2025-2026学年下学期山东省济南市山东实验中学高三数学2026年4月一模试卷（含解析）

绝密★启用前2026年山东省实验中学高三一模考试数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,0A.{0,1}B.{−2.已知z=sin1+icos1A.1B.2C.3D.43.已知向量a=1,2A.2B.-2C.3D.-34.函数fx=cos3x+π6A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知直线过定点P1,−2,与圆C:x2+y2+A.2B.3C.4D.66.已知圆台的侧面展开图是半个圆环,侧面积为4π,则圆台上下底面面积之差的绝对值为A.πB.2πC.4πD.8π7.已知fx是定义在R上的奇函数,满足fx+1A.2B.1C.0D.-18.袋子里有大小相同的3个红球和2个白球,每次从袋子里随机取出一个球,若取出的是红球则放回袋子,若取出的是白球则不放回袋子.记Pm为取了mm=2A.P3>P4B.P二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.设函数fx=3x−19A.数列an的首项为1B.数列an的前10C.数列−1nan的前10项和为−49D.数列10.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的各顶点都在球A.B,O,DC.AD⊥平面DCC1D1D.11.已知函数fx=ex−aA.若x1,x2,xB.若x12,x22C.若x1,x2,x3D.若x12,x22,x三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.记Sn为数列an的前n项和,若Sn=213.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F14.有15张扑克牌,牌面分别为1,2,…,10,J,Q,K,小王,大王.魔术师先按照牌面依次为1,2,…,10,J,Q,的顺序将这12张牌背面朝上摆成一叠(牌面为1的牌在最上面),然后魔术师请一名观众将牌面为K的牌背面朝上随机插入已摆好的这叠牌(共12张)中的某个位置(不能把这张牌放在这叠牌的最上面或最下面),再把牌面为小王和大王的两张牌中的一张背面朝上放在这叠牌(共13张)的最上面,另一张背面朝上放在这叠牌(共13张)的最下面,之后继续由这名观众把这叠牌(共15张)按如下方式发牌:把最上面那张牌发到桌上,然后把下一张牌放到这叠牌(共14张)四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知已知b(1)证明:A=2B(2)若△ABC的面积S=a2416.(15分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN17.(15分)甲参加围棋比赛,采用三局两胜制,若每局比赛甲获胜的概率为p0<p<1(1)当p=2(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案一:最终获胜者得3分,失败者得-2分;方案二:最终获胜者得1分,失败者得0分,请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大.18.(17分)已知函数fx=ae−x(1)当a=e时，求曲线y=fx在点(2)讨论gx(3)设x0为fx的零点，证明:当0<x<19.(17分)如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠，形成四面体D−(1)证明:AC⊥BD(2)若二面角D−AC−B和A−BD(3)证明:存在四面体D−ABC，使得其内部一点O到各个平面的距离均大于绝密★启用前2026年山东省实验中学高三一模考试数学试题答案解析1.A由x2−x≤0可得0又A={−1,0,2.Az=3.B由题意a⋅所以a⋅a−2b所以a⋅4.C方法一:∵0由题可知3x+π6=π解得x=π9,4π9,或方法二:令fx即3x+π6=kπ分别令k=0,1,所以函数fx=cos3x+π65.C如图:直线过定点P1将圆C:x2+y所以圆心C0,−2当PC⊥AB时，AB此时AB=故选:C6.B如图:设展开图小圆半径和大圆半径分别为r,R,则圆台侧面积S=π2上底面半径r1=πr2π=圆台上下底面面积之差的绝对值为πR故选:B.7.D将fx+1+fx−1=0中的则fx用x+2替换x,即所以函数fx是以4由fx+2+fx=0且fx是定义在R上的奇函数,则f0=0令x=3,则f3+f1=0令x=4,则f4+f2=0所以f1则f=f8.B设事件M为第一个白球在k次取出,且第二个白球在第m次取出,其中1≤则PM所以Pm故Pm−Pm+故m=3时,12×5m=4时,12×544=625512>1,即Pm+Pm+故m=3时,516×5m=4时,516×544=625×故选:B.9.BD由题意知,a1是常数项,a2是x的系数,⋯⋯,a10是x9的系数,即当n=1,2,⋯,10时,数列an的第n项令x=0,则a1=数列an的前10项和等于a1+a2+⋯+令x=1,则a1+数列−1nan的前10令x=−1,则f−1=则数列−1nan的前10项和为49数列an3n−1的前令x=13,则因为f13=310.BC如图所示:易知平面BDD1B1⊥设O在底面ABCD上的投影为O′若B,O,D1三点共线,则O此时O′在直线BD但根据题设不能确定O′是否在直线BD上,故A因为直四棱柱ABCD−A1B1C故A,B若A,O同上可知O′在直线AC故AC为圆O′所以∠ABC又BB1⊥底面ABCD,AB故BBBB1,BC⊂所以AB⊥平面BC又B1C⊂平面BCC1同理可证AD⊥平面DCC1D1由于不确定平面BCC1B1故不确定BC1是否平行于平面ADD1A1故选:BC.11.ABD当a≤0时,f当a>0时,分别画出y=ex所以x1对A、C:由题得ex1x12=ex2若x1,x2,x3成等差数列,则所以x12,x22,x3即−6x1x3由x3x1<−1,解得x所以x1则x2−x1=−2ln2−故A正确、C错误;对B、D:由ex1+x3x1则ex1+x3=e2x2又x3x1=−3故x22x12=3+2故B、D正确.12.-63根据Sn=2an两式相减得an+1=2当n=1时,S1=a所以数列an是以-1为首项,以2所以S6=−点睛:该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子,之后两式相减,得到相邻两项之间的关系,从而确定出该数列是等比数列,之后令n=1,求得数列的首项,最后应用等比数列的求和公式求解即可,13.3方法一:因为直线AB的方程为y=所以直线AB的斜率为3,倾斜角为π3所以∠AO因为四边形AF1所以F1所以∠A所以∠AF1O=π6,即所以AF由双曲线定义可得2a=所以C的离心率e=方法二:显然直线y=3x与F1F由双曲线对称性知,若四边形AF1BF2设点Ax1,y由y=3xx2a2−y则AB=则4abb2−3a2=2c解得b2则e=14.Q把大王、小王摆放完后,将15张牌按照从上到下的顺序依次编号为1,此时2号牌面为1,且14号牌面为Q,这时按题中发牌的规则开始发牌,记每一次把最上面的牌发到桌上且下一张放到最下面为一次操作,每完成一次操作后这叠牌的编号顺序分别为:35715−4-6-8-...-14-2,8-10-12-14-2-6,...,2-6-10-14,10-14-6,6-14,14.故最后剩下的是编号为14的纸牌,根据之前的操作可知该牌的牌面为Q.故答案为:Q.15.试题分析:(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,进而得sinB=sinA−B,根据三角形内角和定理即可得结论;试题解析:(1)由正弦定理得sinB+sin2sinAcosB=sin又A,B∈0,π,故0<A−B<π,所以B=π−A−B(2)由S=a24得12absinC=a24，故有sinBsinC=12sin2B=sinBcosB，因sinB≠0，得综上，A=π2或考点:1、正弦定理及正弦的二倍角公式;2、三角形内角和定理及三角形内角和定理.16.(1)x(1)由题意可知直线AM的方程为:y−3=12当y=0时,解得x=−4椭圆C:x2a2+y2b解得b2所以C的方程:x2(2)设与直线AM平行的直线方程为:x−2y如图所示,当直线与椭圆相切时,与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN联立直线方程x−2y=m可得:3m化简可得:16y所以Δ=144m2−4×163m与AM距离比较远的直线方程:x−直线AM方程为:x−点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离,利用平行线之间的距离公式可得:d=由两点之间距离公式可得AM=所以△AMN的面积的最大值:117.(1)记“甲最终以2:1获胜”为事件A，记“甲最终以2:0获胜”为事件B，“甲最终获胜”为事件C,于是C=A∪B,A由于PA则PC即甲最终获胜的概率为2027(2)由(1)可知，PC=若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取3,−2P则X的分布列为:X3-2p31则EX若选用方案二,记甲最终获得积分为Y分,则Y可取1,0,P则Y的分布列为:Y10p31则EY所以EX由于0<p<1于是p=1当0<p<12当12<p<118.(1)当a=e时,fx=e1故f1=0,f′1=0,曲线y(2)因为gx=−ae−x+1x=ex−axxex当a≤0时，hx>0当a>0时,h′x=ex−a且当x<lna时,h′x<0,hx又hx≥hlna=a1−lna当a=e时,hx若a>e,则hlna<0结合hx的单调性可知,hx在区间0,1和即gx=f′x在区间0,1存在一个零点x1综上,当a<e时,gx没有零点;当a=e时,gx有一个零点;当a>e(3)(i)若a≤e,由(2)可知,hx在区间0,1故fx在区间0,1单调递增,fx<因为fx0=ae设kx=lnx+1x−1,则k′x当x>1时,k′x>故当a≤e时,f(ii)若a>e,由(2)可知,gx在区间0,1即fx在0,1存在唯一极大值点x1,故当0<由(2)可知,x2>1,且故当x≥x1时,都有又因为fe−a=ae−e−a故fx存在唯一零点x0,且满足设φx则φx由上可知,kx在区间0,1单调递减,且故kx1=fx综上,由(i),(ii)可知,当0<x<119.(1)取AC中点M，连接BM,DM，因为AB=BC，所以BM⊥AC且BM∩DM=M，BM,DM⊂平面BDM，所以又因为BD⊂平面BDM,所以AC(2)由(1)可知BM⊥AC且DM⊥AC，所以∠DMB即为二面角D−AC−B的平面角，设∠DMB=α，取BD中点N,连接AN,所以∠ANC即为二面角A−BD−C在△DM