人教版八年级下册数学10.1二元一次方程组的概念课件

10.1二元一次方程组的概念第十章二元一次方程组

人教版2024·七年级下册学

习

目

标123理解二元一次方程（组）及其解的概念；会检验一对数值是不是某个二元一次方程（组）的解；能针对具体问题列出二元一次方程（组）.经历从实际问题抽象出二元一次方程（组）的过程，体会建模思想；通过类比一元一次方程探究二元一次方程（组）的概念，体会类比思想.在分析实际问题、列出方程（组）的过程中，培养数学抽象能力和逻辑推理能力；感受数学来源于生活又服务于生活，增强学习数学的兴趣.章前引言章前引言从实际问题到二元一次方程组在解决实际问题时，我们经常会遇到需要求解两个未知数的情形。请看下面的实际问题：新疆采棉机的配置问题某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1小时完成了8公顷棉田的采摘。已知大型采棉机每小时采摘2公顷，小型采棉机每小时采摘1公顷。问题：这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？思考：如果用一元一次方程，需用一个未知数表示另一个，略显繁琐。能不能直接设两个未知数，使列方程更直观、更容易呢？章前引言从实际问题到二元一次方程组在本章中，我们将从实际问题出发，系统学习二元一次方程组的相关知识：1.认识二元一次方程组理解其定义、特征和表示方法，建立方程组的概念基础。2.学习解二元一次方程组的方法掌握代入消元法和加减消元法等核心解法，提升运算能力。3.运用方程组解决实际问题将数学知识应用于解决生活中的实际问题，提升建模与应用能力。4.拓展学习三元一次方程组在二元的基础上，进一步拓展到三元一次方程组的求解与应用。导入新课新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机1h就完成了8hm2棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台?大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数；大型采棉机采摘面积+小型采棉机采摘面积=总面积.2.如果只设一个未知数（如大型机x台），如何列方程？思考1.这个问题中包含哪些相等关系？问题3.若直接设两个未知数（大型机x台，小型机y台），如何列方程？2x+(6-x)=8.2x+y=8

x+y=6新知探究探究点1

二元一次方程的特征议一议①x+y=6

②2x+y=81.这两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？大型小型合计方程台数61h采摘面积8xy2xyx+y=62x+y=8思考

第一个等式和后面两个等式有什么联系和区别?联系:区别:都是含有未知数的等式；未知数的次数都是1；第一个等式含有一个未知数；后面的等式含有两个未知数.一元一次方程你能试着给它们起个名字吗?6-x1×（6-x）2x+(6-x)=8？元？次方程新知探究探究点1

二元一次方程的特征归一归二元一次方程的定义——每个方程都含有两个未知数（x和y），且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程.条件方程都含有两个未知数含未知数的项的次数都是1方程的左右两边都是整式新知探究探究点1

二元一次方程的特征议一议判断下列方程是否为二元一次方程？并说明理由。

核心提示：二元一次方程需满足：整式、两个未知数、含未知数项的次数为1。是（含两个未知数，次数为1）否（项xy的次数是2）否（分母含未知数，非整式方程）是（含两个未知数，次数为1）①x+y=6

②2x+y=81.这两个方程中x、y表示的量否相同？新知探究探究点2

二元一次方程组的特征议一议大型小型合计方程台数61h采摘面积8设大型机x台，小型机y台x2xyyx+y=62x+y=8回忆采棉机问题两个方程中的x表示大型机的台数、y表小型机的台数，x、y要同时满足两个等量关系，联立组成方程组x+y

=6，2x+y

=8

一个方程组新知探究探究点2

二元一次方程组的特征归一归含有两个未知数,且含有未知数的式子都是整式,含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.二元一次方程组的定义注意：方程组中的未知数必须代表同一个量①方程组中共有2个不同未知数；②方程组有2个一次方程；③一般用大括号把2个方程连起来.特征新知探究探究点2

二元一次方程组的特征议一议判断方程组是否为二元一次方程组？并说明理由。

答案：是解析：由两个二元一次方程组成，且只含有两个未知数x和y。答案：否解析：第一个方程中未知数x的次数是2，不是一次方程。答案：否解析：方程组中含有三个未知数x,y,z，不符合“二元”的定义。新知探究探究点3

二元一次方程（组）的解做一做

1.当x、y等于多少时，x+y=6成立？完成下表xy1234554321-177-1-3.59.58-2

3.

x+y=6的解有多少对？无数对2.如果不考虑方程与实际问题联系，还可以取哪些值？这些值是有限的吗？x，y还可取到小数,如x=-3.5，y=9.5.x，y还可取到负数,如x=-1,y=7;

x=7,y=-1;新知探究探究点3

二元一次方程（组）的解归一归二元一次方程的解

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解；2.二元一次方程有无数个解。注意：1.二元一次方程的每一个解是一对数值，记为x

=a，y

=

b.新知探究探究点3

二元一次方程（组）的解练一练

新知探究探究点3

二元一次方程（组）的解做一做

xy2x+y12345543217891011x+y

=6，①2x+y

=8②x

=2，y

=

4.公共解归纳总结：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。注意：二元一次方程组只一个解，是一对数值，记为x

=a，y

=

b.新知探究探究点3

二元一次方程（组）的解议一议注意：1.二元一次方程的解是成对出现的；2.二元一次方程的解有无数个，与一元一次方程有显著区别.而二元一次方程组的解一般只有一个.3.二元一次方程组的解中未知数的值必须同时满足方程组中的每一个方程。典例分析

【分析】：由方程是二元一次方程可知：

①未知数的系数不为0；②未知数的次数都是1。解：由二元一次方程的定义可知，

∵

|m|=1且|m-1|≠0，∴m=-1

∵

2n-1=1，∴

n=1

∴m+n=0。0典例分析例2.加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件。现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组。

讨论：如何找出方程组的解？

典例分析

【分析】：检验一对数值是否为二元一次方程组的解，必须代入两个方程进行验证，两个方程同时满足才是方程组的解。

新知巩固1.某村乡村振兴项目计划把28t黄桃加工成罐头，刚开始每天加工2t.后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工4t，前后共用8天完成全部加工任务.这个项目改进加工方法前、后各用了多少天?解:这个项目改进加工方法前用了x天，改进后用了y天.在方程①中，满足条件的x，y的值有x1234567y7654321根据题意，得x+y=82x+4y=28①②x

=2，y

=

6.也是方程②的解，x

=2，y

=

6.答：这个项目改进加工方法前用了2天，改进后用了6天.教材p89页练习对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解∴二元一次方程组的解是满足方程2x+4y=28新知巩固2.在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少?解:这个队的胜了x场、负了y场.在方程①中，满足条件的x，y的值有x012345678910y109876543210根据题意，得x+y=102x+y=16①②也是方程②的解x

=6，y

=

4.答：这个队的胜了6场、负了4场.对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解满足方程2x+y=16x

=6，y

=

4.∴二元一次方程组的解是拓展提升

拓展提升

拓展提升

真题感知1．（2025•南充）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（）A．3x+2＝5y+3

B．5x+2＝3y+3

C．3x﹣2＝5y﹣3

D．5x﹣2＝3y﹣3解：根据题意得：3x+2＝5y+3．A真题感知2．（2025•黑龙江）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（）A．6

B．7

C．4

D．5

C真题感知3．（2025•齐齐哈尔）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（）A．3种

B．4种

C．5种

D．6种

B课堂小结知

识

总

结含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1.（1）二元一次方程：（2）二元一次方程组含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程.（4）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解（一般有唯一解）。（3）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（无数个解）.课堂小结方法总结（1）建模思想：从实际问题中抽象出二元一次方程（组）模型。（2）类比思想：类比一元一次方程学习二元一次方程（组）.（3）检验方法：代入验证法——将数值代入方程（组）检验是否满足.课堂小结易错提醒（1）概念理解偏差：容易混淆项的次数与未知数的次数，例如xy=3中项的次数是2，不是二元一次方程.（2）检验不完整：判断某组数值是否为二元一次方程组的解时，仅代入一个方程检验，忽略另一个方程.（3）列方程遗漏等量关系：解决实际问题时，未能准确提取两个独立等量关系.（4）解的含义混淆：

混淆二元一次方程的解（无数个）与二元一次方程组的解（一般唯一）.课后练习课本p90页1.填表，使上下每对x，y的值是方程3x+y=5的解.x-200.4y-1-2-2.5-31153.8023.52.5

习题10.1课后练习课本习题10.1第2题.x=-5.5，y=4A.x=2，y=-0.25B.C.D.x=-1，y=-0.5x=1，y=0.52.方程组x+6y=4，3x-y=2.5的解是（）.C课本p90页习题10.1课后练习3.如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°.求:(1)x，y满足的关系式；(2)当x=90时，y的值；(3