2025版三维设计 一轮 高中总复习物理 第11章 磁场 第57课时 带电粒子在磁场中的运动 双基落实课

第57课时带电粒子在磁场中的运动［双基落实课］

■7立足“四层”•夯基础口概念公式定理

洛伦

为而……利用左手定则判断

带兹力-4"…H

电

垃…柝而H洛伦兹力不做功

子

在

v//BH匀速।［线运动

拔

场

vlB勺速同周运动

中H

的运动---j向心为公资耳，国="普

运性质

动&遨二#湍

■H航宏式,7=等

，世

□情境思辨•真题情境

（2022北京R考7场）正电子是电子的反粒子，与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强

磁场，从。点发出两个电子和一个正电子，三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示。

判断下列说法的正误:

（1）粒子从P点进入云室时，正电子、负电子所受洛伦兹力方向相反。（＜）

（2）电子和正电子所受洛伦兹力方向都与其速度方向垂百，对电子和正电子都不做功。（4）

（3）带电粒子的速度越大，运动半径越大。（＜）

（4）带电粒子运动比荷越大，运动周期越大。（X）

L着眼“四翼”•探考点口题型规律方法

考点一对洛伦兹力的理解［素养自修类］

L【洛伦兹力的方向】

图中心从c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点.上，导线中通有大小相同的电

流，方向如图所示。一带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是

（）

A

V

A.向上B.向下

C向左D.向右

解析：B根据题意，由安培定则可知，氏d两通电直导线在0点产生的磁场相抵消，〃、c•两通电直导线在。点

产生的磁场方向均向左，所以四根通电直导线在O点产生的合磁场方向向左，由左手定则可判断带正电的粒子所

受洛伦兹力的方向向下，B正确。

2.【洛伦兹力与电场力的比较】

如图甲所示，一带负电的小球以一定的初速度w竖直向上抛出，达到的最大高度为小；若加上水平方向的匀强磁

场，且保持初速度仍为小，小球上升的最大高度为a2（图乙）：若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为

M，小球上升的最大高度为〃3（图丙）；若加上竖直向上的匀强电场,且保持初速度仍为V0,小球上升的最大高

度为（图丁）。不计空气阻力，则（)

甲

A.舟=向

C.h2>h3D."〈力4

解析：A图甲，由竖直上抛运动的规律得加=第；图丙，当加上电场时，在竖直方向上有%2=293,所以小=

饱，故A正确；图乙中，洛伦兹力改变速度的方向，当小球在磁场中运动到最高点时，小球有水平速度，设此时

小球的动能为反，则由能量守恒定律得〃?"2+Ek=]w（）2,又1I%%=〃?4/?],所以无>〃2，43>〃2，C错误；图

丁，因小球带负电，所受电场力向下，则自一定小于小，B错误；由于无法明确电场力做功的多少，故无法确定

比和心之间的关系，D错误。

口考点归纳

1治伦效力与安培力的联系及区别

（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。

（2）安培力可以做功，而洛伦兹力永不做功。

2.洛伦效力与电场力的比较

洛伦兹力电场力

产生条件v=A0且u不与8平行电荷处在电场中

大小F=qvB(v±B)F=qE

力方向与场

FIB,FlvF//E

方向的关系

做功情况任何情况下都不做功可能做功，也可能不做功

3.带电体在磁场中做变速直线运动时，随着速度大小的变化，洛伦兹力的大小也会发生变化，带电体与接触面间的

弹力随着变化（若接触面粗糙，摩擦力也跟着变化，从而使加速度发生变化），最后若弹力减小到0,会产生带电

体可能与接触面分离的有关问题。

考点二带电粒子在有界匀强磁场中的运动[多维探究类]

1.解答带电粒子运动问题的“三个关犍”一“轨迹圆心、半径及运动时间”的确定方法

圆心的确定半径的确定时间的确定

（1）与速度方向垂直的直线过圆心。利用轨迹长度L或对应圆

基本利用平面几何知识

（2）弦的垂直平分线过圆心。心角夕求时间

思路求半径

T号7

（3）轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心v27r

圆心的确定半径的确定时间的确定

（1）速度的偏转角S等十⑪所对的

P、M点0点速度垂S点的速度垂线常用解三角形法，（如

圆心角0。

速度垂线与弦的垂与切点法线的交图）R=熹或由依=〃+

说明（2）偏转角8与弦切角a的关系：

线的交直平分线的

点（尺一"）2求得”空白若8Vl80°,s=2a：若8>180°,@

占交占

=360°-2a

2.粒子在几种常见磁场中的运动分析

种类图形特点

直线边界进出磁场具有对称性

存在临

平行边界

界条件

种类图形特点

圆形（1）沿径向射入必沿径向射出。

边界（2）图（b）为磁聚焦现象

(b)

图（b）:粒子在磁场中的轨道半径恰好等于磁场圆的半径

考法一平行边界的磁场

【典例1】（多选）两个带等量异种电荷的粒子分别以速度V”和坳射入勺强磁场，两粒子的入射方向与磁场边

界的夹角分别为60。和30。，磁场宽度为4两粒子同时由4点出发，同时到达B点，如图所示，则（）

(A)0x

AB

\bx

30°

A.a粒子带正电，。粒子带负电

B.两粒子的轨道半径之比凡：&=，3：1

C.两粒子的质量之比/%：mb=\：2

D.两粒子的质量之比如：mb=2：1

答案：BD

解析：由左手定则可得。粒子带负电，方粒子带正电，故A错误；粒子做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，则

凡=工=乩R尸鼻=当，所以凡：&=百：1,故B正确；由几何关系可得，从A运动到B,〃粒子转过的

Sin300Sin6003

圆心角为60。，〃粒子转过的圆心角为120。，则乙：0=2：1,再根据洛伦兹力提供向心力可得

8%=哈，所以运动周期7=等=胃，根据。、〃两粒子电荷量相等可得〃助=£,：〃=2：1,故C错误，D

正确。

a

考法二三角形边界的磁场

【典例2】（多选）如图所示，在直角三角形"c区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为

8。大量质量为〃?、电荷量为的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于"边射入磁场区域，结果在权•边仅有一

半的区域内有粒子射出。已知枕边的长度为L,〃。边和加边的夹角为6（）。，不计粒子重力及粒子间的相互作用

力。下列说法正确的是（）

A.粒子的入射速度为警

4m

B.粒子的入射速度为更侬

om

C.粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为号

D.从机边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为黑

2bq

答案：AC

解析：粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有r=詈，因林边只有一半区域有粒子射

Bq

出，在床边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示，由几何关系可得==：,则粒子的入射速度-=警，A正确，B

44m

错误；粒子在磁场中运动的最长轨迹为s=“=T，C正确；与历边相切，恰从儿边射出的粒子对应的圆心角最

4

大为从枕边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为，=等，D错误。

33Bq

考法三圆形边界的磁场

【典例3】（多选）（2023•全国甲卷20题）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上户点开有•

个小孔，过P的横截面是以。为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿尸。射入，然后与筒壁发生碰撞。假

设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方

向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（）

A.粒子的运动轨迹可能通过圆心0

B.最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出

C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短

D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心。的连线

答案：BD

解析：假设粒子带负电，作出粒子在圆筒中的儿种可能的运动情况。如图1所示，由几何关系可知

△OiPO^AOiQO,所以NOPO=NOiQO,又粒子沿直径射入，/。产。=90。，则NOiQO=90。，O|Q_LOQ,则

每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心。的连线，D正确；粒子在圆筒中先做圆周运动，与圆

筒碰后速度反向，继续做圆周运动，粒子第一次与简壁碰撞的运动过程中轨迹不过圆心，之后轨选也不可能过圆

心，A错误；粒子最少与圆筒碰撞2次，就可能从小孔射出，如图2所示，B正确；根据/归=〃4可知，「=合，

则射入小孔时粒子的速度越大，粒子的轨迹半径越大，与圆筒碰撞次数可能会增多，在圆内运动的时间不一定越

短，如图3所示，C信误。

粒子做圆周撞击速度

运动的圆心

图1

第三次硬撑第二次硬撑

出

出

笫

次

四

第

次

二

入

入

碰

撞

碰

撞

口

口

第一次碰撞

第一次碰撞第三次碰撞

图3

【规律方法】

解答带电粒子在有界匀强磁场中运动的“三步曲”

逊逋）f确定网心

r⑴轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系,

即/?=mv

布

（2）由几何关系（如勾股定理、三角函数等）来

确定半径

⑶偏转角度与圆心角、运动时间相联系

（4）粒子在磁场中的运动时间与周期相联系

不赢一利用牛顿第二定律和圆周运动的规律等，特

叱竺5厂别是周期公式、半径公式

考点三带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题［多维探究类］

产生带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的多解问题的原因：（1）带电粒子电性不确定；（2）磁场

方向不确定；（3）临界状态不确定；（4）运动的往复性（或周期性）。

考法一带电粒子的电性不确定形成多解

带电粒子的电性如果不确定，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解，如图所示。带

电粒子以速度u垂直进入匀强磁场：（1）若带正电，其轨迹为。：（2）若带负电，其轨迹为瓦

'、/

【典例4】（多选）如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为8的

匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则能够以原速丝弹回。一质量为〃?、带电荷量为g的粒子以

某一速度垂直于磁场方向从。点射入破场，恰好从Q点射出。下列说法正确的是（）

A.带电粒子一定带负电荷

B.带电粒子的速度最小值为警

4m

C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为第

D.带电粒子在磁场中运动时间可能为总

答案：CD

解析：若粒子带正电，粒子与挡板MN碰撞后恰好从。点射出，粒子运动轨迹如图甲所示，设轨迹半径为屋，由

22

几何知识得（r2-0.5L）=r2,解得根据牛顿第二定律得#28=小餐，解得内=嘿，根据动量定

理得/=2机吸=誓，故A错误，C正确；

若粒子带负电，则粒子的运动轨迹如图乙所示，粒子做圆周运动的半径为门=/,由牛顿第二定律得/4=

〃也，解得也=磐，此时半径最小，速度也最小，故B错误；若粒子带负电，当粒子在磁场中的运动轨迹所对应

的圆心角为；时，粒子在磁场中的运动时间为襄，故D正确。

363qB

考法二磁场的方向不确定形成多解

带电粒子在磁场中以相同的速度射入磁场，如果磁场的方向不确定，粒子在磁场中偏转方向不同，形成多

解。

【典例5】（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直。。方向向上射出一束负禽子，离子的重力忽略不计。

为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知。、4两点间的距离为S,负离子的比荷

为上,速率为h0P与0Q间的夹角为30。，则所加匀强磁场的磁感应强度8的大小和方向可能是（）

m

垂直纸面向里

3qs

BZ>%,垂直纸面向里

qs

C.B>—,垂直纸面向外

qs

D.8>工吧，垂直纸面向外

答案：BD

解析：当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与。P相切的轨迹如图甲所示，切点为M,设轨迹半径为〃，由几

何关系可知由］30。=十，可得n=s,由门=詈可得历=”；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与

s+4qs

。。相切于N点，如图乙所示，设轨迹半径为小由几何关系s=』+a得「2=3,又「2=?,所以&=2变，

sm3003qB2qs

综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误。

甲乙

考法三粒子的临界状态不确定形成多解

带电粒子在磁场中运动，由于临界状态的不确定，粒子的轨迹有多种可能性，故而形成多解。

【典例6】（多选）（2022•湖北高考8题）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部

分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大

小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且

与5尸成30。角。已知离子比荷为匕不计重力。若离子从尸点射出，设出射方向与入射方向的夹角为仇则离子的

入射速度和对应0角的可能组合为（）

XXXX

XXXX

L

A.-kBL,0°B.-kBL.0°

32

C.kBL,60°D2kBL,60°

答案：BC

解析：若粒子通过下部分磁场直接到这P点，如图所示，则根据几何关系，有R=L,q\，B=〃三,可得丫=装=

Rm

kBL,根据对称性可知出射速度与SP成30。角向上，故出射方向与入射方向的夹角为9=60。。当粒子上下均经历

一次时，如图所示。

八

因为上下磁感应强度均为氏则根据对称性有根据洛伦兹力提供向心力有4M=加口，可得^=譬

ZR2m

*BL,此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为。=0。。通过以上分析可知当粒子从下部分

磁场射出时，需满足厂房*二看皿（〃=|,2,3,…），此时出射方向与入射方向的夹角为〃=6。。；当

粒子从上部分磁场射出时，需满足产黑=和小〃=|,2,3,…），此时出射方向与入射方向的夹角为八

0°,综合上述可知B、C正确，A、D错误。

一聚焦"素养''•提能力口-----------------------巧学妙解应用----------

基础练

考点一对洛伦兹力的理解

1.（2023•海南高考1题）如图所示，帝正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力

说法正确的是（）

令........

X......XIXX

BI

XXvXX

XXXX

A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右

B.小球运动过程中的速度不变

C.小球运动过程的加速度保持不变

D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功

解析：A根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确；小球受到洛伦兹力和重力的

作用，运动过程中速度和加速度的大小、方向都在变，B、C错误；洛伦兹力永不做功，D错误。

2.从太阳和其他星体发射出的高能粒子流（宇宙射线）在射向地球时，地磁场改变了带电粒子的运动方向，对地球

起到了保护作用。如图所示为地磁场对宇宙射线作用的示意图。现有来自宇宙的•束质子流，以与地球表面垂直

的方向射向赤道上空的某一点A,则这些质子在进入地球周围的空间时将（不考虑自转）（）

A.竖直向下沿直线射向地面

B.相对于4点向东偏转

C.相对于A点向西偏转

D.相对于A点向北偏转

解析：B质子流从上而下射向地球表面，地磁场方向在赤道的上空从南指向北，根据左手定则可知，洛伦兹力的

方向向东，所以质子相对A点向东偏转，选项B正确。

考点二带电粒子在有界匀强磁场中的运动

3.（多选）如图，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源。先后发射速

率均为u的质子和a粒子，质子和a粒子同时到达P点。已知0P=/,a粒子沿与P。成30。角的方向入射，不计

粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（）

XXXXXX

XXXXXXL

XXXX><30°

PO

A.质子在磁场中运动的半径为g

B,a粒子在磁场中运动的半径为号/

C.质子在磁场中运动的时间为建

D.质子和a粒子发射的时间间隔为等

解析：ACD根据题意作出a粒子运动轨迹如图所示。由几何知识可知，a粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r

=/,因为a粒子做圆周运动的半径为r=%，质子与a粒子的比荷乙比为2：1,所以运动的半径之比为1：2,质

子运动的半径为；，故A正确，B错误；a粒子在磁场中做圆周运动的周期7=型=㈣，由几何知识可知，a粒子

2vv

在磁场中转过的圆心角仇=300。，a粒子在磁场中的运动时间九=27=?，质子从。射入P点射出，又质子运

动的半径为；，可知质子从。点射入的速度方向必与0。边界垂直，质子在磁场中转过的圆心角优=180。，则有/2

=空，所以质子和a粒子发射的时间间隔为。一尬=等，故C、D正确。

2v6v

x""x

xxx\

fXXXx,

lxXX入XXX

kx*Xx

"p"""d^

4.如图，边长为/的正方形。加d内存在匀强磁场，磁感应强度大小为从方向垂直于纸面所在平面）向

外。〃力边中点有一电子发射源O,可向磁场内沿垂直于时边的方向发射电子。已知电子的比荷为鼠则从a、d两

点射出的电子的速度大小分别为（）

A.沙/,争创B.渺/,湖/

C字BL*BID.gkBL渺/

解析：B若电子从。点射出，运动轨迹如图线①所示，有如史=〃屋

Ra

R/五？

,乙*二

b

a；也喇……

又（

若电子从d点射出，运动轨迹如图线②所示，有

如出=啜

2

又K=W+1

解得心=管=哼1,选项B正确。

47714

5.（多选）（2022•辽宁高考8题）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横微面的简化模型如图所示。内圆区

域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从。点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区

域后打在探测器上的例点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒

子间相互作用力。下列说法正确的是（）

A.粒子1可能为中子

B.粒子2可能为电子

C.若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的。点

D.若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的。点

解析：AD由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子I可能为中子，粒子2向上偏转，根据左

手定则可知粒子2应该带正电，A正确，B错误；由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒

子1都不会偏转，C错误；粒子2在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有介解得厂=奇，可知若增大粒子

入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的。点，D正确。

考点三带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题

6.（多选）如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为8,刷NN是它的两条边界。现有质量为机、

电荷量为，/的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界射出，则粒子入射速度v的最大值可能

是（）

A.（2+^Bqd（q为正电荷）

B.<2+；，BM（,/为负电荷）

C.<2~^Bqd（4为正电荷）

D.⑵f即&（g为负电荷）

解析：AD题目中只给出粒子“电荷量为4”，未说明是带哪种电荷。若q为正电荷，入射速度最大时的运动轨

迹是图中上方与NM相切的2圆弧，轨迹半径R=7,%1=R-R3s45。,解得u=上回陋，故A正确，B错

4qBm

误；若夕为负电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中1、方与相切的（圆弧，则有？=器，d=R+R'cos

45。，解得/='L,故C错误，D正确。

m

x

x

7.（多选）如图所示，边长为£的等边三角形区域ACO内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂

直纸面向里、向外。三角形顶点A处有一质子源，能沿/A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子（质

子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有质子恰能通过。点，已知质子的比荷包=、则质子的速度可能为

m

（）

A.竽B.BkL

「3BkLI、BkL

C.---D.--

28

解析：ABD质子可能的运动轨迹如织所示，由几何关系可得2〃Rcos60o=£（〃=1,2,3,…），由洛伦兹力提

供向心力有/8=〃。联立解得尸管=等（〃=1,2,3,…），故A、B、D正确，C错误。

8.如图，在直角坐标系X。），第一象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子放射源，它可向右侧

纸面内各个方向射出速率相等的同种带电粒子，而且向每个方向射出的粒子数相同。所有粒子射出磁场时离5最

远的位置在x轴上的尸点。已知0P=V50S,粒子带负电，粒子重力及粒子间的作用力均不计，则（）

y

xxxxx

xxxxx

S篦xxxx

XXX

xx7xx

"olPx

A.在磁场中运动时间最长的粒子是从P点射出

B.沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的偏转角为60°

C.从OP、OS两个区域射出的粒子数之比为5：1

D.从。点射出的粒子，射出的速度方向与），轴负半轴的夹角为60。

解析：c由于所有粒子射出磁场时离s最远的位置在X轴上的户点，已知OP=V5OS,所以SP为直径，根据几

何关系可得SP=JOP2+OS2=2OS,即OS=R,当粒子沿），轴正方向射入磁场时，运动轨迹如图甲所示，此时粒

子在磁场中运动时间最长，故A错误；

沿平行x轴正方向射入的粒子圆心刚好在。点，离开磁场时的偏转角为90。，故B错误；当粒子轨迹刚好通过O

点时，粒子运动轨迹如图乙所示，根密几何关系可得粒子轨迹对应的圆心角为60。，则此时粒子速度方向与一），方

向的夹角为。=30。，所以当0V0W3。。时粒子从OS边射出，当30。＜0W180。时粒子从OP边射出，故从。尸、OS

两个区域射出的粒子数之比为〃1："2=（18（）。一30。）：30。=5：1,故C正确，D错误。

9.（多选）地磁场对宇宙高能粒子有偏转作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场筒化为如图所示，

O为地球球心、A为地球半径。地磁场只分布在半径为宠和2R的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为

从方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直MN沿赤道平面射向地球。已知粒子质量

均为"八电荷量均为小不计粒子的重力及相互作用力。下列说法正确的是（）

A.若粒子速率小于等，入射到磁场的粒子可以到达地面

2m

B.若粒子速率小于等，入射到磁场的粒子均无法到达地面

2m

C.若粒子速率为之，正对着。处入射的粒子恰好可以到达地面

m

D.若粒子速