小学六年级数学下册：环形跑道行程问题探究教案

小学六年级数学下册：环形跑道行程问题探究教案

一、教学理念与设计思路

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，立足于发展学生的模型思想、几何直观和应用意识。环形跑道行程问题是“数与代数”领域“常见的量”与“式与方程”部分的综合应用，是小学阶段行程问题的集大成者，也是连接小学数学与初中物理（运动学）的桥梁。

设计遵循“情境-问题-模型-应用-拓展”的探究路径。核心思路是：将生活中环形跑道的实际问题抽象为数学中的追及与相遇模型，引导学生通过图示化、符号化的策略，发现并理解“速度差×时间=追及路程（跑道周长）”这一核心数量关系，最终能灵活运用该模型解决变式问题，并感悟其背后的数学本质——在封闭路线上，运动物体的相对位置关系由速度差与时间共同决定。

二、教学目标

（一）核心素养目标

1.模型意识：经历从具体情境中抽象出环形跑道追及与相遇问题的数学模型（方程或算术式）的过程，理解模型的结构与意义。

2.几何直观：借助线段图、环形示意图，直观地表征运动过程，分析数量关系，形成解决问题的策略。

3.推理意识：能合情推理出环形追及问题的关键规律（多跑一圈），并能用逻辑清晰的语言表达思考过程。

4.应用意识：认识到现实生活中许多周期性的相遇问题（如钟表指针、卫星环绕）均可抽象为此类模型，体会数学的广泛应用。

（二）知识与技能目标

1.理解环形跑道中“同向而行为追及问题，背向而行为相遇问题”的本质区别。

2.掌握环形追及问题的核心数量关系：快者路程-慢者路程=跑道周长（或n倍周长），并能够推导出“速度差×追及时间=跑道周长”。

3.能熟练运用方程或算术方法解决环形跑道中的追及、相遇及综合问题。

4.能通过改变变量（如速度、起点、方向）对基础模型进行变式思考。

（三）过程与方法目标

通过小组合作探究、模拟演示、画图分析、对比归纳等方法，主动构建知识体系，提升解决复杂问题的策略水平。

三、教学重难点

1.教学重点：理解并掌握环形跑道同向追及问题的数学模型及其数量关系。

2.教学难点：

1.3.理解“追上”意味着快者比慢者多跑整圈数这一核心概念。

2.4.处理起点不同、反向出发、多次相遇等复杂变式问题的分析与转化。

四、教学准备

1.教师：多媒体课件（含环形跑道动画演示）、两个不同颜色的磁性小人（代表运动员）、圆形磁贴（代表跑道）。

2.学生：学习单、直尺、铅笔、两种颜色的彩笔。

五、教学过程实施

第一环节：创设情境，问题驱动（预计时间：8分钟）

教师活动：

1.播放校运会400米决赛视频片段，定格在两名运动员在环形跑道上竞赛的画面。

2.提出核心问题：“同学们，如果跑道一圈是400米，甲运动员速度快，乙运动员速度慢，他们从同一地点同时同向出发。你认为甲第一次从后面追上乙时，他一定比乙多跑了多少米？”

3.组织学生进行第一轮猜想与辩论。利用磁性教具在圆形磁贴上模拟，让两位学生上台操作“运动员”，初步验证“多跑一圈”的猜想。

学生活动：

1.观察情境，积极思考。

2.提出猜想：可能多跑一圈、半圈、不一定等。

3.通过观察教具演示，形成“多跑一整圈才能追上”的直观感知。

设计意图：

从真实体育情境切入，引发认知冲突。通过实物模拟，将抽象的“追及”转化为可视化的“套圈”，为后续数学抽象奠定坚实的直观基础。

第二环节：探究建模，建构关系（预计时间：15分钟）

教师活动：

1.抽象问题，化曲为直：

1.2.提问：“环形跑道是弯曲的，我们能否用更熟悉的线段图来表示这个追及过程？”引导学生将环形展开为直线段，用不同颜色的线段分别表示甲、乙跑的路程。

2.3.课件动态演示将环形跑道“剪开拉直”，直观显示甲的路程线段比乙的长出一截，这一截正好是“一圈的长度”。

4.符号化，建立模型：

1.5.设问：如果甲的速度是v

1

v_1

v1​米/分，乙的速度是v

2

v_2

v2​米/分(v

1

>

v

2

v_1>v_2

v1​>v2​)，跑道一圈长C

C

C米，追上的时间为t

t

t分。你能用等式表示它们的关系吗？

2.6.引导学生写出：

甲的路程：

v

1

t

乙的路程：

v

2

t

甲的路程：v_1t\quad乙的路程：v_2t

甲的路程：v1​t乙的路程：v2​t核心关系：

v

1

t

−

v

2

t

=

C

核心关系：v_1t-v_2t=C

核心关系：v1​t−v2​t=C

3.7.提炼公式：(

v

1

−

v

2

)

×

t

=

C

(v_1-v_2)\timest=C

(v1​−v2​)×t=C，即速度差×追及时间=跑道一圈周长。

8.对比迁移，归纳类型：

1.9.变换条件：如果两人从同一地点同时反向出发，首次相遇时，他们路程之和与周长有什么关系？（引导学生得出：v

1

t

+

v

2

t

=

C

v_1t+v_2t=C

v1​t+v2​t=C）

2.10.形成对比表格：

出发情况

运动方向

核心数量关系

问题类型

同时同地

同向

快路程-慢路程=nC（n为追及圈数）

追及问题

同时同地

反向

甲路程+乙路程=nC（n为相遇次数）

相遇问题

学生活动：

1.动手在学习单上画“拉直”的线段图，标注数量。

2.参与公式推导，理解每一步的数学意义。

3.小组讨论，完成对比表格，清晰区分两类问题的本质。

设计意图：

这是突破难点的关键环节。“化曲为直”的转化思想是重要的数学策略。从直观操作到图形表征，再到符号抽象，完整经历数学模型的形成过程。对比表格有助于学生结构化知识，防止混淆。

第三环节：变式应用，深化理解（预计时间：12分钟）

教师活动：

呈现三个层次递进的问题，组织学生分析与解决。

题组一（基础巩固）：

一个环形跑道周长是800米。小明和小红从同一地点同时同向跑步，小明每分钟跑300米，小红每分钟跑200米。多少分钟后小明第一次追上小红？

（引导：直接应用模型，(

300

−

200

)

×

t

=

800

(300-200)\timest=800

(300−200)×t=800，t

=

8

t=8

t=8分钟。）

题组二（理解深化）：

如果在上题中，小明第一次追上小红时，两人各跑了多少米？小明比小红多跑了多少米？

（引导：检验模型，小明跑300

×

8

=

2400

300\times8=2400

300×8=2400米，小红跑200

×

8

=

1600

200\times8=1600

200×8=1600米，差值为800米，正是一圈。）

题组三（变式拓展）：

甲、乙在周长为600米的环形跑道上从同一地点出发。甲速度是8米/秒，乙速度是4米/秒。

1.如果乙先跑100米，甲再同向出发，甲多久第一次追上乙？

2.如果他们是同时反向出发，第一次相遇后继续跑，第二次相遇需要再过多久？

学生活动：

1.独立完成题组一、二，巩固模型。

2.小组合作攻关题组三。对于变式1，需理解此时追及路程不再是完整一圈，而是600

−

100

=

500

600-100=500

600−100=500米。对于变式2，理解反向相遇一次，合跑一圈；第二次相遇，需再合跑一圈。

设计意图：

通过分层练习，实现从“掌握模型”到“灵活应用模型”的跨越。变式问题挑战学生的模型迁移能力和对“追及路程”本质的理解，培养思维的深刻性与灵活性。

第四环节：联系生活，拓展升华（预计时间：5分钟）

教师活动：

1.知识联想：引导学生思考，生活中的哪些现象类似环形跑道问题？

1.2.钟面上时针与分针的追及（一昼夜重合几次？）。

2.3.卫星绕地球飞行，与国际空间站的对接问题。

3.4.操场上的跑步训练、公园里的环形湖划船等。

5.学科融合视角：简要指出，在物理中，这属于相对运动问题；在工程学中，类似模型可用于调度循环运行的车辆或设备。数学提供了一个简洁有力的工具来描述这些规律。

学生活动：头脑风暴，列举实例，感受数学模型的普适性。

设计意图：打破学科壁垒，展现数学作为基础科学的强大解释力，培养学生的跨学科视野和学以致用的意识。

第五环节：总结反思，梳理提升（预计时间：5分钟）

教师活动：

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。

1.知识：我们今天学到了环形跑道问题的两类基本模型及其核心关系式。

2.方法：我们用了哪些方法？（画图—化曲为直、模拟演示、符号建模、对比归纳）。

3.思想：转化思想、模型思想、数形结合思想。

学生活动：分享收获，提出仍存疑惑之处（如多次追及的时间规律等）。

设计意图：通过结构化反思，促进知识的内化与认知结构的优化，将零散的知识点串联成网络。

六、板书设计

环形跑道行程问题探究

一、核心问题：同时同地同向出发→追及问题

┌─────────────────────┐

│甲(快)路程-乙(慢)路程=1圈周长│

│(v₁t)-(v₂t)=C│

└─────────────────────┘

提炼：(v₁-v₂)×t=C

速度差×追及时间=跑道周长

二、对比：同时同地反向出发→相遇问题

(v₁+v₂)×t=C

速度和×相遇时间=跑道周长

三、思想方法：

生活问题→画图模拟（直观）→抽象建模（算式/方程）→应用拓展

转化思想数形结合模型思想

七、教学反思与评价

本设计以探究为核心，成功地将一个抽象的数学问题转化为可视、可操作、可思辨的探究活动。预计教学亮点在于：

1.具身认知：通过操作磁性教具，学生身体力行地“看见”了追及的本质。

2.思维可视化：“化曲为直”的线段图策略，有