2024年全等与相似模型手拉手模型（学生版）

专题15全等与相似模型.手拉手模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本

解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.手拉手模型

【模型解读】将两个二角形绕着公共顶点（即头）欣转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉

手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

1）双等边三角形型

条件：如图1,△48C和AOCE均为等边三角形，。为公共点；连接BE,A。交于点凡

结论：①△AC。0ZXBCE；@BE=AD,（3）ZAFM=ZBCM=60°：④平分NBFO。

图I图2

2）双等腰直角三角形型

条件：如图2,ZkA8c和aOCE均为等腰直角三角形，C为公共点：连接8E,A。交于点N。

结论：①△AC。0△BCE；②8七=4。：③NANM=NBCM=9（）。；④CN平分NBNO。

3）双等腰三角形型

条件：△ABC和△OCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。

结论：①△ACD@/\BCE；②8E=4D；③NACM二NBFM；④C/平分NAFO。

图3图4

4）双正方形形型

条件：△A8CT。和△CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG,ED交于点N。

结论：①AABCGW/XDCE；②BG=DE；③/BCM=/DNM=900；④CN平分/BNE。

例1.（2024•北京东城•九年级期末）如图，在等边三角形A8C中，点。为aABC内一点，连接AP,BP,CP,

将线段A尸绕点A顺时针旋转60。得到AP'，连接。产，BP.（1）用等式表示9尸与CP的数量关系，并

证明；（2）当团BPC=120。时，①直接写出N0外的度数为;

②若M为8c的中点，连接PM,请用等式表示PM与4P的数量关系，并证明.

例2.（2024•黑龙江•中考真题）.A8C和-4）石都是等边三角形.

图③E

⑴将一ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD,CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB=PC

（或A4+PC=P8）成立；请证明.（2）将-AD石绕点4旋转到图②的位置时，连接80,CE相交于点P,

连接小.猜想线段小、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明：（3）将一加犯绕点A旋转到图③的位

置时，连接班），CE相交于点P,连接玄，猜想线段以、P仄PC之间有怎样的数量关系？宜接写出结论，

不需要证明.

例3.（2024湖北•襄阳市九年级阶段练习）如图，已知MOB和MCW都是等腰直角三角形（立OA«W=ON）,

2

（MO8=[3MON=90。.⑴如图①，连接AM,BN,求证：MOM0BON；（2）若将MON绕点O顺时针旋转，

①如图②，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2=20N2;

②当点A,M,N在同一条直线上时，若。8=4,ON=3,请直.接写出线段BN的长.

例4.（2024•重庆忠县•九年级期末）已知等腰直角二A8C与二仞E有公共顶点

A^BAC=ZDAE=90°.AB=AC=^AD=AE=6,

（1）如图①，当点8,A,E在同一直线上时，点尸为的中点，求4"的长；

（2）如图②，将绕点A旋转矶0。＜二£360。），点G、”分别是A8、A£＞的中点，CE交GH于M,

交AO于N.①猜想G"与CE的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结论；②参考图③，若K为AC的

中点，连接在一A0E1旋转过程中，线段KW的最小值是多少（直接写出结果）.

例5.(2024•山西大同•九年级期中)综合与实践：己知，A8C是等腰三角形，AB=AC.

(1)特殊情形：如图1,当。曰38c时，DBEC.(填“>〃"V"或"=〃)；(2)发现结论：若将图1

中的,.4)石绕点A顺时针旋转0(0°<«<180°)到图2所示的位置，则(1)中的结论还成立吗？请说明

理由.(3)拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3,点P是等腰直角三角形48C内一点，/BAC=90。,

且BP=1,AP=2,CP=3,求ZB抬的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将绕点A顺时针

旋转90。得到VC4E,连接尸£,构造新图形解决问题.请你根据小明的发现直接写出粗的度数.

例6.(2024•青海•中考真题)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶

点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

⑴问题发现：如图1,若，A8C和-4)石是顶角相等的等腰三角形，BC,OE分别是底边.求证：BD=CE；

(2)解决问题：如图2,若△4»和_。比均为等腰直角三角形，ZACB=NDCE=90°,点A,D,E在同一

条直线上，CM为，DC£中边上的高，连接8E,请判断的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关

系并说明理由.

BC

图1图2

例7.（2024•广东广州市•八年级期中）如图,两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,CE,二者相交于点H.（1）

证明：△ADG0ZXCDE；（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；

（3）连结AE和CG,请问4ADE的面积和4CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由.

例8.（2024•福建福州市•九年级月考）如图，。和均为等边三角形，连接BE、CD.

（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是；

（2）观察图，当..AB。和AAEC分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变？

（3）观察如图和4,若四边形ABCD、DEFG都是正方形，猜想类似的结论是在如图中证明你的

猜想.（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明），如图,BBi与EEi的关系是；它们分别在哪两

个全等三角形中；请在如图中标出较小的正六边形ABiGDjEiFt的另五个顶点，连接图中哪两个顶

点,能构造出两个全等三角形？

模型2.“手拉手”模型（旋转模型）

【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将•个三角形绕着它的顶点旋转并放大或缩小（这个顶点不

变），我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的

旋转相似三角形。

1）手拉手相似模型（任意三角形）

n（“CnC

条件:如图，ZBAC=ZDAE=a,42=空=左；结论：△AMs/XACE；—=k>

ABACBD

2）手拉手相似模型（直角三角形）

C

f-----------------------1BA4B

条件:如图，ZAOB=NCOD=90°,空=变=2（即△COOS/\AOB）；

OAOB

结论：bAOCs^BOD；处=4，SXRrn=-ABxCD•

ACABCD2

3）手拉手相似模型（等边三角形与等腰直角三角形）

A

B---------------------1CB--DG

条件:M为等边三角形ABC和。EF的中点；结论：匕BMEs&CMF；更-=>/3.

Cl

条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；结论：△ABDsAACE.

手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等;

②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；

③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等：

④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

例L（2024•山西长治•九年级期末）问题情境：如图1,在财中，AB=6,4c=5,点。，E分别在边AR,

or\

AC上，且DE〃BC.数学思考：⑴在图1中，—的值为______；（2）图1中0A8C保持不动，将财。£绕

CE

点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接4。，CE,则（1）中的结论是否仍然成立？并

说明理由；（3）拓展探究：在图2中，延长分别交AC,于点入匕连接A-，得到图3,探究

与（L48C之间有何数量关系，并说明理由；（4）若将财OE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD,

CE,延长8。交CE的延长线于点P,BP交AC于点、F,贝ij（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明

理由；若不成立，请直接写出幽PE与蜘8c之间的数量关系.

例2.（2024・山东济南•八年级期末）某校数学活动小组探究了如下数学问题：

⑴问题发现：如图1,A8C中，ZBAC=90°,AB=AC.点P是底边3c上一点，连接AP,以从尸为腰

作等腰RtZXAPQ,且NPAQ=9O。，连接CQ、则8P和CQ的数量关系是；

⑵变式探究：如图2,4ABe中，N84C=90。，A8=AC.点P是腰A8上一点，连接CP,以C尸为底边

作等腰RtZ^CPQ,连接AQ,判断BP和4Q的数量关系，并说明理由；

⑶问题解决：如图3,在正方形力BCO中，点P是边8c上一点，以DP为边作正方形DPEF,点Q是正方

形DPEF两条对角线的交点，连接CQ.若正方形。，E尸的边长为痴，CQ=也,求正方形A8C。的边长.

例3.(2024•四川达州•中考真题)某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角

三角形ABC和等腰直角三角形COE,按如图1的方式摆放，Z4C«=ZECD=90°,随后保持.48。不动，将

△CZ)E绕点C按逆时针方向旋转夕(0°<a<90°),连接4E,BD,延长8。交AE于点F,连接CF.该

数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：(1)【初步探究】如图2,当初〃AC时，贝i」a=；

(2)【初步探究】如图3,当点E,F重合时，请直接写出人尸，BF,CF之间的数量关系：;

(3)【深入探究】如图4,当点E,F不重合时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若

不成立，请说明理由.⑷【拓展延伸】如图5,在与△CQE中，ZACB=ZDCE=90°,若3C=〃HC,

CD=mCE(m为常数).保持，A5C不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转。(0°<«<90°),连接AE,

BD,延长8。交4E于点F,连接Cf,如图6.试探究所，BF，C尸之间的数量关系，并说明理由.

图4图5图6

例4.（2024•四川乐山•中考真题）在等腰AA8C中，A8=AC,点。是8c边上一点（不与点8、C重合）,

连结AO.（1）如图1,若NC=6（r,点。关于直线48的对称点为点七，结AE,DE,则=

（2）若NC=60°,将线段AD绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,连结BE.

①在图2中补全图形；②探究8与应:的数量关系，并证明;

3/?4/）

（3）如图3,若y二=二女，且NAOE=NC,试探究电、BD、AC之间满足的数吊关系，并证明.

BCDE

例5.（2024•山东烟台•中考真题）

⑴【问题呈现】如图1，和酎。£都是等边三角形，连接60,CE.求证：BD=CE.

⑵【类比探究】如图2,a48c和酎。后都是等腰直角三角形，^BC=BADE=90°.连接80,CE.请直接

写出空的值.⑶【拓展提升】如图3,0/WC和（MOE都是直角三角形，EL4BC=（MDE=90%且上=当

CEBCDE

=7-连接B。，CE.①求空的值；②延长。上交4。于点尸，交AB于点G.求sin鼬FC的值.

4CE

例6.（2024•四川•成都九年级期中）如图1,已知点G在正方形A4CO的对角线AC上，G以8C,垂足为点

E,GF^CD,垂足为点F.（1）证明：四边形CEG尸是正方形；（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C

顺时针方向旋转a角（0，VaV45,）,如图2所示，试探究线段AG与8E之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：正方形CEG/绕点C顺时针方向旋转a角（0。＜。＜45。），如图3所示，翌B,E,产三

点在一条直线上时，延长CG交力。于点〃，若AG=9,GH=36,求BC的长.

课后专项训练

1.（2024•浙江•温州・模）如图，在AABC中以AC,BC为边向外作正方形ACFG与正方形8CDE,连结。P,

并过C点作CM3A8于”并交尸Q于M.若0AC8=12O。，AC=3,BC=2,则M。的长为（）

A.当B.y/2C.|D.百

2.（2024・湖南•中考真题）如图，点。是等边三角形ABC内一点，OA=2,08=1,OC=g，则MOB与

M0C的面积之和为（）

A

A.BB.且cMD.石

424

3.（2024・广东茂名•二模）如图，在，A8C中，ZACB=45°,AB=4,ZBAC=60°,。是边8C上的一个动点，

连接40，并将线段AO绕点A逆时针旋转6（）。后得线段AZT,连接80'，在点。运动过程中，线段长

度的最小值是.

4.（2024・湖南常德•统考中考真题）如图1,在RtA48C中，ZABC=90°,A8=8,BC=6,。是AB上一

点，且40=2,过点。作。E〃8C交AC于E,将V/W无绕4点顺时针旋转到图2的位置.则图2中空的

CE

值为.

图1图2

5、（2024・重庆•九年级期木）已知正方形DEEG的顶点〃在.正方形A4CD的一边A〃的延长线上，连结AG,

CE交于点从若48=3,。七=0,则C"的长为.

6.（2024秋•江西抚州•九年级临八一中校考期中）将绕点A按逆时针方向旋转。度，并使各边长变为

原来的〃倍，得△AB'C,如图①所示，/班*=仇空=要二qg=〃，我们将这种变换记为［仇〃］.

ABBCAC

⑴如图①，对A8C作变换［60。,6］得到△A8'。'，则SAA8'C:SAA8C=；直线8。与直线8'。'

所夹的锐角为度；（2）如图②，中，N84C=30>,4C8=90。，对4ABe作变换以〃］得到

△A&C',使点8、C、C在同一直线上，连接39,圆'且8g_LCB,求。和〃的值；

⑶如图③，J1BC中，48=八。,/班。=36。,8。=1,对JWC俏变换可得到△AB'C,便点取C、B'在

同一直线上，且89〃AC',求夕和〃的值.

7.（2024•辽宁丹东・统考二模）（1）问题发现：如图1,已知正方形A8CO,点E为对角线AC上一动点,

将跖绕点8顺时针旋转90。到M处，得到连接CF.填空：①嘉=；②ZAC77的

度数为；（2）类比探究:如图2,在矩形A8CO和R3EF中，/EBF=90°,ZACB=4EFB=60°,

CF

连接。尸，请分别求出刊的值及4b的度数；（3）拓展延伸：如图3,在（2〉的条件下，将点E改为宜

AE

线AC上一动点，其余条件不变，取线段放的中点M,连接8M,CM,若A3=2石，则当3cBM是直角

三角形时，请直接写出线段C/的长.

图1图2图3

8.（2024春•山西太原•九年级山西实验中学校考期中）【问题情境】如图1,在RtZ\A8C中，

44C=90。，BC=8,AB=4,点/）,E分别是边AC,AC的中点，连接。£.如图2,将△EDC绕点C按

A[7

顺时针方向旋转，记旋转角为【观察发现】如图2,当0。＜。＜180。时，而.

【方法迁移】如图3,矩形A8c。中，AB=6,AO=8.点E,b分别是ABA。的中点.四边形A£Gr为矩

形，连接CG.如图4,将矩形AEGF绕点A逆时针旋转.旋转角为a（0°Ka＜180。），连接。尸.请探究矩

形AEGE旋转过程中，。尸与CG的数量关系：

【拓展延伸】如图5,若将上题中的矩形48CQ改为“平行四边形48CO”且ND=60。，矩形AEG/改为“平

行四边形AEG/”，其他条件不变，如图6,在平行四边形AEGF旋转过程中，直接写出空=.

图1图2S3

9.(2024・重庆忠县•九年级期末)已知等腰直角AA8C与AAQE有公共顶点A,N/3AC=N/M£=90‘，

"=AC=8,AD=AE=4.现将A4QE绕点A旋转.

⑴如图①，当点B,A,Z)在同一直线上时，点”为OE的中点，求斯的长：

(2)如图②，连接的，0c.点G为。C的中点，连接4G交BE于点P,求证：AGA.BE,

(3)如图③，点尸为OE的中点，以M为直角边构造等腰RtAFBN,连接CN,在AADE绕点A旋转过程中,

当BN最小时，直接写出ABCV的面积.

10.(2024春・广东揭阳•九年级校考期中)己知R/0ABC中，a4CB=90°,C4=CB=4,另有一块等腰直角三

角板的直角顶点放在C'处，C〃=CQ=2,将二角板CPQ绕点。旋转(保扑点〃在MAC.内部)，连接AF、8P、

BQ.(1)如图1求证：AP=BQx(2)如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时，求

AP长.

图1图2

11.（2024・山东•九年级专题练习）如图，正方形ABCQ,将边CD绕点。顺逆时针旋转a（（TVaV90。），得

到线段。E,连接CE,过点A作A&1CE交线段CE的延长线于点F,连接8尺

（1）当AE=A8时，求a的度数：（2）求证：0AEf=45。；（3）求证：AE^FB.

12.（2024・河南•方城县一模）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.

⑴qABC是边长为3的等边三角形，£是边AC上的一点，且4E=1,小亮以8E为边作等边三角形3£立

如图（1）所示.则C尸的长为.（直接写出结果，不说明理由）

（2）4ABC是边长为3的等边三角形，石是边AC上的一个动点，小亮以8石为边作等边三角形BEF,如图（2）

所示.在点E从点。到点A的运动过程中，求点尸所经过的路径长.

思路梳理并填空：当点七不与点八重合时，如图，连结CF,

配1A8C、0BE/都是等边三角形由BA二BC,BE=BF,ZABC=ZEBF=6Q°

团①/48E+=NCBF+；^ZABE=ZCBF^ABE^CBF^ZBAE=ZBCF=6Q°

又4BC=60。^ZBCF=ZABC^0；

当点七在点A处时，点尸与点。重合.

当点石在点C处时，Cr=04.团③点厂所经过的路径长为.

⑶aWC是边长为3的等边三角形,M是高CO上的一个动点，小亮以8W为边作等边三角形BAIN,如图（3）

所示.在点M从点C到点。的运动过程中，求点N所经过的路径长.

⑷正方形A8C。的边长为3,七是边8上的一个动点，在点七从点C到点8的运动过程中，八亮以4为顶

点作正方形8FGH,其中点凡G都在直线AE上，如图（4）.当点£到达点8时，点LG,，与点8重

合.则点”所经过的路径长为.（直接写出结果，不说明理由）

13.（2024•福建福州•九年级校考期中）正方形A8CQ和正方形4EFG的边长分别为3和1,将正方形AEFG

绕点A逆时针旋转.（1）当旋转至图1位置时，连接BE,DG,则线段BE和DG的关系为；

（2）在图1中，连接8。，BF,DF,求在旋转过程中斤的面积最大值；

14.（2024•辽宁沈阳•九年级校考期中）（1）如图①，若在等边AAAC的边人B上任取一点E（点七不与B

重合），以七C为边在△A3C同侧作等边连接4V.求证：AN//BC且AN=BE；

（2）如图②，若把（1）中的“等边3c改成正方形A8CQ,同样在边上任取一点E（点E不与4重

合），以EC为边在正方形A8C。同则作正方形CEMM连接0M请你判断图中是否有与（1）中类似的结

论.若有，直接写出结论：若没有，请说明理由；

图①图②

15.（2024•浙江•九年级课时练习）在（M8c中，AB=AC,团BAC=a,点。为线段CA延长线上一动点，连接

PB,将线段P8绕点尸逆时针旋转，旋转角为a,得到线段PD,连接。&DC.（1）如图1,当a=60。时，

求证：PA=DC；（2）如图2,当口=120。时，猜想出和0c的数量关系并说明理由.（3）当a=120。时，

若AB=6,BP=而,请直接写出点。到CP的距离.

16.（2024・山东•九年级课时练习）如图，ABC和一ADE是有公共顶点直角三角形，NB4C=ND4E=90。,

点P为射线80,CE的交点.

（1）如图1,若《ABC和&AOE是等腰直角三角形，求证：CPLBD；

（2）如图2,若NAOE=NA5C=30。，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）在（D的条件下,

45=4,4）=3,若把绕点A旋转，当NE4C=90。时，请直接写出”的长度

ADAn1

17.(2024•广东•深圳市九年级期中)(1)如图1,Rt^ABC^Rt^ADE,^ADE=^ABC=9Q°,—=—=-,

BCDE2

连接3。，CE.求证：—=^.(2)如图2,四边形4BCD,m40=阴CO=90。，且勺^=［，连接8C,

CE5AD2

BC、AC.CO之间有何数量关系?

图1图2图3

小明在完成本题中，如图3,使用了“旋转放缩〃的技巧，即将MBC绕点A逆时针旋转90。，并放大2倍，点

8对应点。.点C落点为点E,连接OE,请你根据以上思路直接写出BC,AC,CQ之间的关系.