深圳市盐田高级中学2026届高三下学期二模热身考试数学试卷（含答案）

广东深圳市盐田高级中学2026届高三下学期二模热身考试数学试题一、单选题1．样本数据3，8，14，16，24的平均数为（

）A．9 B．10 C．13 D．182．设，互为共轭复数，如果，且为实数，那么（

）A． B．2 C．3 D．3．抛物线的焦点为上的点到的距离等于到直线的距离，则（

）A．2 B．1 C． D．4．已知函数，则下列结论不正确的是（

）A．是偶函数 B．的单调递增区间为C．是周期为的周期函数 D．的图象关于点对称5．已知函数为奇函数，则等于（）A． B．1 C．0 D．6．已知，，则（

）A． B． C． D．7．已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（

）A．4 B．16 C．1 D．38．已知，，满足，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．二、多选题9．设P为菱形所在平面外一点，与交于，为上（异于，）的一点，则（

）A．B．与异面C．若为的中点，则平面D．若，则平面10．斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，与双曲线交于两点，是线段的中点，则下列说法正确的是（

）A．是双曲线两条渐近线所构成的“”形图像的方程B．也是线段的中点C．若过双曲线的焦点，则直线的斜率是D．若过双曲线的焦点，点的坐标为，则该双曲线的离心率为11．在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（

）A．服从二项分布 B．服从超几何分布C． D．三、填空题12．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边.若，，，则__________.13．已知等差数列中，，则前7项和______.14．设，，，均是正整数，且．则________．四、解答题15．已知等差数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和．16．在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，系统能正常运行称为试验成功.(1)在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在内甲型部件可以正常工作.盒一314528555866573942盒二486742465635295334盒三315348372934455864盒四552844366147566157盒五304954433562325659盒六545229375647603844（i）请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度；（ii）若取（i）中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率；(2)研发人员计划按照下图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高？按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由.17．如图，四棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，，，点在棱上，且．(1)求证：∥平面；(2)已知．①若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积；②若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围．18．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，若方程有两个不等实根，证明：．19．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的动直线交于A，B两点，点在轴上方，且不与轴垂直，的周长为，直线与交于另一点，直线与交于另一点，点为椭圆的下顶点，如图①.(1)当点为椭圆的上顶点时，将平面xOy沿轴折叠如图②，使平面平面，求异面直线与所成角的余弦值；(2)若过作，垂足为.（i）证明:直线过定点；（ii）求的最大值.参考答案1．C2．A3．A4．C5．D6．D7．A8．C9．BCD10．ABD11．BD12．13．2114．1415．（1）设等差数列的公差为，因为，所以，即，即①，又由，得，即②，由①②得：，所以．（2）由（1）得，所以，所以．16．（1）（i）甲型部件的总数为，根据题中表格统计指标在的甲型部件个数为，故甲型部件的可靠度；（ii）又一个甲型部件的可靠度为，一个乙型部件的可靠度为，且，故乙型部件的可靠度为，设“系统试验成功”为事件A,“两个甲型部件同时工作”为事件B，设“两个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件C，则,设“两个甲型部件一个乙型部件同时正常工作”为事件D，则,设“一个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件E，则,,,,（2）（2）优化后系统可靠度提高了.原因：原系统需要四个部件正常工作或三个部件正常工作，系统才能正常运行，新系统除了在四个部件正常工作或三个部件正常工作时，系统能正常运行以外，只有两个部件正常工作，系统也可能正常运行，所以可靠度提高了.按照这个优化方案安排原有的四个部件可以有两种方法：方法一：（1）（2）放同型部件，（3）（4）放同型部件，不妨设（1）（2）放甲型部件（3）（4）放乙型部件，设此时可靠度为；方法二：（1）（2）放不同型部件，（3）（4）放不同型部件，不妨设（1）（3）放甲型部件，（2）（4）放乙型部件，设此时可靠度为.；因为，所以，，即，所以当时，两个方案都可以；当时，方案二可靠度更高.17．（1）连接交于点，连接，，，由相似三角形的性质，可得，又，所以，平面，平面，平面．（2）①取的中点，取的中点，连接，，，则，，，，∵是边长为6的等边三角形，则，，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，．又，平面，平面，∵平面，，所以为二面角的平面角．在中，．在中，，，．②过作交于，连接，由于平面，所以平面，则为与平面所成角，即，．点在棱上，且．由，，，由余弦定理得，，，，，故的取值范围为．18．（1）函数的定义域为，

时，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；

时，令得，当时，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.

当时，当时，，所以在上单调递增.

当时，当时，；当时，，所以在上单调递增,在上单调递减.

,,综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，时，在上单调递减，在上单调递增，因为方程有两个不等实根，所以不妨设，且设,令，

则，

所以当时，在单调递减，又，所以，即又，所以，又由于，且在上单调递增，

所以即.19．（1）由椭圆定义可知，，所以的周长为，所以，又因为椭圆离心率为，所以，所以，又，所以椭圆的方程：，所以椭圆的焦点为，，当点为椭圆的上顶点时，，所以直线的方程为：，由解得，，由对称性知，以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴的正半轴所在直线为轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，设直线与所成角为