2025备考W的取值范围与最值问题

第31讲。的取值范围与最值问题

知识梳理

1、f(x)=Asin(〃r+夕)在f(x)=Asin(fi)x+火)区间(a,b)内没有零点

M-4巧

k兀&a(D+(p<x+kx=>

(0

k冗<ba)+(p三兀+k兀

bwn+

(0

同理，f(x)=Asin(@x+9)在区间［a,b］内没有零点

2、/(A)=Asin(69A+(p)在区间(a,〃)内有3个零点

同理f(x)=Asin(<yx+0)在区间［a,b］内有2个零点

3、f(x)=AsinQx+*)在区间(a,〃)内有〃个零点

同理/(A)=Asin(mx+*)在区间［a,b］内有n个零点

4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为也1丁，则

4

2了=^^£=岭|.

42co11

5、已知单调区间(“,))，则,一4«弓.

必考题型全归纳

题型一：零点问题

例1.(2024・全国•高三专题练习)设函数/")=5m(5+尹)4(3>0),若对于任意实数

夕，函数/(戈)在区间［0,2可上至少有3个零点，至多有4个零点，则出的取值范围是()

4［郎.K'{|c.住2)D.罔

【答案】C

【解析】因为e为任意实数，故函数/(X)的图象可以任意平移，从而研究函数/(“在区间

［0.2可上的零点问题，即研究函数y=sin3-3在任意一个长度为2A0=2几的区间上的

零点问题，

令产sins—=0,得sin的耳，则它在)，轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为三，

226fw

57t137117兀25兀匕

6'6(。'6a)’6a)’

则它们相邻两个零点之间的距离分别为?，f，M，萼，L,

5(03(03(03。

故相邻四个零点之间的最大距离为二，相邻五个零点之间的距离为生,

3。co

所以要使函数八%)在区间［0,2兀］上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点

之间的最大距离不大于2兀，相邻五个零点之间的距离大于271,

1°九八

---＜27t

了，解得沁＜2.

即《

4兀、r3

—〉2兀

(0

故选：C

例2.(2024.全国•高一专题练习)设函数，(x)=2sin3r-l(3＞0),在区间£,丁上至少

.44_

有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则。的取值范围是()

「26101—2658、

，，

A.L9c3cJD.9C9C)

「3458、「2610］「3458、

。b引［亨丁卜［丁至J

【答案】D

【解析】函数/(x)=2sinsT(«＞0),在区间上至少有2个不同的零点，至多有

3个不同的零点，即sinox=:在区间与］上至少有2个不同的根，至多有3个不同的

2|_44」

根，

(on3<wr

COXE

4'4

如图:

c、\,①兀，兀54/3&乃17兀/口十”

①当工〃’则丁丁＜丁得卬无解;

②当红等嘤，则史彳酗25"-始26,,10

<-，--求得g

646646

八,,55con13乃,Ain29乃a”3458

③当至十了时，则下工一<6,求得9会＜9：

64

④当等＞当时，(0713(07r竽＞孚＞4乃超过了正弦函数的两个最小正周

区间长度

46.45443

期长度,故方程在区间?年上至少有4个根,不满足题意;

_,-r田26/JOT34/58

综上，—<fy<ysky<6y<—；

故选：D.

例3.（2024・河北•高二统考学业考试）设函数/（x）=2sin（3v+Q）-13>0）,若对于任意

实数。，/（X）在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则”的取值范围是

44

（）

【答案】B

【解析】令f（x）=。，则sin®x+w）=g

令t=3X+（p,则sin1」

2

则问题转化为y=sin，在区间^-（o+（p,-^-a）+（p上至少有两个，至少有三个人使得

44

sin/-i,求出的取值范围.

作出y=sinr和），=3的图像，观察交点个数，

12

可知使得sinr4的最短区间长度为2万，最长长度为2乃+§乃，

由题意列不等式的：

解得：4^<y<—.

故选：B

变式1.（2024・全国•高三专题冻习）已知函数/"）的图象是由y=/sin（DX+

（口>0）的图象向右平移？个单位得到的，若/（X）在上仅有一个零点，则出的取

值范围是（）.

A.[1,3）

C.[l,|）D.[1,4）

【答案】C

【解析】由题知，函数.y=0sin"+g）®>O）在上仅有一个零点,

所以「吟吟兰吟所以…'

令Visinj公t+：1=0,彳?/*+二=履，EPx=—一一—,kGZ.

k373co3co

若第一个正零点尸巴-；=勺<3则0>4(矛盾)，

<y3<y3<y6

因为函数y=V^sin(s+S在^,-y-上仅有一个零点，

兀

--0--2-7-102-T--l

所以?3s3解得］

2兀冗27r2

co3co3

故选：C.

变式2.(2024・全国•高三专题冻习)记函数/(x)=sin(s+0)e>0,0<o<9的最小正周

期为T.若/(7)=3，x=?为了("的零点，则。的最小值为()

26

A.2B.3C.4D.6

【答案】c

【解析】因为/(1)-§亩(〃5。)(©>0,0<0<；)的最小正周期为7=耳，且

f⑺当,

所以3由(69.至+e)=，血1夕=日，

因为所以8=0，

所以/(x)=sin(s+9，

因为x为/(x)的零点，

6

所以鹰卜小呜卜。，

所以2。+工=eZ,解得@=6k-2,«wZ,

63

因为<y>0,所以。的最小值为4,

故选：C

2sin公v+1

—r=,COS(OX^

2

变式3.(2024•全国.模拟预测)若函数/(》)=COS69A-(0>0)在(0,4为上

X,COS69X=——

2

有3个零点，则。的取值范围是()

五13引25C一.(3讶\叼]D.f[五31,五43

【答案】D

【解析】令/（”=0,则

„Ji,2sinfy,v+l..,1

当COSCDX*—时，75=。，即Sincox=--,

2cos<y.v-\/32

当cos@x=^^时，x=0,矛盾，

2

所以sin<vx=-',且cosrwxw^^,乂sin?sr+cos?©x=1,

22

所以sin3=一《，Kcos<yx=--»

22

所以ox=-2+2E(&GZ)

6

所以xJ“：°”（&eZ）,因为a>0,

069

所以函数/（M的正零点从小到大依次为：兽，等，誓437r

6ry

因为函数f（x）在（0,4办上有3个零点,

31兀.,43兀

所以一<4乃匕『

6®6a）

所以以</"叫•

故选：D.

题型二：单调问题

例4.（2024.四川成都.石室中学校考模拟预测）已知函数f（x）=sin（3K-W}0>O）的图象

关于点偿可对称’且小）在（嘿）上单调，则”的取值集合为0

A.{2}B.{8}C.{2,8}D.{2,8,14}

【答案】C

【解析】/（“关于点信。）对称，所以sin（*“-5=0,

所以三3-2=灯1,。=6攵+2,攵wN①；

63

（）<X<^~1<COX~^<^CO~^而/（X）在（0，噂）上单调，

4oJJ4oJ\HO7

所以也jq,0<<y<8®；

由①②得”的取值集合为{2,8}.

故选:C

例5.（2024・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=sin（s+e）（&>0,帆|T是

函数/"）的一个零点，k耒是函数/&）的一条对称轴，若/1孑）在区间上单调,

则0的最大值是（）

A.14B.16C.18D.20

【答案】A

【解析】设函数/（”的最小正周期为7,

因为％=4是函数外力的一个零点，x花是函数“X）的一-条对称轴,

则竽人〉信卜：，其中〃一,所以，7=—…+2'

上单调，则所以，^20.

所以，。的可能取值有：2、6、10、14、18.

(i)当0=18时，f(x)=sin(18x+>),

所以，(P一~—=^TI(Z:GZ),则0=^1+彳(太eZ),

V-^<^<y,•.•0=(，所以，f(x)=sin(18x+(

“，兀兀…,3兀77K,7t19兀.3九

当一<x<一时，4n---=----<1o8A+—<-----=4n+一,所以,

―542020444

函数/"）在停上不单调，不合乎题意:

(ii)当0=14时，/(x)=sin(14x+°)

所以，(p--^-=kn(keZ),则。=飙+?(keZ),

:.(p=~,所以，/(x)=sin(14x-5}

当工<x<工时，27t+—=—<14A--<—=2H+—,所以,

542()20444

函数在停上单调递减，合乎题意.

因此，。的最大值为14.

故选：A.

例6.（2024•内蒙古赤峰•校考模拟预测〉若直线可是曲线…中冰-扑3>0）的一条

对称轴，且函数y=sin（公■：）在区间［0,上不单调，则⑷的最小值为（）

A.9B.7C.11D.3

【答案】C

【解析】四直线Y是曲线产"5用3>0）的一条对称轴，则

-（0--=k7T+—.kGN,即3=4火十3,AeN,

442

由一上的一卜三得一三g段二,则函数产sin（8—£）在［一；,=］上单调递增，

2424ry4/44<y4。

而函数y=sin（s-f）在区间［0,由上不单调，则手<二，解得力>9,

4124a）12

所以3的最小值为11.

故选：C

变式4.（2024.全国•高三专题练习）已知函数〃x）=sin®x+G®>0）的一个对称中心为

1?，。｝/"）在区间（葛工）上不单调，则”的最小正整数值为（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由函数/（%）=sin44

可得/(-$=sin(-0<y+Q)=0,

所以_23+e=用“，&eZ

3=EZ,

(A)=ft?COS(69X+,

得，4）上不单调,

所以/'(.r)=69COS(@X+m|弋、］）上有解,

所以®X+8='1•+&;：■（&sZ）,在区间5i乃J上有解,

6

所以8+3'3+4乃=]+*2乃(*2wZ),

所以①=2----，k=k,-k、wZ,

7t

x+—

3

T7/5加、7T1714万、

<6）363

山…2+/3+6A3+6攵、

所以◎二1^€（工,亍），

X+J

当々=2时，3G（£,?）,

此时”的最小正整数为2.

故选：B

变式5.（2024・全国•高三专题练习）已知函数〃x）=sin（5+3）（0>O）在-全菅上单

调，且尼卜/仔卜-/阁'则〉的可能取值（）

A.只有1个B.只有2个

C.只有3个D.有无数个

【答案】C

【解析】设/（x）的最小正周期为丁，则由函数/（”在一?，看上单调，可得

因为7=—之冗，所以0<0与2.

3

由/（X）在一9《上单调，且/闱=—/（一?｝得/（X）的一个零点为二三£=」,

即卜自°）为‘（“）的一个对称中心.

因为/（?）=/（与｝所以—[+看=3万为〃x）的.条对称轴.

,所以有以下三种情况:

小74〃冗7乃..2,712

①丁彳一片工,则一下二

符合题意;

③了二下_卜不=天，则0=中='，符合题意.

44\127o15

因为人江，亨-(-白］=竽不可能满足其他情况.

4V12/6

故”的可能取值只有3个.

故选：C

题型三：最值问题

例7.(2024・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=Gsing-cos5(<y>0)在区间［-会,学

上单调递增，且在区间。兀］上只取得一次最大值，则”的取值范围是()

A・舒B.［轴C.翳JD.居］

【答案】B

【解析】依题意，函数/(x)=2sin((yx-?),(o>0,

因为/⑶在区间［-上苣调递增，由工7-§,学］,则

5454

712nTC3nn］

(DX——G|r---CO——，一(0——I,

65646

于是一生&一二之一色且包◎一色W色，解得。W?且。即0<。七3,

562462696

当xe［O,兀］时，s-Jw［一^西一百，因为/⑶在区间［0H上只取得一次最大值,

666

因此：4⑺一^<］兀，解得］工/<：，

26233

所以”的取值范围是彳2，力5.

36

故选：B

例8.(2024・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=2sin0,且

上有最大值，没有最小值，则。的最大值为

【答案】17

【解析】由/(?)=0,且/⑶在上有最大值，没有最小值，可得

—+-=2^(jteZ),所以刃=6&-1(2eZ).

33

由f(x)在(w，言］上有最大值，没有最小值，可得Jx及Y亭-空，解得

1312)4co1234<y

6<啰418,又0=6*-1伍wZ),当A=3时，。=17,则"的最大值为17,,

故答案为：17

例9.(2024•全国♦高三专题练习)已知函数/(.1)=25访(31+夕)(e＞0)在.\=1处取得最大

值，且/■(兀)=0,若函数〃耳在件言上是单调的，则⑷的最大值为.

45

【答案】—/II.25

4

【解析】由题意,函数〃x)=2sin®x+e)®＞0)

满足/0=2,〃兀)=0,

可得13+°=5+2E,5.+(p=k'it(ksZ,k'wZ),

两式相减得告。=-]+〃讥，其中m=〃一2左，

解得◎:型口

4

又由?-工•二，可得/£12,

3122o

即0＜3(2*I)R2,解得

422

故用的最大值为8,

此时”取得最大值彳.

故答案为一

变式6.(2024.全国•高三专题冻习)已知函数〃"=sin\cox+-在(0,2]上有最大值和

[6J

最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则。的取值范围是

【答案】(一等，-当U白，巧

3636

【解析】易知3=0时不满足题意，

■7T7C.-/n7TIcTT.

由a)x+-=—+kjr,keZ,得3=—+—,keZ,

623coco

当口＞0时，第2个正最值点1=二+工K2,解得至，

36y(o3

第3个正最值点£+至＞2,解得。＜二,故?

3(0(D636

当口＜0时，第2个正最值点工=二-生K2,解得3V-学,

3(0(06

第3个正最值点£-四>2,解得。>-¥，故一岁<。工一言.

3(0(o336

综上，。的取值范围是

3o36

it“445401r27r7/r.

故答案为：(z--->---1

3636

变式7.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=sin5+“cos5(〃>0,3>0)的最大值

为2,则使函数/(x)在区间[0司上至少取得两次最大值，则“川又值范围是,

13万L、】3点

【答案】,-HO

~lT)\I(O18>----

［解析】f(x)=sin(ox+acos(ox=Jl+cJsin(<yx+o),因为/(.v)^=Vl+«2=2,a>0,故

7T

a=>/3>原式为/(x)=2sinax+—,当/(x)取到最大值时，cox+^=^-+2k7r,keZ,

3-J

当xw[0,3],取得前两次最大值时，4分别为0和1,攵=1时，的+5=3+2",

工=辞,此时需满足解得强

13开

故答案为:——,+co

18

变式8.(2024.全国•高三专题炼习)已知函数

f(x)=cos'5+2sin(w>vcosa)x-sin'O)X(CD>°)在(/，1)

上有最大值，无最小值，则”的

取值范围是

33

【答案】

852

【解析】/(x)=sin2cox+(cos*cox-sin=sin2a)x+cos2(ox=V5sin(2s+：J.

由题可知,丁之三一二，所以0v<y«8,

312

当xe悟时，2s+臬型+士出

4643

因为函数/(“在(看，[)上有最大值，无最小值,

LLl、l-i--A-rr/_»,zn冗c,/Tt(DIt71_.2兀07t3/T_.

所以存在kwZ,使得——+2krrW——+—<—+2k“<-----+—4—+2k兀

2642342

93

--+12k<a)<-+\2k

?2

整理.得J，(aZ).

-+3k<co<—+3k

88

9/3

——<(o<--否

7933

因为0<旌8,所以「[5，解得或

故答案为:

题型四：极值问题

例10.(2024.全国•高三专题练习)记函数/(幻=$皿公¥+。)｛。＞0.—|＜。＜!^的最小正周

期为r若为/(*)的极小值点，则。的最小值为

【答案】14

【解析】因为=sin(ox+⑶,>0,£</<所以最小正周期T=号，

TT^2

f(y)-sin(fy•耳+0)=sin(兀+o)=—sin夕=—

又一个<0<[所以°=_g,即/(x)=sin(3x-M|；

224\4/

又x=9为“X)的极小值点,所以—£+2E«eZ,解得。=-2+164,&€Z,因为

8842

@>0,所以当A=1时4in=14：

故答案为：14

例11.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=4sin(0x+Q)(3＞O,|Q|＜9，

/(0)=/(4)=-2,函数八X)在(0,4)上有且仅有一个极小值但没有极大值，则”的最小值为

()

A.-B.-C.――D.—

6363

【答案】C

【解析】V/(0)=4sin^=-2,r.sin^=-l又|3=-J.

226

0+47T3

当工===2时，函数取到最小值，此时2&-工=2%4+74，keZ.解得

262

M=kfr+—,攵eZ.

6

所以当2=0时，吁”.

故选：C.

（8+：卜〃>0）在区间

例12.（2024・山西运城•高三统考期中）已知函数/（x）=cosM内

有且仅有一个极小值,内有3个不同的实数根，则。的取值

范围是O

25II1^1125H

Ac

-倍失[6，2.D.

【答案】C

【解析】因为xe（o,］—I.7C

，所以3X十二内有旦仅有一

4

个极小值，则乃〈等+。,彳J内有3个不同的实数根，则

7乃HCO乃，11〃UL77乃71CO<.<H,

—>所以丁<-+-<3^-(2),由⑴(2),解得二

324332462

所以。的取值范围是，蓝

故选：C

Ij(<y>0),xu

变式九（2024•全国•校联考二模）已知函数/（«）-2sin(ox.若

32

函数/（力只有一个极大值和一个极小值，则。的取值范用为O

A.(2,5]B.(2,5)C.(2,gD.1

【答案】C

【解析】令,…?因为心冗资71，所以F式t(07^7T(O7T7Trl.、nT.,,zl,

—+T^+T则问题转化为

3763626

），=2sinr在一警S?上只有一个极大值和一个极小直，

362b_

即「咛,

因为.MW函数/（x）只有一个极大值和一个极小值，则

又丁=三■,所以◎>£,所以一+

（D536

3n(D7l7T71

2<fw<5

23:2解得8

则28^2<ry<-

冗冗江/3不-<(o^~3

33

2262

故选；C

变式10.（2024.全国•高三专题练习）函数/（x）=sin8+-V（o>0）在［0,1］上有唯一的极

大值，则gw（）

【答案】C

【解析】方法一：当XG［0,1］时，/=+

因为函数/（x）=sin，"+沙>0）在［0』上有唯一的极大值,

7FTT

所以函数.'Hsinf在-,w+j上有唯一极大值，

故选：C

方法二：令3x+W=2尿+：，kwZ,则0x=2bt+g,ZeZ,

326

所以，函数/（x）=sinf&x+4（&>0）在y轴右侧的第一个极大值点为x=第二个极

I5）6a）

大值点为］=等，

0（0

因为函数/（X）=sin，"+T（0〉0）在［05上有唯一的极大值，

n

所以，兽解得0W偿等.

13兀、，［66

——21,

6（o

故选:C

变式11.（2024・全国•高三专题练习）已知函数/（加E⑺+彳卜”,。）在区间（咤）内有

且仅有一个极大值，且方程/（x）=g在区间（。仁）内有4个不同的实数根，则”的取值范

围是（）

'你郛.（我卜停郢.偿哥

【答案】C

【解析】由题意,函数/（x）=cos（0x+*）（&>°）,

八万）-兀（开乃1

（0.5）,所以mo

若/%）在区间（o,£|内有且仅有一个极大值，则2%<等+?〈4万，解得若

方程/")=；在区间(0，、)内有4个不同的实数根,

1\7t加D兀=\3兀/me41,49

则nil二一<二-十:4二一,解得丁(①工二.

324366

综上可得，实数0的取值范闱是.

162_

故选：C.

题型五：对称性

例13.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=cos(wx-T(">0)在区间［0,勺上有

且仅有3条对称轴，则”的取值范围是()

13179139131317

A.(毛了h(“-]C.[-,y)D.[7,7)

【答案】C

【解析】/(X)=COs(0X-?)3>()),

令sx-±=k冗，keZ,贝ijx=0+4-)乃，kwZ,

44cu

函数/(X)在区间[0,口上有且仅有3条对称轴，即0W0+以)'匕乃有3个整数4符合,

4㈤

0W(l+4A)笈《乃,得0«^^Kln0Vl+4£«4©,则&=0,1,2,

4M4(w

913

EP1+4x2<4^y<1+4x3,：.-<(o<—.

44

故选：C.

例14.(2024.内蒙古赤峰•校考模拟预测)已知函数/(x)=cos5—6sins(o>0),若

/(十)在区间［0,2句上有且仅有3个零点和2条对称轴，则①的取值范围是O

5411319)419134

B

A.?ij-3'丘D.12,3

【答案】D

fl6.

【解析】函数f(x)=cos69x-s/5sin69x=2-cosa)x----sin(ox=2coscox+—,

\22I3j

令/=的+l，[tjxe[0,2it],ijiiJIe—,2n(y+—

33

又函数/(%)在区间［0,2可上有且仅有3个零点和2条对称轴,

即，=2cosz在区间5,2兀/+上上有且仅有3个零点和2条对称轴,

作出，=2cosf的图象如下，

所以裂2兀◎+93兀，得局战）.

LJL"，/

故选：D.

例15.（2024・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=sin"+9（/>0）在区间［0,可上有且

仅有4条对称轴，下列四个结论正确的是（）

A./（4）在区间（0"）上有且仅有3个不同的零点

B.〃x）的最小正周期可能是:

4

C.。的取值范围是

/（X）在区间（咔）上单调递增

D.

【答案】C

【解析】函数/（.r）=sin"+：）（/>0）,

人兀兀,？7汨（4火+1）冗

^-（t）x+-=-+kit,kwZ、得.、=----,kwZ、

424（D

函数/。）在区间10.汨上有且仅有4条对称轴，即有4个整数k满足0K丝+D冗<冗,

4（o

得OS1+4ZW40,可得2=0,1,2,3,

贝ljl+4x3K4<y<l+4x4,

.•.生0<?,即0的取值范围是停；］,故C正确：

44［44J

...,Ji（n「1317、4n兀「7兀9叫

兀），：.MX+-G\-,wn+-,由于0W丁,丁得"皿+二亡二,二，，

4144）L44J4|_22）

当加+品4吟）时，/（.r）在区间（0#上有且仅有4个不同的零点，故A错误:

2JHI,口317）伯11441

44）（O"713」

始

跟

一

，,.../（幻的最小正周期不可能是故B错误；

17134

z\

/兀

i-

€|-

O.7

\15

乂白二/G）在区间（喋）上不一定单调递增，故D错误.

故选：C

变式12.（2024.浙江衢州高一统考期末）函数/（x）=sin"x+Bj（3>0）在区间［0,可上恰

有两条对称轴，则”的取值范围为（）

一7-/9n--7\-59

:_

-IL3-.C-1LII--

——

A.44B.I44447—D.44

一

.-一-

【答案】D

【解析】/(x)=sin(公1+：)(3>0),

令3%+?=火兀+5，keZ,贝Jx=0+4))71,kwz,

424co

函数“X)在区间［0，町上有且仅有2条对称轴，即000+")%兀有2个整数［符合,

4。

0«(1+4%)冗«兀,得0«^^Kln0«l+4&443,则攵=0,1,

46V469

v9

H|J1+4x1<4ft?<1+4x2,：.-<(»<—.

44

故选：D.

变式13.（2024•内蒙古呼和浩特,高；•呼市二中校考阶段练习）已知函数

f（x）=J5sinscoss，+cos%H-；Gy>0,xeR）在［0,句内有且仅有三条对称轴，则”的取

值范围是()

'27、\15)［5⑴「1381

A.B.C.D.—

.367|_63JL36)|_63/

【答案】B

【解析】x«0,同时，函数

/(x)=y/3sin(oxcos(ox+cos2ty.r-1=在sin26yx+；(1+cos2<w.v)-

2-T

,则2s•+?率2历+看，函数/1（X）在［0,句内有且仅有三条对称轴，则:满足

挈“2询+。<=,解得%即实数0的取值范围是

26263163yl

题型六：性质的综合问题

例16.（2024・全国•高三专题练习）函数.f（x）=3sin®x+e）（<y>0,弧卜^）,已知

If图1=3,且对于任意的xwR都有/（-7+.，+/（47）=0,若小）在（春引上

单调，则”的最大值为（）

A.11B.9C.7D.5

【答案】D

【解析】=/(x)=3sin(@x+0),

•乃,冗

••—69+69=K7CH--,k1eZr,

32

又对于任意的xeR都有7-=0,

6

'•--co+(p=m/r,meZ,

6

二30=(&+2"M+',乂网<],

/.w=5或*=_£

66

当。£时,卬=3Z+1,keZHvv=-6/z/+l,

6

当卬=7时，/(x)=3sin(7x+^j,

至1

若

X则-<--<

97X6

.••/w在［正，7）上不单调，C错误，

当夕=一2时，w=32+2,AeZ且w=-6/%-l,

6

当卬=11时，/（x）=3sin（1\x-看），

=廨ip2P49兀，,,4,41/r

若.般，子，则=

械6936618

・・・/（x）在（葛，著）上不单调，A错误，

当卬=5时，/（x）=3sin|5x-^-

4

6-

z

丝

f红

//\在

(XJm

\/x9

36

故选：D.

例17.（2024・全国•高一专题练习）设函数/（x）=cos"T（o>0）,己知“幻在［［0,2幻

有且仅有4个零点，下述四个结论：①/。）=1在。2幻有且仅有2个零点：②/（幻二-1

在［0,2川有且仅有2个零点：③。的取值范围是原因：④小）在卜啜）单调递增，其

oo7I1U/

中正确个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【解析】由"。2何时，得到J—2乃3根据/XX）在2曲有且仅有4个

4L44_

零点，则2&y-f在第4个零点和第5个零点之间，然后利用余弦函数的性质求解.当

4

A-I|0.2加时，

"「7Cn

（DX---G---,2^69---,

444_

因为/⑴在［［0,2加有且仅有4个零点，

所以29-f在第4个零点和第5个零点之间，

4

所以——£2取D——<—,

242

解得15卷1故9③正确：

OO

当/(x)=l时，a)x--=2k^,ksZ,)(,--<(f)x-—<27rco--<—,

44442

.4=0,1,2,结合y=cosx知/•"）=|最多有3个零点，故①错误;

nK乃9乃

当/(x)=-1时,(t)x-^=2k^^^.keZ又---<(i)X---<2冗(O---<---,

4442

.••^=0.1,结合y=cosx/（x）=-l有且仅有2个零点，故②正确;

LL”718万冗冗

所以而丁16，-80

则得・/。，所以小）在（"总单调递增，故④正确，

故选：D

例18.（多选题）（2024•福建漳州•统考三模）已知函数

/（x）=sin号cos号+cos?竽-g®>0）在［0,可上有且仅有4条对称轴：则（）

「13171

A.;，下

L44）

B.兀可能是/（"的最小正周期

C.函数小）在（一靠/）上单调递增

D.函数/（戈）在（0,冗）上可能有3个或4个零点

【答案】AD

rajiuiirf\•MX（OX\1.1V2,（71、

【解析】J（A）=sin—cos—+cos-------------sm（ox+—cos（ox=—sinMX+—；

八，2222222I4）

对于A,当xw［o,7i］时，5（,（+713

•・・/（x）在［0,可上有且仅有4条对称轴，.qW+Tuy哼，解得：米3＜三,

即功A正确：

［_44）

对于B,若凡是/（1）的最小正周期，则。=2任?,日），-兀不能是/（X）的最小正周期,

B错误;

喋*）时…++itit7in1

对于C,当xe一（0+—,—（o+—；