2026年高中数学学业水平合格性考试模拟试卷（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年普通高中学业水平合格性考试信息卷（模拟二）数学时量：90分钟，满分：100分本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页.注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.一、单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若实数a，b满足，则（

）A． B． C． D．2．在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（

）A．3件都是正品 B．至少有2件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品3．袋中装有6个白球，5只黄球，4个红球，从中任取1球，抽到的不是白球的概率为（

）A． B． C． D．4．小张记录了2023年1月至11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（

）A．月跑步里程逐月增加B．月跑步里程最大值出现在10月C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小5．一组数据1，2，2，4，5，6的极差为（

）A． B．C． D．6．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（

）A． B． C． D．7．已知向量．若，则（

）A． B． C． D．8．函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．9．函数的值域为（

）A． B． C． D．10．正弦函数，的图象的一条对称轴是（

）A．轴 B．直线C．直线 D．直线11．已知，，则（

）A． B． C． D．12．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生（）A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人13．函数的定义域为（

）A． B． C． D．14．已知向量，，若，则实数的值为（

）.A． B．3 C．－ D．－315．已知，则（

）A． B．C． D．16．已知函数，则（

）A．0 B．1 C． D．17．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件18．已知集合，则必有（

）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19．函数，的最小值是________．20．已知向量则_____21．设复数，（i是虚数单位），则______．22．幂函数的图像在第___________象限.三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值；(2)现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生座谈，求每组抽取的学生人数；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值在第几组（只需写出结论）．24．如图，在四棱锥中，平面PAD，，点N是AD的中点．求证：(1)；(2)平面PAB．25．已知函数.（1）求函数的定义域；（2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】利用已知条件，根据不等式的性质可得答案.【详解】因为，所以，故A正确，B错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D错误.故选：A.2．D【分析】根据必然事件的概念进行判断.【详解】因为12件产品中，只有2件是次品，从中取3件，其中必定至少有1件是正品.故选：D3．B【分析】根据古典概型的概率公式可求出结果.【详解】从装有6个白球，5个黄球，4个红球的袋中，任取一球，有种取法，其中取到不是白球的有种取法，所以取到不是白球的概率为.故选：B4．A【分析】根据折线图读取信息判断各个选项；【详解】对于A，由折线图可知，月跑步里程不是逐月增加的，故A错误；对于B，月跑步里程最大值出现在10月，故B正确；对于C，月跑步里程数从小到大排列分别是2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；对于D，1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月更均匀，波动性更小，故D正确．故选：A.5．D【分析】利用极差的定义即可得解.【详解】因为数据1，2，2，4，5，6的最小数为，最大数为，所以其极差为.故选：D.6．C【分析】正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，结合三角形面积公式即可求解.【详解】正三棱锥的所有棱长均为，则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，等边三角形的高为，则该三棱锥的表面积为.

故选：.7．A【分析】由，得列方程求解即可.【详解】因为，，所以，解得.故选：A8．D【分析】根据正弦型函数的性质计算可得.【详解】函数的最小正周期.故选：D9．B【分析】先用二倍角正弦公式进行化简，结合正弦函数的值域为，计算得出结果；【详解】函数，因为，所以函数的值域为故选：B.10．C【分析】根据正弦函数的对称性判断即可.【详解】正弦函数，的对称轴为，当时，函数的一条对称轴为直线，故C正确，结合选项可知A、B、D均不符合题意.故选：C11．A【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式平方关系计算得到答案；【详解】由诱导公式得，又由，可得．故选：A.12．B【分析】先求出抽样比，然后根据抽样比即可求出各校应抽取的学生数.【详解】解：先求抽样比＝，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×＝30（人），乙校抽取5400×＝45（人），丙校抽取1800×＝15（人），故选：B.13．B【分析】根据对数的真数大于零列不等式即可求解.【详解】由，解得.故选：B.14．D【分析】直接根据向量的数乘运算求解即可．【详解】解：∵，，且，∴，∴，得，故选：D．【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标表示，属于基础题．15．D【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】依题意，，所以.故选：D16．A【分析】根据自变量范围代入相应解析式计算可得.【详解】因为，所以.故选：A17．A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】由可以推出，故充分性成立，反之或，必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A18．C【分析】利用列举法表示集合，再结合元素与集合的关系判断即得.【详解】依题意，，结合元素与集合关系知，ABD错误，C正确.故选：C19．【分析】根据二次函数的图象和性质，可得当时，单调递减，在时取得最小值．【详解】函数的图象是开口朝下，且以直线为对称轴的抛物线，当时，单调递减，在时取得最小值，故答案为：20．【分析】由题意计算出的值，可得的值.【详解】解：由可得,故：，故答案为：.【点睛】本题主要考查向量的加法运算与向量的摸的求法，属于基础题型.21．【分析】根据复数的加法运算求解.【详解】.故答案为：.22．一、二【分析】根据幂函数的定义域及对应值域，即可确定图像所在的象限.【详解】由解析式知：定义域为，且值域，∴函数图像在一、二象限.故答案为：一、二.23．(1);(2)从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生;(3)第3组.【分析】（1）由小长方形面积和为1列方程可得；（2）由分层抽样比可得从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生；（3）由频率分布直方图计算出随机抽取学生所得测试分数的平均值，得出在第三组.【详解】（1）因为各组的频率之和为1，所以，解得：；（2）由频率分布直方图知，第，，组的学生人数之比为．所以，每组抽取的人数分别为：第组：；第组：；第组：．所以从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生．（3）抽取学生测试分数的平均值为，因为故在第3组.24．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用线面平行的性质可证线线平行；（2）先证明四边形ABCN是平行四边形得到，利用线面平行的判定定理可证结论.【详解】（1）∵平面PAD，平面ABCD，平面平面，∴．（2）由（1）知，，又N是AD的中点，，∴，∴四边形ABCN是平行四边形，∴，又平面PAB，平面PAB，∴平面PAB．25．（1）；（2）；（3）存在，.【分析】（1）根据函数有意义，列出不等式，即可求解函数的定义域；（2）由，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解；（3）设，则，结合“对勾函数”的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数有意义，则满足，解得，即函数的定义域为.（2）由，且，可得，由对数函数的性质，可得为单调递增函数，且函数在上有且仅有一个零点，