Taylor公式及其应用

Taylor公式及其应用【摘要】重要数学公式对数学发展的作用是不可估量的,Taylor公式对数学发展的影响,可以说是贯穿古今.Taylor公式的发展已有两百多年的历史了,在它被提出的半个世纪后人们才逐渐开始认识到它的重大作用.Taylor公式不仅对微积分做出了系统的处理,并且也被应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域.而在现在大学的数学课本中Taylor公式却是个难点.它表达形式冗长、难以记忆的特点大大阻挠了学习者对它的兴趣.为此,本文将从极限运算、近似计算、不等式证明、函数性质证明、导函数性质证明、判断级数的敛散性几个方面归纳总结出Taylor公式的具体应用.Taylor公式的余项虽然有定性和定量两种,但本文以定性的Peano型余项和定量的Lagrange型余项进行展开介绍.并说明了涉及到极限运算、函数性质证明和判断级数的敛散性时一般用Peano型余项,涉及到精确度、证明不等式和导函数性质证明时一般用Lagrange型余项的原则.【关键词】Taylor公式极限余项证明不等式函数级数Taylorformulaanditsapplications【Abstract】Theeffectofimportantmathematicalformulaonmathematicaldevelopmentisinestimable.TheinfluenceofTaylorformulaonmathematicaldevelopmentcanbesaidtorunthroughancientandmoderntimes.Taylor’sFormulahasbeendevelopedformorethantwohundredyears,anditwasonlyhalfacenturyafteritwasputforwardthatitwasputforwardthatpeoplebegantorealizeitsimportantrole.Taylor’sformulanotonlymakessystematicprocessingofcalculus,butalsoappliestoastronomy,mechanics,optics,heatandfields.However,Taylor’sformulaisadifficultpointinthemathematicstextbooksoftheuniversity.Itsexpressionislonganddifficulttoremembergreatlyhindersthelearner’interestinit.Therefore,thispaperwillsumuptheapplicationofTaylor’sformulafromlimitcalculation,proofofinequality,proofoffunctionproperty,proofofderivativefunctionpropertyanddeterminationofconvergenceanddivergenceofseries.AlthoughtherearetwokindsofremainderofTaylor’sformula:qualitativeandquantitative,thispaperintroducesthequalitativePeano-typeremainderandthequantitativeLagrange-typeremainder.ItisalsoexplainedthatPeano-typeremaindertermisusedtoproveandjudgetheconvergenceanddivergenceofserieswhenitcomestolimitoperation,functionpropertyproofandjudgementseriesconvergenceanddivergence.Whenprovinginequalityandderivativefunctionproperty,thechoiceofLagrange-typeremaindertermisgenerallyusedinprovinginequalityandderivativefunctionproperty.【KeyWords】Taylorformulathelimitremainderproveinequalityfunctionprogression1引言Taylor公式是以18世纪早期英国牛顿学派著名代表人物之一的数学家Taylor命名的.在Taylor提出后的半个世纪里,数学家们并未认识到Taylor定理的重大价值.这一重大价值是后来由拉格朗日在1797年出版的《解析函数论》中给出的.拉格朗日把这一定理刻画为微分学的基本定理,并将其作为自己工作的出发点.而Taylor定理的严格证明是在定理诞生的一个世纪之后由柯西给出的.自17世纪微积分学创立以来,微积分学一直不断向前发展,这种发展是与其在理论物理、力学、天文学等诸多领域广泛的应用紧密交织在一起的,并且刺激和推动了许多新分支的产生.在围绕微积分深入发展的时代背景下,18世纪初期,数学家Taylor将函数表示为无穷级数的表达式(泰勒公式)对微积分做出了系统的处理.此后,Taylor公式也被应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域,并取得了丰硕的成果.Taylor公式的应用之所以如此广泛是因为它的实质是用一个次多项式来逼近函数,且多项式具有形式简单、便于计算的特点.也正是因为这个原因,在遇到形式较为复杂的函数时,Taylor公式往往能发挥意想不到的效果.为此,本文将通过大量的例子,归纳总结出Taylor公式在极限运算、近似计算、不等式证明、函数性质证明、导函数性质证明、判断级数的敛散性等几个方面的具体应用.当然Taylor公式的应用也远不止本文所列举的这些,但这些方面的应用不仅易于理解而且更加常见.此外,有些题目也不仅仅只有使用Taylor公式这一种方法,但本文都会将其与其它方法进行对比,让读者发现Taylor公式的独特优越性.

2带不同类型余项的Taylor公式Taylor公式的实质就是用多项式函数去逼近其它的函数,由于多项式函数是各类函数中最简单的一种,因此Taylor公式在很多地方都可以运用.Taylor公式常见的余项有两种,一种是Peano型余项,另一种是Lagrange型余项.这两者的最主要区别就是Peano型余项仅仅是定性地告诉我们:当时,逼近误差是较高阶的无穷小量,而Lagrange型余项是个定量形式的余项.本文主要是围绕着这两种余项展开介绍的.对于一般函数,设它在点存在直到阶的导数.由这些导数构造一个次多项式称为函数在点处的泰勒多项式,的各项系数称为泰勒系数[1].2.1带Peano型余项的Taylor公式定理1[1]:若函数在点存在直至阶导数,则即=1\*GB2⑴(1)式称为函数在处的Taylor公式,称为Taylor公式的余项,形如的余项称为佩亚诺(Peano)型余项.所以(1)式又称为带有Peano型余项的Taylor公式.特别地,当时,(1)式具有特殊形式:=2\*GB2⑵此时(2)式也称为(带有Peano型余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式.2.2带Lagrange型余项的Taylor公式定理2[1]:若函数在上存在直至阶的连续导函数,在上存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点,使得=3\*GB2⑶(3)式称为函数在处的Taylor公式,其中,,称为拉格朗日(Lagrange)型余项.所以(3)式又称为带有Lagrange型余项的Taylor公式.特别地,当时,(3)式具有特殊形式:=4\*GB2⑷此时(4)式也称为(带有Lagrange型余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式.3Taylor公式的应用Taylor公式常用于处理与高阶导数相关的函数的性态研究.在解题方面,带有Peano型余项的Taylor公式和带有Lagrange型余项的Taylor公式往往有着不同的用处.带Peano型余项的Taylor公式较常用于未定型函数极限的计算,尤其是对常规方法不好求时的极限,Taylor公式能有意想不到的作用.而带Lagrange型的Taylor公式常用于证明和中间值相联的不等式并且可确定计算的精确度,其关键是注意Taylor公式中展开点的选择,通常选已知区间的中间点、端点、导数为零的点和函数的极值点.这类题的特点是已知函数可导的阶数较高(二阶以上),同时还有若干个已知的函数值或导数值.3.1Taylor公式在计算中的应用3.1.1Taylor公式在极限计算中的应用对于未定型的极限问题,一般可以采用洛必达法则也可采用Taylor公式来求.但在使用洛必达法则的过程中发现求原极限的计算量特别大且不容易求出答案时,Taylor公式往往是更为简便的工具.在利用Taylor公式求极限的过程中,由于只涉及近似计算,因此一般会使用带有Peano型余项的Taylor公式(当时,即为麦克劳林公式).当极限式为分式时,一般要求分子分母都展成同一阶的Taylor公式,且余项为该阶的高阶,再通过比较求出极限.例1[1]求极限分析由题设可知这是“”型的未定型,一般来说可以选择用洛必达法则进行求解,但此极限需使用四次洛必达法则将分子分母均降为零次方可求解.由于分子是复合型函数,此过程中具体运算量较大,因此不推荐使用这种方法.而我们使用Taylor公式将分子中的函数均转化为多项式函数,再进行计算就会简便得多了.具体过程如下:解考虑到极限式的分母为,我们用带有Peano型余项的麦克劳林公式表示极限的分子(取)因而求得注用Taylor公式求极限,需要记忆几个常用函数的Taylor展开式注高阶无穷小之间的运算如下例2[3]求极限分析这亦是个“”型的未定型,若选择使用洛必达法则同样会陷入例1一样的困境,因此同样使用Taylor公式将分子分母均化为多项式的形式,具体过程如下:解:由于分子中有项,故可先将展开到出现比更高次幂的一项从而整个分子为再观察分母,由于,因此可先对作等价无穷小代换,这样只须把展开到出现项就可以了.故于是例3确定常数和,使分析据题设可知这是型的极限,且求此极限最大的困难在于不知道如何对形式复杂的求极限,而当我们将转化为时,再用Taylor公式就恰好能帮我们解决这个难题,以下是用Taylor公式进行解题的具体过程.解由于后只涉及到的一次方,因此只须将展开到出现比一次更高的一次即可.故要使原始极限存在且等于0,则,,于是,.例4[8]计算分析这是个求数列极限的题目,且上式已经是最简式,根本没法继续向下化简.若将括号内视为两指数函数相减,再利用Taylor公式将括号内的式子化为多项式相减的情形即可计算出此极限值.解由于原极限中涉及到二次方,因此需将括号内指数函数展开至含有的一项,则原式例5[8]计算解原式,注意到此极限涉及到,故应将展开至含有的一项,即故,原式从以上例题可知,带有Peano型余项的Taylor公式可用于含有形式复杂的复合型函数的极限、已知极限值求参数和数列极限这三种题型.且在此过程中,需注意观察极限内自变量的次数,再将需使用Taylor公式的部分展开至大于或等于该阶即可.3.1.2Taylor公式在近似计算中的应用遇到求某个值的近似值的题目,我们会发现单单从该值的定义出发是很难得出答案的.若此时能巧妙的运用Taylor公式将该值化为多项式的形式再进行求解就简单多了.在这个过程中,若题目中明确指明了误差的范围则应当选择使用Lagrange型余项,这样便可从控制该值的误差入手确定Taylor公式该展开到第几项.例6[1]计算的值,使其误差不超过10-5.分析数学中是个无理数,它的定义是当时,的极限.显然,我们很难通过这个定义来精确计算出的值.然而,根据Taylor公式我们可知对于这个初等函数我们可以用多项式来逼近它,且余项应采用Lagrange型余项.故而,我们可以在此过程中令,这就为我们计算的值提供了很大的方便.解由带有Lagrange型余项的Taylor公式可知可以写成如下形式.当时,有故.当时,便有从而可略去而求得的近似值为例7应用三阶Taylor公式求下列函数的近似值,并估计误差:解利用的三阶Taylor公式,得利用的三阶麦克劳林公式,得3.2Taylor公式在证明中的应用3.2.1Taylor公式在不等式证明中的应用在中学中我们学过许多关于不等式的证明方法,例如:均值定理、比较法、函数的单调性、综合法和分析法等等,但这些方法对形式较为复杂的复合函数往往都不适用.面对形式复杂的复合函数,我们可以使用含有Lagrange型余项的泰勒公式.由于Lagrange型余项是个定量形式的余项,因此它也常常成为了不等式中那不等的关键.例9用Taylor公式证明:分析此题亦可通过两边同时平方,然后通过均值不等式得证.但由于该不等式左侧平方后项数众多且应多次使用均值不等式方可求证,因此不推荐大家使用这种方法(尤其是不止四项的情况下).这里为大家提供了一种通过构造函数再利用Taylor公式进行证明的独特思路,其过程简便且形式巧妙.证设,则从而,令得到;令;令得到;令得到.将不等式两边相加,得取,则即例10[7]证明不等式分析不等式左边是二次三项式,而右边是无理函数,两者没有明显的大小关系,这时可将在处展成二阶Taylor公式,然后与左边的二次三项式相比较,进而判断两者的大小关系.证设则,.所以当时,余项所以例11[3]设证明证本题容易想到用单调性来证明,但若令则虽有但的符号均不能很快确定,故用单调性证明该不等式并不方便.我们注意到所以我们可以考虑用Taylor公式.其中注意到故即例12[3]设且证明证由于所以二阶可导,从而连续,因此由Taylor公式，得由于故通过上述有关不等式的例题我们可知,在遇到形式复杂的复合函数或者在能得知某点的函数值及这点的低阶导数值时,使用Taylor公式往往能达到事半功倍的效果.3.2.2Taylor公式在函数性质证明中的应用例13[2]已知函数在的邻域内二阶可导,且当时取得极小值问在能否取得极值,如果有极值,那极值是多少？分析在讨论函数的极值时通常的方法是:当且,则是函数的极小(或大)值.但如果此时,判断是否极值点时则需利用Taylor公式,例如若在处的一、二阶导数全为0,则由Taylor公式即知,当时,在处取得极小值;时，在处取得极大值.由题这个函数的具体表达形式并未给出,但却知其一阶和二阶导数都是存在的,因此我们可以通过Taylor公式将其展开至二阶,从而将表示出来.解在处的Taylor公式为因在取得极值故又因取得极小值，故此时,可表示为显然,.又恒小于0,所以,在时取得极大值1.例14[5]设存在且问是否为曲线的拐点.分析为0是为曲线拐点的必要非充分条件,而要进一步确认该点是否为拐点就必须知道在该点左右两侧函数的二阶导是否异号,因此知道函数的表达形式对我们来说也显得至关重要了.解对应用Taylor公式并注意到,得不妨设于是存在,使得当时从而有,类似地可知当时,.所以在附近两侧异号,因此是曲线的拐点.3.2.3Taylor公式在导函数性质证明中的应用例15设在上二阶可导,且在上的最小值等于,试证:至少存在一点使.分析:本题条件给出了函数的信息,而要证不等式涉及到了二阶导数,中间跨过了一阶导数,因此应考虑用Taylor中值定理,其关键是基点应选择最小值点.证由在上的最小值等于以及费马定理知,存在使得将在点Taylor展开,在与之间.令分别得=5\*GB2⑸=6\*GB2⑹若,则由=5\*GB2⑸式可得,取即可;若,则由=2\*GB3②得,取.例16[6]设函数在上二阶可导