD于点H，连接所以P0因为点P0是点P在底面ABCD所以PP又P0H⊥AD,且PP0∩P0H=P0因为PH⊂平面PP0H所以S△PAD(ii)过点P作直线l//AB，显然l为平面PAB与平面PCD设M,N分别为AB,CD由(i)知PA=PB,故PM⊥AB又平面PAB⊥平面PCD,所以PM⊥平面因为PN⊂平面PCD,所以PM又PP0⊥MN不妨设P0M=x,则P0解得x=1或根据对称性，不妨取P0M设四棱锥P−ABCD外接球球心到平面ABCD的距离为所以h2+222解得h=233或所以四棱锥P−ABCD外接球的表面积为(2)存在.理由如下:因为a+所以tana即PP0P0A假设存在点P0,使得P0B⊥平面P0以AB的中点M为坐标原点，AB为x轴，平行于AD的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A−2,0,则由P0可得x+整理得x2又P0A⊥P0B,则点P由x2解得x2即x也即P0554,3所以存在点P0,使得P0B⊥18.甲社区有n个女生和n个男生,且每个女生都认识所有男生;乙社区有n个女生g1,g2,…,gn和2n−1个男生b1,b2,…,b2n−1(1)若n=3(2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的m队的不同的选法种数为Anm和(i)求Anm,并证明:当2≤m≤(ii)若从乙社区中随机选出m个女生和m个男生,并将他们随机组成m个男、女搭配的队,求组队结果满足参赛要求的概率.(1)设事件A1表示“甲社区的参赛选手都是女生”，事件B1事件A2表示“甲社区的参赛选手都是男生”，事件B2则PA则所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况，都是男生或者都是女生，即A1B1∪A2B2,因为A1∩A2=⌀又事件A1与B1互相独立,事件A2与故所求事件的概率为P=(2)(i)因为甲社区中女生和男生全都认识,因此An当2≤m≤n−A所以AnAA因为1m两边同乘以n−1!2n(ii)先考虑Bnm当2≤m≤n−1①当女生gn被选中时，其余m−1队共有Bn−1m